10.1 随机事件与概率-10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算 课件(共79张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共79张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 有限样本空间
1 随机现象
就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果
出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象.
与之相对的为必然现象，即在一定条件下必然出现的现象.
2 随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 表
示．我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个 ；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一
个结果．（随机性.）
. .
3 有限样本空间
概念 符号表示
样本点
样本空间
如果一个随机试验有个可能结果,, ,,则称样本空间,, ,
为有限样本空间（样本点的个数是有限的）.
. .
学思用·典例详解
例1-1 (2025·辽宁省沈阳市期末)某市举办运动会，小明一家准备从游泳、田径、击
剑、乒乓球、篮球5个大项中挑选部分项目观看.
（1）若从这5个大项中挑选1个大项进行观看，写出这个试验的样本空间；
【解析】这个试验的样本空间 游泳，田径，击剑，乒乓球，篮球}.
（2）若从这5个大项中挑选2个大项进行观看，写出这个试验的样本空间.
【解析】这个试验的样本空间 （游泳，田径），（游泳，击剑），（游泳，乒
乓球），（游泳，篮球），（田径，击剑），（田径，乒乓球），（田径，篮球），
（击剑，乒乓球），（击剑，篮球），（乒乓球，篮球） .（【技巧】写样本空间时，
可以从游泳开始依次跟后面的项目配对）
知识点2 事件
1 随机事件
（1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集
（使我们可以利用集合的知识研究随机事件）来表示．
（2）为了叙述方便，我们将样本空间 的子集称为随机事件，简称事件，并把
只包含一个样本点的事件称为基本事件.
（3）随机事件一般用大写字母,,， 表示．在每次试验中，当且仅当 中
某个样本点出现时，称为事件 发生.
. .
. .
. .
. .
知识剖析
对基本事件的理解
1.基本事件仅包含一个样本点.
2.事件与基本事件的区别：基本事件是试验中只包含一个样本点的随机事件，
而事件可以由若干个基本事件组成，包含一个或多个样本点.
2 必然事件与不可能事件
事件名称 符号表示 样本点个数 是否会发生
必然事件 作为自身的子集，包含了所 有的样本点
不可能事件 不包含任何样本点 在每次试验中都不会发
生
必然事件与不可能事件不具有随机性．为了方便统一处理，将必然事件和不可能
事件作为随机事件的两个极端情形．这样，每个事件都是样本空间 的一个子集．
. .
. .
例2-2 ［教材改编P231 T3］从1,2,3,5这四个数字中不放回地取两次,构成一个有序数
对,其中表示第1次取到的数字, 表示第2次取到的数字.
（1）写出试验的样本空间.
【解析】依题意可得树状图，
如图10.1.1-1，共12种情况，
图10.1.1-1
样本空间,,,,,,,,,,, .
（2）事件为第1次取出的数字是1;事件 为第1次取出的数字是1,且第2次取出的是
偶数.写出事件, 的集合表示.
【解析】事件为第1次取出的数字是1，则,, ;
事件为第1次取出的数字是1，且第2次取出的是偶数，则 .
例2-3 从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，记 “选
出学号为1的同学”，“选出的同学学号不大于2”， “选出的同学学号小于7”，
“选出的同学学号大于6”，“选出的同学学号为偶数”， “选出的同学学号
为奇数”.则上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
【解析】样本空间 .
事件用集合表示为 ；
事件用集合表示为， ；
事件用集合表示为 ；
事件用集合表示为 ；
事件用集合表示为 ；
事件用集合表示为，3， .
为必然事件；
，，， 为随机事件；
为不可能事件.
知识点3 事件的关系和运算
1 两个事件的关系和运算
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
包含
相等
并事件（和事件）
事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示
交事件（积事件）
互斥（互不相容）
互为对立
注意 1.事件包含事件或事件包含于事件,记作或 .
2.任意两个基本事件都是互斥的， 与任意事件互斥.#1.2
续表
. .
