10.2 事件的相互独立性 课件(共88张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共88张PPT)
第十章 概率
10.2 事件的相互独立性
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 事件的相互独立性
学思用·典例详解
1 定义
对任意两个事件与，如果（）成立，则称事件与事件
相互独立，简称为独立.
知识剖析（1）事件与相互独立就是事件发生与否不影响事件 发生的概率，事
件发生与否也不影响事件 发生的概率．在实际问题中，我们常常依据实际背景去
判断事件之间是否相互影响，若认为事件之间相互没有影响，则认为它们相互独立
（定性法）.#1.1
. .
（2）相互独立事件同时发生的概率 ，（定量法）就是说，
两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积.
（3）由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 、不可能事件 都与
任意事件相互独立.这是因为必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；
同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响.当然，它们也不
影响其他事件是否发生.#1.3
. .
. .
2 性质
若事件与相互独立，则与,与，与 也相互独立．
3 应用
（1）因为“与相互独立”是“ ”的充要条件，所以如果已知两
个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率．
（2）由判断与 是否相互独立.
4 推广
两个事件的相互独立性可以推广到 个事件的相互独立性,即若事
件,, ,相互独立,则这 个事件同时发生的概率
.
. .
. .
学思用·典例详解
【想一想丨触类旁通】
对于事件的独立性，我们可以利用现实生活中的电路来辅助理解，如图10.2-1所示.
图10.2-1
图10.2-1（1）是串联电路，在线路正常的情况下，两个灯泡是否正常工作是互相影
响的.
图10.2-1（2）是并联电路，在线路正常的情况下，两个灯泡是否正常工作互不影响.
例1-1 (2025·山东省日照市期末)若事件与事件相互独立，且 ,则
( )
C
A.0 B. C. D.
【解析】由相互独立事件的性质可得
.
释疑惑 重难拓展
知识点2 互斥事件与相互独立事件的辨析
（1）互斥事件与相互独立事件的概率公式
相互独立事件 互斥事件
判断 方法 一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响.
概率 公式
（2）已知事件，发生的概率分别为， .
①当事件与互斥时，， .
②当事件与相互独立时， ，
，或
.
③当时，， .
（3）若,,则事件,相互独立与, 互斥不能同时成立.
下面证明：若事件,相互独立，则， 不互斥.
由事件与相互独立，得 ，
因为,，所以 ，
即 ，故， 不互斥.
（【教材链接】见教材第253页习题10.2第3题）
例2-2 [教材改编P251例2](2025·黑龙江省哈尔滨市第七十三中学期末)射箭运动作为
奥运会的一个项目，近年来逐渐受到年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射
中10环的概率均为 ，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、
乙两人中至少有一人射中10环的概率为( )
D
A. B. C. D.
【解析】记事件“甲射中10环”，事件“乙射中10环”，则 ，且
事件， 相互独立，
甲、乙两人中至少有一人射中10环即事件 .
.
（【注意】事件， 不是互斥事件，因
此要用概率的基本性质6）
.
. .
知识点3 三个事件的两两独立与相互独立性
1 三个事件两两独立
事件,,两两独立，即事件,, 中任意两个事件之间相互独立，即
,, .但未必有
.
（【教材链接】见教材第252页练习第2题）
反之，若，也未必有 ,
, .
（【教材链接】见教材第253页习题10.2第5题）
2 三个事件相互独立
当三个事件,,同时满足, ,
，且时，称事件,, 相互独立.
（四个条件缺一不可）
显然三个事件两两独立与三个事件相互独立是不等价的.当三个事件,, 相互
独立时，其中任意两个事件相互独立，且 .
例3-3 某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道
题，若答对，则通过初赛，若三次都未答对，则淘汰.已知甲、乙、丙都参加了这次
环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是 ，假设每人每次答题都是相互独立的.
（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；
【解析】记甲第二次答题通过初赛为事件，则 .
（2）求乙通过初赛的概率；
【解析】记乙通过初赛为事件 ，则
.
（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.
【解析】依题意，甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为 ，记甲、乙、丙三人中恰有
两人通过初赛为事件 ，
（甲、乙、丙三人是否通过初赛相互独立）
则 .
解题课丨关键能力构建
题型1 相互独立性的判断
例4 判断下列各对事件是不是相互独立事件．
（1）甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选
1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
【解析】（定性法）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名
女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．
（2）掷一枚骰子一次，事件“朝上面的点数为偶数”,事件 “朝上面的点数为3或6”.
【解析】（定量法）样本空间为，2，3，4，5，，，4， ，
，,所以，, ，
即,故事件与事件 相互独立.
判断两个事件是否相互独立的方法
（1）定量法：利用 是否成立可以准确地判断两个事件是否相互
独立．
（2）定性法：直观地判断一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，
若没有影响就是相互独立事件．
【学会了吗丨变式题】
1.(2024·上海春季)有四个礼盒，前三个里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第
四个礼盒里面上述三种礼品都装了，现从中任选一个礼盒.设事件 为“所选礼盒中有
中国结”，事件为“所选礼盒中有记事本”，事件 为“所选礼盒中有笔袋”，则下列说
法中正确的是( )
B
A.事件与事件互斥 B.事件与事件 相互独立
C.事件与事件互斥 D.事件与事件 相互独立
【解析】由于第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,若抽到第四个礼盒，则事件 和
事件就同时发生了，因此事件与事件 不是互斥事件,故A错误;
由于，，，因此事件与事件 相互独立,
故B正确;
由于第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,还有笔袋，若抽到第四个礼盒，则事件
和事件就同时发生了，因此事件与事件 不是互斥事件,故C错误;
由于，，，因此事件 与事
件 不是相互独立的，故D错误.
