10.1 随机事件与概率-10.1.3 古典概型 10.1.4 概率的基本性质 课件(共116张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共116张PPT)
第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型 10.1.4 概率的基本性质
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 古典概型
1 事件的概率
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件 的概率用
表示．
2 古典概型的定义
我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率
模型，简称古典概型．
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
知识剖析
古典概型的判断依据
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和
等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.
（同时满足，缺一不可）
下列三类试验都不是古典概型：
（1）样本点个数有限,但非等可能；
（2）样本点个数无限，但等可能；
（3）样本点个数无限，也不等可能.
. .
. .
学思用·典例详解
例1-1 一个不透明的袋子中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球都有
一个区别于其他球的编号，从中随机摸出1个球.
（1）观察摸出的球的编号，则该试验是古典概型试验吗？
【解析】因为共有7个球，每个球的编号不同，所以试验的样本空间的样本点有7个，
满足有限性；从中随机摸出1个球，满足等可能性.所以该试验是古典概型试验.
（2）观察摸出的球的颜色，则该试验是古典概型试验吗？
【解析】袋子中的球共有3种颜色，所以试验的样本空间中的样本点有3个，满足有
限性；但3种颜色的球的个数不等，所以“取出白球”“取出红球”“取出黄球”的可能性
不同，不满足等可能性.所以该试验不是古典概型试验.
知识点2 古典概型的概率计算公式
1 古典概型的概率计算公式
一般地，设试验是古典概型 （前提），样本空间 包含个样本点，事件 包
含其中的个样本点，则定义事件的概率（事件 发生的可能性大
小取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小）.其
中，和分别表示事件和样本空间 包含的样本点个数．
. .
. .
2 求解古典概型问题的一般思路
（1）明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）
表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
（2）根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
（根据前两条判断试验是否为古典概型试验）
（3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件 的概率.
特别提醒 若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
因此，使用古典概型的概率计算公式求事件发生的概率时，务必要先判断试验
是否为古典概型试验.
例2-2 ［教材改编P237例7］一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选
项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，
有错误选项得0分.某道多项选择题有三个正确选项，答题时只能选一个、两个或三
个选项.小明随机作答，则他得0分的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】不妨设四个选项为A,B,C,D,其中正确选项为 .
该考生随机作答的所有可能结果构成的样本空间为{A,B,C,D,,,,,, ,
,,,，共14个样本点，得0分的事件包含A,,,,,, ，
共7个样本点，所以得0分的概率为 .
知识点3 概率的基本性质
性质1 对任意的事件，都有 . 对于任意事件 ，因为
，所以
.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率 为0，即， . 性质3 如果事件与事件 互斥，那么 . 互斥事件的概率加法公式.
性质4 如果事件与事件 互为对立事件，那么 ， ． 当一个事件的概率不易求解
时，可通过求解对立事件的概
率间接求解（正难则反思想）.
性质5 如果,那么 . 概率的单调性.
性质6 设, 是一个随机试验中的两个事件，我 们有 . 当 时, ,
因此性质3是性质6的特殊情况.
性质3的推广：如果事件,, ,两两互斥，那么事件 发
生的概率等于这 个事件分别发生的概率之和，即
.#1.1
续表
例3-3 [教材改编P232图10.1-5]［多选题］一个古典概型试验的样本空间 和事件
，的关系用图表示，如图10.1.3-1所示，其中,, ,
.则下列式子中正确的有( )
ABC
图10.1.3-1
A. B. C. D.
【解析】对于A， ，
，故A正确；
对于B， ，故B正确；
对于C， ,故C正确；
对于D， ,
，故D错误．
与互为对立事件，则
解题课丨关键能力构建
题型1 古典概型概率的求解
1 抛掷硬币中的古典概型问题
例4 [教材改编P236思考（2）]任意抛掷一枚质地均匀的硬币三次.
（1）写出该试验的样本空间.
【解析】试验的样本空间 （正,正,正）,（正,正,反）,（正,反,正）,（反,正,正）,
（正,反,反）,（反,正,反）,（反,反,正）,（反,反,反） ，共8个样本点.
（2）出现“两次正面朝上,一次反面朝上”的概率是多少
【解析】用事件表示“两次正面朝上,一次反面朝上”，则事件 （正,正,反）,
（正,反,正）,（反,正,正） ，包含3个样本点.
因为每种结果出现的可能性相等（等可能性）,
所以事件的概率 .
. .
（3）若至少有两次反面朝上，则小刚获胜,否则小华获胜．那么这个游戏公平吗？
为什么？
【解析】记事件表示“小刚获胜”，则事件 （正，反，反），（反，正，反），
（反，反，正），（反，反，反），包含4个样本点，所以事件 的概率
.