知识剖析
理解事件的包含关系
1.任何事件都包含不可能事件，即为任一事件.事件也包含于事件 ，
即 .
可用逻辑语言表述为：发生是发生的充分条件，发生是 发生的
必要条件.
可用逻辑语言表述为：发生是 发生的充要条件.
3.两个事件相等，即两个事件包含相同的样本点.
和事件包含的三种情况
和事件包含三种情况：①事件发生，事件不发生；②事件 不发生，事
件发生；③事件, 都发生.
. .
. .
对立事件的理解
1.事件的对立事件记为， ， .若事件, 互为对立事件，
则 是必然事件.
2.对立事件是特殊的互斥事件，若与互为对立事件，则与 互斥，但反之不
一定成立，即“与互为对立事件”是“与 互斥”的充分不必要条件.
用集合的观点看事件间的关系
由于样本空间是一个集合，因此在处理事件间的关系与运算时，要能恰当地利
用集合的关系与运算.如事件包含于事件，即集合是集合的子集，事件 与事件
的和事件或，即集合与集合 的并集等.
. .
2 多个事件的和事件、积事件
类似地，我们可以定义多个事件的和事件与积事件．对于多个事件,,, ，
或发生当且仅当,,， 中至少一个发生，
或发生当且仅当,,, 同时发生.
3 正确理解事件的含义
事件 含义
显然，，，与，与 互为对立事件.
. .
. .
例3-4 ［教材改编P231探究］抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件
“点数为1”，事件“点数为3或4”，事件“点数为奇数”，事件 “点数为偶
数”，事件 “点数小于5”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
【解析】样本空间，,,, ,
.
（2）用集合的形式表示事件，， ；
【解析】,3,4,5，，， .
（3）用集合的形式表示事件， ；
【解析】， .
（4）事件与，与，与 之间各有什么关系？
【解析】因为，所以事件包含于事件；因为 ， ,所以
事件与事件 互为对立事件；
因为 ,所以事件与事件 互斥.
【想一想丨问题质疑】
在试验的样本空间中样本点较少的情况下，可以用集合的形式表示出事件，利用集
合之间的关系得出事件之间的关系.当样本空间中样本点数量较多时，不易用集合表
示出事件，这时该怎么办呢？看下面的例题，总结做题规律.
例3-5 ［多选题］一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任
意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件 表示“恰有一件次品”;
事件 表示“至少有两件次品”;
事件 表示“至少有一件次品”;
事件 表示“至多有一件次品”.
则下列说法正确的是( )
AB
A. B. 是必然事件
C. D.
【解析】事件表示“至少有一件次品”,即事件,所以A正确；事件 表示“至
少有两件次品或至多有一件次品”,包括了所有情况,所以B正确;事件 ,所以C
不正确;事件表示“恰有一件次品”,即事件 ,所以D不正确.
例3-6 ［教材改编P235 T1］［多选题］从1,2,3, ,9中任取两个数,则下列各组事件
中是互斥事件的是( )
AC
A.“恰有两个偶数”和“恰有两个奇数”
B.“至少有一个奇数”和“两个都是奇数”
C.“至少有一个奇数”和“两个都是偶数”
D.“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”
【解析】从1,2,3, ,9中任取两数,有以下三种情况:（1）两个奇数;
（2）两个偶数;
（3）一个奇数和一个偶数.
所以A，C中的两个事件不能同时发生.
（C选项同时为对立事件）
例3-7 从分别写有,,1,2的4张卡片中随机一次取出2张，设事件“写有 的卡
片被取出”，“写有的卡片被取出”，“取出的卡片上的数都大于0”，
“取出的卡片上的数之和小于0”，则( )
D
A.与是互斥事件 B.与 是对立事件
C. D.
【解析】对于A，当同时取出写有,的卡片时，与 同时发生，所以它们不是
互斥事件，A错误；对于B，当同时取出写有,2的卡片时，与 都不发生，所以
它们不是对立事件，故B错误；对于C，当同时取出写有,2的卡片时，发生，
不发生，所以它们不相等，C错误；对于D， 发生当且仅当取出的卡片至少有一张
写有非正数，即,至少有一个发生，故 ，D正确.