记事件表示“小华获胜”，由（1）知，事件 （正，正，正），（正，正，反），
（正，反，正），（反，正，正），包含4个样本点，所以事件 的概率
．
（由题意可知，小刚获胜与小华获胜互为对立事件，则小华获胜的概率
）
故小刚和小华获胜的概率相同，这个游戏公平．
将一枚质地均匀的硬币抛掷 次，每次都有“正面朝上”“反面朝上”两种等可能发生的
结果，因此，该试验共有 个等可能出现的样本点，将所有的样本点（第一次的结
果（正或反），第二次的结果（正或反） 第 次的结果（正或反））一一列举
出来，即得样本空间，再确定所求事件包含的样本点个数，则可得所求概率.
2 抛掷骰子中的古典概型问题
例5 ［教材改编P237例8］将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件 “两
数之和为8”，事件“两数之和是奇数”，事件 “两个数均为偶数”．
（1）写出该试验的样本空间 ，并求事件 发生的概率；
【解析】将一枚骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，其样本空间
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
共包含36个样本点，每个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
事件 “两数之和为8”，如图10.1.3-2所示，
，，，， ，共5个样
本点，
事件发生的概率为 ．
（2）求事件 发生的概率；
图10.1.3-3
【解析】事件 “两数之和是奇数”，如图10.1.3-3所
示，，，，， ，
，，，，，, ，
，，，，， ,共18个样
本点，
事件发生的概率 ．
（3）事件与事件 至少有一个发生的概率．
图10.1.3-4
【解析】事件“两个数均为偶数”， ,
,,,,,,,,事件
与事件 至少有一个发生包含的样本点有11个，如图
10.1.3-4所示，即，， ，
，，，，，， ，
,
事件与事件 至少有一个发生的概率为
．
对于抛掷两枚质地均匀的骰子（或将一枚骰子先后抛掷两次）的试验，其本质是“有
放回抽取”，样本点（共36个）可以用列表法或坐标系法轴、 轴分别表示抛掷两
枚骰子的结果 表示出来，并用有序数对表示样本点，即得样本空间，从而可快速解
决相应事件的概率计算.
. .
3 抽取中的古典概型问题
母题 致经典·母题探究
“有放回抽取”“无放回抽取”和“一次性批量抽取”的概率
1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是
特别经典的题型，解题时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”.“有放回”是
指每次抽取之后，都把抽取的个体放回原处，这样每次抽取时，被抽取的个体的总
数是一样的；“无放回”是指在每一次抽取后，并不放回原处，这样，每次抽取时，
后一次被抽取的个体总数较前一次被抽取的个体总数少.#1.1
. .
. .
. .
. .
2.“有放回抽取”和“无放回抽取”的区别在于，同个个体“有放回抽取”可能被抽到多次，
而“无放回抽取”最多被抽到一次.因此，“有放回抽取”的样本空间包含的样本点的个
数比“无放回抽取”的样本空间包含的样本点个数多.
3.“一次性批量抽取”与“逐个不放回抽取”是等价的，其试验结果既可以视为有序的，
也可以视为无序的，不同情形下样本点的个数是不一样的，但最终所求的概率相同.
而“有放回抽取”的结果只能视为有序的.#1.3
例6 (2025·江苏省南通市质检)口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，求：
（1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
【解析】无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为 （红，白），（红，黄），
（白，黄）（无序），所以摸出的是红球和白球的概率为 .
. .
. .
（2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率.
教材深挖
本处是经典的抽取问题，也是对教材第238页[例9]的深挖，
【解析】有放回地取球.样本空间为 （红，红），（红，白），（红，黄），
（白，白），（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，白），（黄，黄） ，
共9个样本点，而事件“摸出一红一白”包含（红，白），（白，红）2个样本点，所
以两次摸出的球是一红一白的概率为 .
名师点评 对于第（1）问的无放回取球，取两次，其结果也可以视为有序的，相应
的样本空间为{（红，白），（红，黄），（白，红），（白，黄），（黄，红），
（黄，白），包含6个样本点，所以摸出的是红球和白球的概率为 .通常情况下，
我们将此类试验的结果都视为无序的，这样样本空间中包含样本点的个数较少，即
使不列举也便于计算.
子题
子题1 口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，若从袋中摸出一个后放
回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.
【解析】有放回地取球.样本空间为 （红，红），（红，白）（有序），（红，黄），
（白，白），（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，白），（黄，黄） ，
共9个样本点，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含（红，白）1个样本点，
故所求概率为 .（与母题（2）相比，样本空间相同，所求事件包含的样本点个数不
同）
. .
. .
子题2 口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，若从袋中依次无放回地
摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.
【解析】无放回地取球.样本空间为 （红，白），（红，黄），（白，红），
（白，黄），（黄，红），（黄，白） ，共6个样本点，第一次摸出红球，第二次
摸出白球，只包含（红，白）1个样本点，故所求概率是 .（与子题1对比，样本空间
不同）
【学会了吗丨变式题】
1.(2025·北京市大兴区期末)盒中有3个灯泡,其中2个是合格品，1个是次品.
【答案】将灯泡中2个合格品记为,，1个次品记为 .
（1）从中取出1个灯泡，然后放回，再取出1个灯泡，求连续两次取出的都是合格品
的概率;
【答案】画出树状图如图D 10.1.3-1所示.
图D 10.1.3-1
样本空间,,,,,,, ,
，样本点个数为9，事件“连续两次取出的都是合格品”的样本点个数为4，
所以所求概率为 .
（2）从中一次任取2个灯泡，求2个灯泡都是合格品的概率.
【答案】试验“从中一次任取2个灯泡”的样本空间, ,
表示一次取出, ，样本点个数为3，“2个灯泡都是合格品”的样
本点为，样本点个数为1，所以所求概率为 .
4 数字选取的古典概型问题
例7 ［教材改编P241 T3］在区间与 内各随机取1个整数，设两数之和为
，则 的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】 从区间，内各随机取1个整数的样本空间为
（无序），，，，，，，，，， ，
，，， ，共15个样本点，
不等式等价于 ，
设事件为“ ”，
则，，，，，，，， ，共9个样本
点，
所以 .
. .
图10.1.3-5
以内的整数0,1,2,3,4为横坐标， 内的整数2,3,4
为纵坐标 ，在平面直角坐标系中描出样本空间中所有的样本点，
共15个，如图10.1.3-5.
因为 ，所以符合要求的样本点为图中虚线框内
的样本点，共9个.
根据古典概型的概率公式得的概率 .
名师点评 本题既不是“有放回抽取”问题，也不是“无放回抽取”问题，因此要视具体
问题的特点，写出相应的样本空间，本题中要注意数字的选取及顺序问题，特别是
数字的选取是否允许重复，这关系到样本点的个数.
5 排队（排座）中的古典概型问题
例8 有，，，四位贵宾，应分别坐在,,, 四个席位上，现在这四人均未留
意，在四个席位上随便就座.
（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
【解析】设事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件 只包含1个样本点，
所以 .
（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
【解析】设事件为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件 包含 9个样本点
（图中标记为“”的情形），所以 .
（3）求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
【解析】设事件为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件 包含 8个样本点
（图中标记为“√”的情形），所以 .
. .
. .
【解析】将，，， 四位贵宾就座情况用图10.1.3-6所示的图形表示出来.
由图可知，所有的等可能样本点共有24个.
题后思考 如果这四人中至少有2人坐在自己的席位上，那么该如何求解概率呢？
【提示】 至少有2人坐在自己的席位上，那么可以分解为“恰好都坐在自己
的席位上”和“恰有2人坐在自己的席位上”，由图可知，这两个事件的样本点个数分
别为1和6，所以至少有2人坐在自己的席位上的概率为 .
至少有2人坐在自己的席位上的对立事件为“至多有1人坐在自己的席位上”，
即分解为“恰好都没有坐在自己的席位上”和“恰好有1人坐在自己的席位上”，由例题
第问解析可知，这两个事件的概率分别为和 ，所以至少有2人坐在自己的席
位上的概率为 .
排队（排座）问题是一种常见的有序排列问题，在样本点的计数中，涉及的元素较
多，画树状图是一种不错的选择，一般按照“分析样本点 表示样本点 计算样本
点个数 求概率”这种程序化的步骤进行求解.
. .
【学会了吗丨变式题】
2.甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之
间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交
换的概率为__.
【解析】四位同学的所有换位情况如图D 10.1.3-2所示：
图D 10.1.3-2
由图知甲和乙的座位恰好交换的情况只有一种，则甲和乙的座位恰好交换的概率为 .
题型2 概率的基本性质的应用
1 互斥事件的概率
例9 [多选题](2025·广东省江门市期中)已知事件,,两两互斥，若 ,
, ，则( )
ACD
A. B. C. D.
【解析】因为事件,,两两互斥，所以 ，
则 ，故A正确；
，
则 ，故B错误；
，故C正确；
因为事件，互斥，所以 ,故D正确.