【想一想丨归纳总结】
当不便用集合的形式表示事件时，则利用事件的含义判断两个事件的关系.
解题课丨关键能力构建
题型1 事件与样本空间
致敬经典
概率问题中常见的模型——掷骰子
“掷骰子”是概率问题中最为常见的模型，一般为掷一枚或两枚质地均匀的骰子，其
对应的样本空间的样本点的个数分别为6和36，掌握其样本空间的情况是解决概率问
题的基础.
例8 [教材改编P237例8]将一枚骰子先后抛掷两次，向上一面的点数用 表示，其
中表示第一次抛掷出现的点数, 表示第二次抛掷出现的点数.
（1）求样本空间中的样本点个数；
【解析】 （列举法） 试验的样本空间,,,,, ,
,,,,,,,,,,,,,, ,
,,,,,,,,,,,,,, ,
共36个样本点.
图10.1.1-2
（画树状图法） 一枚骰子先后抛掷
两次的所有可能结果用树状图表示，如图
10.1.1-2所示.
由图可知，共36个样本点.
图10.1.1-3
（坐标系法） 如图10.1.1-3所示，坐标平面内的数
表示相应两次抛掷后出现的点数之和，样本点与坐标平面
内的数对应的坐标一一对应.
由图可知，样本点个数为36.
. .
（2）用集合表示事件“出现的点数之和大于8”.
【解析】“出现的点数之和大于8”可用集合表示为,,,,, ,
,,, .
（图10.1.1-2中打对钩对应的样本点，图10.1.1-3中虚线框内对应的样本点）
例9 袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验.
（1）从中任取一个球；
【解析】样本空间 红，白，黄，黑},样本点的个数为4.
（2）从中任取两个球；
【解析】一次取两个球，若记（红,白）（由于是任取两个球，与顺序无关，即
（红，白）和（白，红）意义相同，都代表同一个样本点，故只写出一个即可）代
表一次取出红球、白球各一个，则样本空间 （红,白）,（红，黄）,（红，黑）,
（白,黄），（白,黑）,（黄，黑） ，样本点的个数为6.
. .
（3）不放回地先后各取一个球.
分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的个数.
【解析】先后各取一个球，记（红,白）（由于是先后各取一个球，所以（红,白）和
（白，红）意义不同，它们代表两个不同的样本点，故（红，白）和（白,红）都要
写出）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球.
. .
列表如下:
第一次 第二次 红 白 黄 黑
红 — （红,白） （红,黄） （红,黑）
白 （白,红） — （白,黄） （白,黑）
黄 （黄,红） （黄,白） — （黄,黑）
黑 （黑,红） （黑,白） （黑,黄） —
则样本空间 （红,白）,（白,红）,（红，黄）,（黄,红）,（红，黑）,（黑,红）,
（黄，黑）,（黑，黄）,（黄,白）,（白，黄）,（白,黑），（黑,白） ，样本点的个
数为12.
易错警示 解决此类 问题的关键是弄清每次试验的条件和结果，明确试验与顺序
是否有关，若题干中强调“先后”“依次”，则说明试验结果与顺序有关，如本例中要
注意（2）（3）的区别,（2）中取球与顺序无关,（3）中取球与顺序有关，条件不同,
样本点和样本空间就可能发生变化.这样才能避免列举样本点时遗漏或重复.
样本空间中样本点的求法#2.1
表示方法 适用情况 优点 注意点
列举法 （枚举法） 适用于一些情境比较简 单，样本点个数不是很多 的概率问题 计算时只需一一 列举，即可得出 随机事件所包含 的样本点 列举时必须按一定顺
序，做到不重不漏
表示方法 适用情况 优点 注意点
列表法 适用于试验中包含两个或 两个以上的元素，且试验 结果相对较多的样本点个 数的求解问题 准确、全面、不 易遗漏 通常把样本点归结为
“有序实数对”，最常
用的方法是坐标系法
画树状图法 适用于按顺序排列的较复 杂问题中样本点个数的求 解 直观、全面、不 易重复 一般需要分步
（两步或两步以上）
注意：无论利用什么方法，表示样本空间的样本点时都不能遗漏，特别是在“抽取两
次”的问题中，要注意是放回还是不放回，是有序还是无序等.#2.1.2
续表
. .