例10 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球，得到红球
的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率也为 ，试求得到
黑球、黄球、绿球的概率分别为多少.
【解析】记“得到红球”为事件,“得到黑球”为事件,“得到黄球”为事件 ,“得到绿球”
为事件,事件,,, 彼此互斥（取一球，则不能同时取出两种及以上颜色的球），
则由题意可知， ,
①,
②.
由事件和事件 互为对立事件可得
. .
，
即 ③.
联立①②③（运用了方程思想，利用互斥事件的概率加法公式列出相关等式，通过
解方程组求出相关概率）可得, ,
.
即得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，， .
（【另解】取到各颜色球彼此互斥，且取到其中任意一种颜色的球与取到其他三种
颜色的球互为对立事件，则取到绿球的概率为 ，取到黄球的概率为
，取到黑球的概率为 ）
. .
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要确定事件彼此互斥，同时要学会把一
个事件分拆为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤为：
（1）确定各事件彼此互斥；
（2）求各事件分别发生的概率，再求其和.
2 对立事件的概率
例11 ［教材改编P247 T12］若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录
用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有
（甲，乙，丙）,（甲，乙，丁）,（甲，乙，戊）,（甲，丙，丁）,（甲，丙，戊）,
（甲，丁，戊）, （乙，丙，丁）,（乙，丙，戊）,（乙，丁，戊）, （丙，丁，戊），
共10种.
“甲或乙被录用”共有9种，故“甲或乙被录用”的概率为 .
“甲与乙均未被录用”只有（丙，丁，戊）这1种，概率为 ，故其对立事件
“甲或乙被录用”的概率为 .
设“甲被录用”为事件，“乙被录用”为事件 .
易求得,， ，
“甲或乙被录用”的概率为 .
（方法2凸显概率的基本性质6的应用）
利用对立事件的概率公式解题的思路
当事件包含的情况较多时，多采用正难则反的思想，可考虑其对立事件，利用对立
事件的概率计算公式 求其概率.特别地，对于含有“至少”“至多”等
事件的概率计算，通常利用对立事件的概率计算公式求解.
【学会了吗丨变式题】
3.［教材改编P247 T13］某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7
环以下的概率分别为，，，， .计算这个运动员在一次射击中：
（1）射中10环或9环的概率；
【答案】设“射中10环”“射中9环”分别为，，显然事件, 互斥，
因此 ，
所以射中10环或9环的概率为0.3.
（2）至少射中7环的概率．
【答案】因为“射中7环以下”的概率为 ，“射中7环以下”与“至少射中7环”是对立
事件，
所以由对立事件的概率公式得，“至少射中7环”的概率为 .
3 复杂事件的概率
例12 (2025·浙江省杭州市期中)设,是一个随机试验中的两个事件，且 ,
,，则 ___．
【解析】由概率的性质得 ，
所以 ，
又，所以 ，
所以． 【另解】
,因为与 互为对立事件，所以
例13 [多选题](2025·江苏省常州市期末)设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个
红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件 “从
甲袋中任取1球是红球”，记事件 “从乙袋中任取1球是白球”，则( )
ABD
A. B. C. D.
【解析】甲袋中有2个红球和1个白球，因此从甲袋中任取1球是红球的概率为
，故A正确.
设甲袋中的红球为,,白球为，乙袋中的红球为，白球为， ，
则从甲袋中取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球的样本空间为{ ,
（分别表示从甲袋取出的球，从乙袋取出的球，取出的球相同表示从甲袋取出的球
放入乙袋中又被取出）,,,,,,, ,
,,, ,共12个样本点.
. .
其中事件 表示从甲袋中取一个红球放入乙袋，再从乙袋中取一个白球，
因此,,, ,包含4个样本点，
所以 ，故C错误.
事件 表示从甲袋中取一个白球放入乙袋，再从乙袋中取一个白球，
因此,,,包含3个样本点，所以 ，故D正确.
事件 表示从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中取一白球,
因此,,,,,, ,包含7个样本点，
所以 ，故B正确.
，且与 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
，故B正确.
求复杂事件的概率的方法
对于复杂事件的概率计算，通常将复杂的事件通过分析，拆分为若干个两两互斥的
事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式的推广
求其概率.而当复杂事件包含的
两两互斥事件较多时，则考虑利用对立事件的概率公式求解.
【学会了吗丨变式题】
4.(2025·湖南省娄底市期末)设，是一个随机试验中的两个事件，且 ，
，，则 ( )
A
A. B. C. D.
【解析】因为，所以 .
因为与 为互斥事件，
所以 ，
又,， ，
所以 ，即
，
所以 .
题型3 古典概型与其他知识的综合
1 与统计的综合
图10.1.3-7
例14 某高校为了制订培养学生阅读习惯、指导学生提
高阅读能力的方案，需了解全校学生的阅读情况.现随
机调查了200名学生每周阅读时间 （单位：时），并
绘制了如图10.1.3-7所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的中位数（精确到 ）.
【解析】,， 中
位数 ，
由 ，
解得 ．
（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间在
内的学生中抽取6名参加座谈会．
（ⅰ）你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；
【解析】应从每周阅读时间在 内的学生中抽取2名，从每周阅读时间在
内的学生中抽取4名．
理由：每周阅读时间在内的学生与每周阅读时间在 内的学生是差异
明显且不重叠的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，
宜采用分层随机抽样的方法抽取样本，
两者频率分别为， ，
应按照 的比例进行名额分配．
（ⅱ）从这6名学生中随机抽取2人，求至多有1人每周阅读时间在 内的概率．
【解析】设从每周阅读时间在内的学生中抽取的2人为， ，从每周阅读
时间在内的学生中抽取的4人为，，， ，从这6人中随机抽取2人的
所有样本点有15个，分别为，，，， ，
，，，，，，， ，
， .
事件“至多有1人每周阅读时间在内”包含9个样本点，分别为 ，
，，，，，，， .
至多有1人每周阅读时间在内的概率为 ．
【学会了吗丨变式题】
图10.1.3-8
5.(2025·河南省封丘县第一中学开学考试)某市组织
了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为
“全民反诈在行动”的宣传活动.为了让宣传更加全面
有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，
这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图
10.1.3-8所示.
（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用该组区间中点值代替）；
【答案】由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄约为
.
（2）现用分层随机抽样的方法从年龄在和 两组市民中一共抽取6人，
再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.
【答案】样本中年龄在的频率为，年龄在 的频率
为 ，
则从年龄在的市民中抽取（人），分别记为，，， ，
从年龄在的市民中抽取（人），分别记为， ，
从这6人中随机抽取2人进行电话回访，样本空间为，，，，， ，
，，，，，，，， ，共15个样本点，
其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的样本点有，，，，， ，
， ，共8个，
所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率为 .
2 与函数、方程、不等式的综合
例15 (2025·湖北省荆门市期中)已知集合， ,
,，则 的概率是( )
C
A. B. C. D.1
【解析】因为,，所以可用列表法得到样本点 的总个数为9
（如下表所示）.
1 2 3
1
2
3
因为 ，所以 .
当时，样本点为,,,,, ,（表中阴影部分）
此时 ，满足题意；
当样本点为时，，此时 ，满足题意；
当样本点为时，方程 没有整数解，不满足题意；
当样本点为时，方程的解为1,2，此时 ，满足题意.
综上，满足题意的样本点有8个，故所求概率为 .
例16 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为， ．求：
（1）满足 的概率；
【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子，将向上的点数记为数对 ，易知共有36个样
本点．
满足的样本点有，，，，，，， ，
，，，，，， ，共15个．
所以满足的概率为 ．
（2）满足 的概率．
【解析】由，得，则满足的样本点有 ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共20个．所以满足
的概率为 ．
古典概型与函数、方程、不等式的综合问题的解题思路
关于函数、方程、不等式与概率的综合问题，考查的是如何计算要求的事件所包含
的样本点个数，通常需要将函数、方程与不等式的知识应用其中.解决此类问题，只
需要利用函数、方程、不等式知识确定样本点的个数，最后利用古典概型的概率计
算公式计算即可.
【学会了吗丨变式题】
6.(2025·山东省潍坊第一中学开学考试)若，3，4，6，，则关于 的方程
有实根的概率为__.
【解析】 方程 有实根，
，解得 ，
又，3，4，6， ，
可取的值的集合为，3， ，
则关于的方程有实根的概率为 .
7.从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数分别记为，，则满足 的
概率为_ _.
【解析】从1,3,5,7中随机取出2个不同的数，所有可能的结果如图D 10.1.3-3所示，
图D 10.1.3-3
所以样本空间为，，，，，，，， ，
，， ，共有12个样本点，每个样本点出现的可能性相同，因此该试
验是古典概型试验.
其中样本点，，，，，满足 ，共6个，所以
的概率为 .
新考法 数学建模
建立概率模型（古典概型）
一般来说，在建立概率模型（古典概型）时，把什么看作一个样本点（即一个试验结
果）是人为规定的.对于同一随机试验，可以根据需要建立满足我们要求的概率模型.