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·天津市第二南开学校月考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别
为27,9,18.现采用分层随机抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.
【答案】甲、乙、丙三个乒乓球协会运动员总人数为 ,则应从甲协
会抽取 （人），
从乙协会抽取 （人），
从丙协会抽取 （人）.
故应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
（2）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为,,,,, .现从这6名运动员
中随机抽取2人参加双打比赛.
（ⅰ）用集合的形式写出试验的样本空间;
【答案】样本空间,,,,,, ,
,,,,,,, .
（ⅱ）设事件为“编号为和 的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的
集合表示.
【答案】事件,,,,,, ,
, .
题型2 事件的关系及运算
例10 从5张扑克牌（其中2张红桃标号为1和2,3张黑桃标号为3，4和5）中任取2张，设
事件“2张都是黑桃”,“2张花色相同”,“2张花色不同”， “至少1张是红桃”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件.
【解析】样本空间,,,,,,,,, ,
,, ,
,,, ,
,,,,, ,
,,,,,, .
（2）用集合的形式表示事件,,, .
【解析】,,,,,, ,
,, ,
,,,,,,,,, ,
,,,,, .
进行事件的运算的步骤
1.列出试验的样本空间；
2.写出各事件的集合表示；
3.利用集合的运算进行事件的运算.
【学会了吗丨变式题】
2.某人向一个目标连续射击3次，用事件表示随机事件“第 次射击命中目
标”，指出下列事件的含义：
（1） ；
【答案】 表示第1次和第2次都命中目标.
（2） ；
【答案】表示第3次未命中目标， 表示第1次和第2次都命中目标且第
3次未命中目标.
（3） ；
【答案】表示第1次或第2次命中目标，事件 表示第1次和第2次都未
命中目标.
（4） ．
【答案】表示第次未命中目标， 表示3次都未命中目标.
题型3 互斥事件、对立事件的判定
例11 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件为“只订甲报”,事件 为“至少订一
种报纸”,事件为“至多订一种报纸”,事件为“不订甲报”,事件 为“一种报纸也不订”.
判断下
列每组事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件：
（1）与 ；
（2）与 ；
（3）与 ；
（4）与 ；
（5）与 .
【解析】 （定义法） （1）由于事件 “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,
即事件与事件有可能同时发生,故与 不是互斥事件.
（2）事件 “至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种
报”，事件 “至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙
报”.也就是说事件与事件可能同时发生,故与 不是互斥事件.
（3）事件 “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件
和事件有可能同时发生,故与 不是互斥事件.
（4）由于事件“至少订一种报纸”与事件 “一种报纸也不订”是不可能同时发生的,
故与是互斥事件；由于事件与事件必有一个发生,故与 是对立事件.
（5）事件“只订甲报”与事件“一种报纸也不订”不可能同时发生,故与 是互斥事
件.但与不是必有一个发生，比如还有“只订乙报”的情况，故与 不是对立事件.
（集合法） 令“只订甲报”为①，“只订乙报”为②，“订甲、乙两种报”为③，
“一种报纸也不订”为④，则样本空间 ，②，③，④}.
（1），,②,，,所以与 不是互斥事件.
（2）,②,，,②},所以与 不是互斥事件.
（3）,，},所以与 不是互斥事件.
（4）， , ，所以与 是互斥事件，且是对立事件.
（5） ，但, ，所以与 是互斥事件，但不是对立事件.
辨析互斥事件与对立事件
1.从发生的角度看
（1）在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能
同时发生；
（2）两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.即两事件对立，必定互斥，
但两事件互斥，未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例.