一方面，对于同一个实际问题，有时可以建立不同的模型来解决，即一题多解，在
多解中，再寻求较为简捷的解法；另一方面，又可以用同一种模型去解决很多不同
的问题，即多题一“解”.
从不同的角度把握实际问题，将其转化为不同的古典概型来解决，这是我们进行概
率计算的重要思想.概率模型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单,但并
不是概率模型中的任何事件的概率都可以在转化后求得.有些概率模型的样本点数目
庞大，不易或者根本无法一一列举，我们可以转化思维的角度，构建新的概率模型，
使试验中可能的情况变少，从而易于计算.
因此在建立古典概型时,需注意：
（1）要尽可能使所有可能出现的结果较少，以便使问题的解决更加简单；
（2）要求后面所研究的事件都能轻易地由若干个样本点表示出来.
下面通过一道例题进一步体会.
例17 从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数
大于50的概率为_ _.
【解析】 样本空间共包含30个样本点（不再详细展示）.
设“组成的两位数大于50”为事件,则 ,包含10个样
本点.
由古典概型的概率计算公式得所求概率 .
由于50的个位数字是0，而组成的两位数个位上的数字一定大于0，因此大
于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可.所有的样本点（十位上的数字的所有
可能情况）是1，2,3，4,5，6，共6个.
设“十位上的数字不小于5”为事件，则事件 包含的样本点是5，6，共有2个.
由古典概型的概率计算公式得 ，即为所求概率.
. .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
古典概型在高考试题中经常出现，大多以简单实际生活为背景，通过理解题意，建
立古典概率模型，正确列举样本点即可求解.概率的基本性质与古典概型的综合是高
考考查的重点，需要熟练掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率加法公式，
并能够灵活运用.
核心素养：数学建模（建立古典概型）、数学运算（概率的求解）、逻辑推理
（互斥事件、对立事件的辨析及其对应公式的应用）.
考向1 利用概率的基本性质求概率
例18 (新高考全国Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有 的学生喜欢足球
或游泳，的学生喜欢足球， 的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢
游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
C
A. B. C. D.
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该
中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事
件 ，
则，， ，
所以 .
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
考向2 古典概型概率的直接求解
例19 (2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名
学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】记高一年级2名学生分别为，，高二年级2名学生分别为， ，则从
这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有，， ，
，， ，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有
，，， ，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率
为 ，故选D.
例20 (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽
取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】设6个主题分别为，，，，， ，甲、乙两位同学所选主题的所有可
能情况如表：
乙 甲
共36种情况.
其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故甲、乙两位参赛同学抽到不同
主题的概率为 .
考向3 古典概型与其他知识的综合
例21 (2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质
的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，取法共有21种，取得的2个数互质
的情况有，，，，，，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，，，，， ，共14种，根据古典概型的概率
计算公式，得这2个数互质的概率为 ．故选D．
高考新题型专练
1.[多选题](2025·江苏省南通市质检)以下对各事件发生的概率判断正确的是
( )
ABC
A.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中取出一个球是
红球的概率是
B.在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为
C.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D.甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
【解析】对于A，由古典概型的概率计算公式可得，从中取出一个球是红球的概率
是 ，A正确.
对于B，不超过14的素数有2,3,5,7,11,13，从中随机选取两个不同的数，其样本点包
括，，，，，，，，， ，
，，，， ，共15个，其中和等于14的样本点只有一
个，即 ，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概
率为 ，B正确.
对于C，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有 （种）情况，观察向
上的点数，则点数之和是6的有5种情况，即，，，， ，所
以点数之和是6的概率是 ，C正确.
图 D 10.1.3-4
对于D，画出树状图如图D 10.1.3-4，
从树状图可以看出，所有可能出现的结果共
有9种，这些结果出现的可能性相等，甲不输
与乙获胜是对立事件，乙获胜的概率 ，
故玩一局甲不输的概率为 ，D错误.
故选 .
2.[多选题](2025·甘肃省酒泉市期末)一个袋子中装有3件合格品和1件次品，按以下要
求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
ACD
A.一次任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
【解析】记4件产品分别为1，2，3，,其中 表示次品.
对于A，样本空间,,,,, ,“恰有一件次品”的样本点
为,,，因此所求概率为 ，A正确；
对于B，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间,,, ,
, ,,,,,, ,因此样本点总数为12,B错误；
对于C，结合选项B，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点有,, ,
, ,，共6个，故其概率为 ，C正确；
对于D，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间,,, ,
,,,,,,,,,,, ,因此样本点总
数为16,D正确.故选 .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.[教材改编P237例8]抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和能被3整除的概
率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】抛掷两枚骰子，向上一面的点数的样本空间的样本点个数为36，“向上一面
的点数之和能被3整除”的样本点有，，，，， ，
，，，， ，共12个．
所以向上一面的点数之和能被3整除的概率为 .
2.(2025·广东省惠州市第一中学段考)已知事件，互斥，， ，则
( )
C
A. B. C. D.
【解析】，， ，
事件， 互斥，
．故选C.
3.新情境 神农幻方 (2025·宁夏银川一中期末)刘徽是魏晋时期著名数学家，他给出
的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把1，2， ，排成 的方
阵，使其每行、每列和对角线的数之和均相等．下表是3阶幻方，现从中随机抽取和
为15的三个数，则含有4或6的概率是( )
8 1 6
3 5 7
4 9 2
C
A. B. C. D.
【解析】所有和为15的3个数的情况为，，，， ，
，， ,共有8种，其中含有4或6的情况共有5种，所以含有4或6的
概率是 .
4.有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号分别为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号
分别为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率
相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件 “从甲盒中所抽取的球的编号小于
3”，“两个球编号之和为偶数”，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】根据题意，现从两个盒子中各取出1个球，设球的编号组合为， 表示
取得的甲盒球的编号，表示取得的乙盒球的编号.则样本空间为,, ,
,,,,,,,,,,, ，包含15个样本点.
事件 表示“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”且“两个球编号之和为偶数”，
（找样本点时可以先找符合一个条件的样本点，然后从中筛选符合另外一个条件的
样本点）
则,,，共包含3个样本点，则 .故选D．
5.(2025·四川省绵阳中学月考)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为
( )
C
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
【解析】把3个1和2个0排成一行，共有10种排法，分别是00111，10011，11001，
11100，01011，01101，01110，10101，10110，11010，其中2个0不相邻的排法有6
种，分别是01011，01101，01110，10101，10110，11010，所以所求概率为 .
6.[多选题](2025·山东省淄博第四中学检测)从集合，，2， 中随机选取
一个数记为，从集合，1，中随机选取一个数记为 ，则( )
AC
A.的概率是
B.的概率是
C.直线不经过第三象限的概率是
D.的概率是
【解析】由题意可得 所有可能的取法有以下12种：
，，，，，，，， ，
，， ．
其中满足的取法有，，，，， ，共6种，
则的概率为 ，故A正确；
其中满足的取法有，，，，，， ，
共7种，则的概率为 ，故B错误；
因为直线不经过第三象限，所以， ，
所有满足直线不经过第三象限的取法有，，， ，
共4种，则直线不经过第三象限的概率为 ，故C正确；
因为，所以，， ，所有满足
的取法有，， ，共3种，
故的概率为，故D错误．故选 .
7.［教材改编P246 T7］有5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5.
（1）从中不放回地抽取2张，卡片上数字全是奇数的概率为_ __；
【解析】从标有数字1,2,3,4,5的5张卡片中不放回地抽取2张，样本空间为 ，
，，，，，，，， ，共10个样本点,且
每一个样本点出现的可能性相等.
卡片上数字全是奇数的有，， ，共3个样本点，由古典概型的概率计
算公式可得卡片上数字全是奇数的概率为 .
（2）从中有放回地抽取2张，则卡片上的数字全是偶数的概率为_ __．
【解析】从中有放回地抽取2张，样本空间为，，，， ，
，，，，，，，，，， ，
，，，，，，，， ，
共有25个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，
两数都为偶数的样本点有，，， ，共4个，则卡片上数字全是偶
数的概率为 .
8.学科综合 同位素 (2025·河南省新乡市期末)科学家在1927年至1929年间发现自然
界中的氧含有三种同位素，分别为，， ，根据1940年比较精确的质谱测定，
自然界中这三种同位素的含量比为占，占，占．
现有3个，2个，个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是 的
概率为 ．
（1）求 ；
【答案】依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是的概率 ，
则有 ，
解得 .
（2）若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
【答案】记3个分别为，，，2个分别为，，1个为 ，从中随机选
取2个，样本空间为，，，，，，， ，
，，，，，， ，
样本点共有15个，其中这2个氧元素是同一种同位素的样本点为， ，
， ，共4个，
所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是 .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·广东省揭阳市期末)在一次马拉松比赛活动中，四位志愿者,,, 被随机分
配到四个物资发放点(站点，每人原属站点分别为,,, .规
定每人不能分配到原属站点，则志愿者 被分配到站点4的概率是( )
B
A. B. C. D.
图 D 10.1.3-1
【解析】 因为每人不能分配到原
属站点，所以分配情况如图D 10.1.3-1所
示，共有9个样本点.