2.从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.
【学会了吗丨变式题】
3.[多选题]一名男生和两名女生， 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，
每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆，则下列结论正确的是( )
ABD
A.“周六至少有一名女生去参观博物馆”与“周六只有一名男生去参观博物馆”是对立
事件
B.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日只有一人去参观博物馆”是对立事件
C.“周六只有一人去参观博物馆”与“周日有两人去参观博物馆”是互斥事件
D.“女生周六去参观博物馆”与“女生 周日去参观博物馆”是互斥事件
【解析】一名男生和两名女生， 在周六、周日两天中任选一天去参观博物馆，
每人只去一天，且每天至少有一人去参观博物馆的样本空间（, ）
（表示周六、周日去的人），，，，，
对于选项A，“周六至少有一名女生去参观博物馆”包含，， ，
，个样本点，而“周六只有一名男生去参观博物馆”包含 个样
本点，故是对立事件，即A正确；
对于选项B，“周六只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点，
而“周日只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点，故是对
立事件，即B正确；
. .
. .
对于选项C，“周六只有一人去参观博物馆”包含，， 个样本点，
而“周日有两人去参观博物馆”包含，， 个样本点，两者不是
互斥事件，故C错误；
对于选项D，因每人只去一天，故“女生周六去参观博物馆”与 “女生 周日去参观
博物馆”是互斥事件，故D正确．
故选 .
题型4 复杂事件的表示
例12 某同学在篮球场上进行了连续3次投篮练习，记“第 次投中篮筐”
，试用 表示事件：
（1）“连续3次投篮中恰好有次投中篮筐” ;
【解析】表示“连续3次投篮,均没有投中”，故 ；
表示“3次投篮恰有1次投中,其他2次均未投中”,故 ;
表示“3次投篮有1次没投中,其他2次都投中”,故 ;
表示“3次投篮都投中”,故 .
（2）“连续3次投篮中至少有次投中篮筐” .
【解析】 表示“连续3次投篮，至少有0次投中”,这是必然事件,故
;
表示“连续3次投篮，至少有1次投中”,故 ;
表示“连续3次投篮，至少有2次投中”,故 ;
表示“连续3次投篮，3次都投中”,故 .
对事件中“至多”“至少”的处理
（1）“,中至多有一个发生”等价于“,都不发生”和“, 中恰有一个发生”
（即 ）；
（2）“,中至少有一个发生”等价于“,中恰有一个发生”和“, 都发生”
（即 ）.
【学会了吗丨变式题】
4.设,,为三个事件，,,分别表示它们的对立事件，表示“,, 三个事件恰有
一个发生”的表达式为( )
B
A. B.
C. D.
【解析】选项A表示,, 三个事件至少有一个发生；
选项B表示三个事件恰有一个发生；
选项C表示三个事件恰有一个不发生；
选项D表示,, 三个事件至少有一个不发生．
练习帮 习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.(2025·河北省廊坊市期中)已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡
片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是( )
C
A.事件“都是红色卡片”是随机事件
B.事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C.事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D.事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【解析】事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误.
2.若甲、乙等5人站成一排，其中为互斥事件的是( )
A
A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾”
C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头”
【解析】根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同
时发生，故不是互斥事件．
3.(2025·广东省广州市白云中学期中)向上抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上
面的点数，事件表示两次点数之和小于10，事件 表示两次点数之和能被5整除，
则事件 用集合表示为( )
D
A. B.,
C., D.,,
【解析】由已知得，事件,,,,, ，
事件,,,,,,，所以事件, ,
，故选D．
4.[多选题]下列说法正确的是( )
BCD
A.若事件与互斥，则 是必然事件
B.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著
中,甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件 “甲取到《红楼梦》”，事件
“乙取到《红楼梦》”，则与 是互斥但不对立事件
C.掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件“向上的点数不大于5”，事件 “向
上的点数为质数”，则
D.10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点
【解析】对于A，事件与互斥时， 不一定是必然事件，故A不正确.