由图可知，志愿者 被分配到站点4的样本
点有3个，故所求概率为 .
被分配到站点4与被分配到站点2
和站点3的机会是相等的，且必然被分配到站点2，3，4中的某一个，则 被分配到
站点2，3，4的概率都是 ．
10.(2025·江苏省南京外国语学校期中)已知圆周率 ，把圆周率通过四
舍五入精确到的近似值分别记为,,,,，若从,,, ,
中任取2个数,；,，则满足 的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由题意可得,,,, ，
从,,,,中任取2个数,的样本空间为 ,
,,,,,,,， ，共10个
样本点，
其中满足的有,, ，共3个样本点，
所以所求概率 .故选C.
11.［教材改编P247 T12］有能力互异的3人应聘同一公司，他们按照报名顺序依次
接受面试，经理决定：不录用第一个接受面试的人，如果第二个接受面试的人比第
一个能力强，就录用第二个人，否则就录用第三个人.记该公司录用到能力最强的人
的概率为，录用到能力中等的人的概率为，则 ( )
D
A. B. C. D.
【解析】设三人能力分别为强、中、弱，则三人参加面试的次序为（强、中、弱），
（强、弱、中），（中、强、弱），（中、弱、强），（弱、中、强），（弱、强、
中），总共6种情况，
由题意得，该公司录用到能力最强的人包含的结果有（中、强、弱），（中、弱、
强），（弱、强、中），共3种情况，所以该公司录用到能力最强的人的概率
.
该公司录用到能力中等的人包含的结果有（强、弱、中），（弱、中、强），共2种
情况，所以该公司录用到能力中等的人的概率 .
12.[多选题](2025·广东省佛山市期中)设， 是一个随机试验中的两个事件，已知
， ，则( )
ABD
A. B. C. D.
图D 10.1.3-2
【解析】由， ，即
（结合图D 10.1.3-2即可
得出该结论），知 ，所以C错误;
又 ，所以A正确;
同理可得 ，B正确;
又 ，所以D正确.
故选 .
. .
. .
13.新情境 新定义题 规定其中， .已知点
集，，，若从点集 中任取一个点，则在点的横、
纵坐标中有偶数的条件下，横、纵坐标都是偶数的概率为___.
【解析】已知，， ，
若和一奇一偶，则，满足此条件的有 ，
故点 有8个，
若和奇偶性相同，则 ，满足点的横、纵坐标中有偶数的情况为
（只算一次），共15组，
故点 有29个，
所以点的横、纵坐标中有偶数的个数为 ，
横、纵坐标都是偶数的个数为29，
所以在点的横、纵坐标中有偶数的条件下，横、纵坐标都是偶数的概率为 .
. .
图10.1.3-1
14.某中学对学生开展了“航天科技”有关知识的讲座并
进行测试，将所得测试成绩（满分100分）整理后，绘
制出频率分布直方图如图10.1.3-1所示．
（1）求频率分布直方图中 的值，并估计测试的平均
成绩；（每组数据取该组区间中点值为代表）
【答案】由题意得
，
，
平均成绩约为
（分）.
（2）学校要求对不及格（60分以下）的同学进行补考，现按分层随机抽样的方法从
成绩在 内的同学中抽取5名，再从这5名同学中抽取2人，求这2人中至少有1人
需要补考的概率．
【答案】由题意知抽取的5人中成绩在（不及格）内的有2人，记为, ，成
绩在内的有 3 人，记为，， ．
随机试验的所有可能结果有,，，，，，，，， ，共
10种，
其中至少有 1 人需要补考的结果有,，，，，， ，共 7 种，
所以所求概率为 .
C 培优练丨能力提升
15.(2025·山东省青岛市城阳第一高级中学月考)甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比
赛规则如下：每次两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，
原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛.三人决定由乙、丙先
上场比赛，甲作为裁判.
（1）第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的
六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6,则由乙发球;两次点数
之和能被4整除,则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由.
【答案】连续掷骰子两次的样本点总数为 ，两次点数之和为6包含的样本
点有,,,,，共5个，故乙发球的概率为 .
两次点数之和能被4整除包含的样本点有,,,,,, ,
, ，共9个，
故丙发球的概率为.因为 ，所以这个方法不公平.
（2）三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为 ，每局比赛之间相互不影
响且每局比赛没有平局，求在4局比赛中甲当2局裁判的概率.
【答案】如图D 10.1.3-3所示，用树状图列举每局当裁判的可能情况，一共有8种，
图D 10.1.3-3
其中甲当2局裁判有6种情况，所以在4局比赛中甲当2局裁判的概率为 .