（事件与互为对立事件时， 是必然事件）
对于B，事件与不会同时发生，所以与是互斥事件，但除了事件与 之外还有
“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以与不是对立事件，故与 是互斥但不对立
事件，B正确.
对于C，事件，事件，所以 ，C正确.
对于D，样本空间正品，次品 ，含有2个样本点，故D正确.
5.[多选题]某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技
展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件 “只参加科技游艺活动”；事件
“至少参加两种科普活动”；事件“只参加一种科普活动”；事件 “一种科普
活动都不参加”；事件 “至多参加一种科普活动”，则下列说法正确的是( )
ABC
A.与是互斥事件 B.与是对立事件 C. D.
【解析】对选项A，互斥事件表示两事件的交集为空集，事件与事件 二者不可能
同时发生，故A正确；
对选项B，对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生，事件和事件 满足要求，
故B正确；
对选项C，表示“至多参加一种科普活动”，即为事件 ，故C正确；
对选项D， 表示“只参加一种科普活动”，但这种活动不一定是科技游艺活动，
故D错误.
故选 .
6.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，设事件“朝上面的点数是1”， “朝上面的
点数是3或4”，“朝上面的点数是1或3”，则事件___________,
____.（用集合的形式表示）
，，
【解析】因为事件，事件，，事件，，所以 ，
3，， ．
7.[教材改编P247 T15]如图10.1.1-1是某班级学生参加数学、语文、英语兴趣小组的
情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件 “参
加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则 所表示的事件是__________
_____________________________________________，代表的区域是___.（注：事件
的对立事件用符号 表示，1,2,3,4,5,6,7,8表示各区域）
参加数学
兴趣小组和语文兴趣小组，但不参加英语兴趣小组
4
图10.1.1-1
8.用集合表示下列事件．
（1）抛掷两次骰子，观察朝上面的点数，事件 “数字之和大于8”；
【答案】记抛掷两次骰子所得结果为，其中表示第一次抛掷的结果， 表示第
二次抛掷的结果，事件所包含的样本点为,,,,, ,
,,, ，共10个，
所以,,,,,,,,, .
（2）抛掷3枚硬币，事件 “恰有两枚正面朝上”．
【答案】抛掷3枚硬币，若正面朝上，则记为1，反之，则记为0，所得结果表示为
，事件所包含的样本点为,, ，共3个，
所以,, .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.新情境 茶叶品种 国际上通用的茶叶分类法，是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶
（如：龙井、碧螺春）和发酵茶（如：大红袍、铁观音、正山小种、普洱茶）两大
类，现有6个完全相同的纸盒，里面分别装有龙井、碧螺春、大红袍、铁观音、正山
小种和普洱茶，从中任取一盒，判断下列两个事件是对立事件的是( )
D
A.“取出碧螺春”和“取出大红袍” B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”
C.“取出正山小种”和“取出铁观音” D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”
【解析】对于A，事件“取出碧螺春”和事件“取出大红袍”不可能同时发生，但有可能
都不发生，所以是互斥事件而不是对立事件，错误；
对于B，事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是对立事件，因为“取出龙井”时，
事件“取出不发酵茶”也发生了,错误；
对于C，事件“取出正山小种”和事件“取出铁观音”不可能同时发生，但有可能都不发
生，所以是互斥事件而不是对立事件，错误；
对于D，事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生，但必有一个发生，
所以是对立事件，正确.
10.[多选题]从5个女生和4个男生中任选两个人参加某项活动，有如下随机事件：
“至少有一个是女生”，“至少有一个男生”，“恰有一个男生”， “两个都是
女生”， “恰有一个女生”．下列结论正确的有( )
AD
A. B.
C. D. ，
【解析】对于A，事件，均为“选出的两个人是1个男生和1个女生”，则 ，A
正确；
对于B，事件为“选出的两个人是1个男生和1个女生或者2个女生”，事件 为“选出
的两个人是1个男生和1个女生或者2个男生”，则 ，B错误；
对于C，事件，包含的样本点都不相同，则 ，C错误；
对于D，事件，包含的样本点都不相同，则 ，事件 为“选出的两个人
是2个女生”，结合事件,则包含了样本空间中所有的样本点，所以 ，
D正确．
故选 ．
11.［教材改编P245习题10.1 T1］[多选题](2025·黑龙江省大庆市月考)一个质地均匀
的正四面体，四个面分别标有数字1，2，3，4，抛掷这个正四面体一次，观察它与
地面接触的面上的数字，得到样本空间，2，3，，设事件， ，事
件，，事件， ，则( )
AB
A.与不是互斥事件 B.与 是对立事件
C.与是互斥事件 D.与 不是对立事件
【解析】根据题意，事件， ，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或2，
事件， ，即正四面体与地面接触的面上的数字为1或3，
事件， ，即正四面体与地面接触的面上的数字为2或4，
当正四面体与地面接触的面上的数字为1时，事件，都发生，则与 不是互斥事
件，A正确，C错误；
F与 一定有且只有1个发生，是对立事件，B正确，D错误.
（【另解】用集合表示来求解， ,所以与 不是互斥事件，
且 ，所以与 为对立事件）
12.用红、黄、蓝三种不同的颜色给图 10.1.1-2中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂
一种颜色，则样本空间包含的样本点的个数为____.
27
图10.1.1-2
【解析】所有样本点共有27个，如图D 10.1.1-1所示.
图D 10.1.1-1
13.(2025·四川省成都市期中)连续抛掷两枚骰子，观察落地时向上一面的点数.记事件
“两次出现的点数相同”，事件“两次出现的点数之和为4”，事件 “两次出
现的点数之差的绝对值为4”，事件 “两次出现的点数之和为6”.
（1）用集合表示事件， ；
【答案】由题意得，事件,,,,, ，
事件,, ，
事件,,, ，
事件,,,, .
则,，,,,,,, ,
.
（2）若事件,,,,,,，则事件 与已知事件是什
么运算关系？
【答案】由（1）知，事件,,，,,, ，
因为,,,,,, ，
所以 .
14.某工厂生产的零件出厂前要经过两道质检工序，经过每道质检工序的结果为通过
或未通过，只有通过两道质检工序的零件才为合格品，用事件 表示“零件通过第一
道质检工序”， 表示“零件通过第二道质检工序”.
【答案】用1表示零件通过质检，0表示零件没有通过质检,如 表示零件通过第一
道工序，且通过第二道工序．
（1）写出表示零件经过两道质检工序的结果的样本空间；
【答案】样本空间，，， .
（2）用集合的形式表示事件， 以及它们的对立事件；
【答案】，，，，， ，
， .
（3）用集合的形式表示事件和事件 ，并说明它们的含义及关系．
【答案】，，， ，
表示零件为合格品，表示零件为不合格品，和 互为对立事件．
C 培优练丨能力提升
图10.1.1-3
15.[教材改编P233例5][多选题](2025·广东省佛山市质检)
如图10.1.1-3，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，
设“甲元件故障”，“乙元件故障”， “丙元件故
障”，则能表示电路是通路的事件是( )
ACD
A. B.
C. D.
【解析】（【思路】要使电路是通路，则需甲元件正常，乙元件和丙元件至少有一
个正常）
对于A，“甲元件正常”，“乙、丙元件同时故障”，则 “乙元件和丙元件
至少有一个正常”，故 表示电路是通路.
对于B，“甲、乙元件同时故障”，则 “甲元件和乙元件至少有一个正常”，
“甲、丙元件同时故障”，则“甲元件和丙元件至少有一个正常”，
不能得到甲元件一定正常，故不能表示电路是通路.
对于C，“甲元件正常”，“乙元件正常”，“丙元件正常”， “乙元件
和丙元件至少有一个正常”，故 表示电路是通路.
对于D，“甲、乙元件均正常”，“甲、丙元件均正常”，故 表示
电路是通路.故选 .