综上，选B.
题型2 事件相互独立的应用
母题 致经典·母题探究
经典的“多人应聘、解题、射击等”问题
多人应聘同一岗位，多人解答同一道题目，多人射击同一个靶子等问题与实际生活
联系紧密，可充分体现独立性的应用，受到命题者的青睐.
例5 (2025·山东省广饶县第一中学开学考试)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人
单位的职位，3人能被选中的概率分别为，， ，且各自能否被选中互不影响.求：
（1）3人同时被选中的概率；
【解析】3人同时被选中的概率 .
（2）3人中恰有1人被选中的概率.
【解析】3人中恰有1人被选中的概率 .
【解析】第1步：用字母表示各事件.
记甲、乙、丙能被选中的事件分别为,, ,
第2步：确定各事件的概率及其关系.
则,,，且,, 相互独立.
第3步：确定待求概率的事件与，， 的关系，并求其概率.
命题探源 在求由几个相互独立事件构成的事件的概率时,一般先求出各独立事件发
生的概率,然后利用相互独立事件的概率乘法公式求概率.审题时应注意关键词语,如
“至少有一个”“至多有一个”“恰有一个”等.在求复杂事件的概率时,应学会对事件等价
分解（互斥事件的和）或考虑结合对立事件求解,从而使问题变得更容易解决.
子题
子题1 本例条件不变，求3人中至少有1人被选中的概率.
【解析】 3人中有2人被选中的概率
.
由本例第 问可知，3人中至少有1人被选中的概率
.
3人均未被选中的概率 .
因为“3人中至少有1人被选中”与“3人均未被选中”互为对立事件，所以“3人中至少有
1人被选中”的概率为 .
子题2 若本例条件“3人能被选中的概率分别为，， ”变为“甲、乙两人只有一人被
选中的概率为，甲、乙两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为 ”，求恰好有
2人被选中的概率.
【解析】设甲、乙两人恰有一人被选中为事件,甲、乙都被选中为事件 ，丙被选中
为事件，则事件，相互独立，事件，相互独立，（事件, 只与甲、乙能否
被选中有关，与丙能否被选中无关）则恰好有2人被选中的概率
.
母题 致经典·母题探究
例6 (2025·黑龙江省哈尔滨三中月考)三个元件,,正常工作的概率分别为，， ，
将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路．
图10.2-2
（1）在如图10.2-2所示的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
【解析】记正常工作为事件，正常工作为事件，正常工作为事件 ，
则, .
电路不发生故障，即正常工作且并联电路, 不发生故障，
并联电路，不发生故障即， 至少有一个正常工作，其概率
，
所以整个电路不发生故障的概率为 .
（2）三个元件连成怎样的电路，才能使电路不发生故障的概率最大？
【解析】把（1）中或与的位置互换（因为和 正常工作的概率是相同的，
所以只要换一下 ，得出不发生故障的概率，再与上面得出的结果进行比较就可以
得到结论），
所得电路不发生故障的概率 （并联电路发生故障的概
率）］
因为,所以把或与的位置互换，即与并联后再与 串联，这
样的连接方式能使电路不发生故障的概率最大．
. .
. .
命题探源
电路问题中的独立性
电路问题可以形象地解释独立性的情境，解决此类电路问题的关键是：
（1）恰当地用事件的“并”“交”表示所求事件；
（2）“串联”时系统无故障易求概率，“并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对
立事件概率之间的转化．
子题
图10.2-3
子题1 (2025·河南省开封市杞县高中检测)如图10.2-3，已知电路中3
个开关闭合的概率都是 ，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】由并联电路可知，,处线路或 处线路至少有一个通电，
灯才会亮，对立事件为,处线路和 处线路都不通电.
因为,处线路为串联，则,处线路通电的概率 .
,处线路和处线路为并联，所以,处线路和 处线路都不通电的概率
.
由对立事件的概率公式得灯亮的概率 .
图10.2-4
子题2 如图 10.2-4，由到 的电路中有4个元
件，分别标为，，，，电流能通过 ，
，的概率都是,电流能通过的概率是 ，
电流能否通过各元件相互独立.已知，，
中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
（1）求 ;
【解析】,,, 相互独立,
所以 .
又 ,
所以，解得 .
（2）求电流能在与 之间通过的概率.
【解析】电路图可等价变形为如图10.2-5所示.
图10.2-5
把，，看作整体（结构与母题相同），与 并联.
因为与并联，然后与 串联，
所以，， 整体线路通电的概率为
. .
.
又所在线路通电的概率 ，
故 .
【解析】记事件表示“电流能通过”, ,2,3,4,
事件表示“,, 中至少有一个能通过电流”，
事件表示“电流能在与 之间通过”.
求相互独立事件的概率的思路
（1）求相互独立事件的积事件（即同时发生的事件）的概率，直接利用相互独立事
件的概率乘法公式求解.
（2）求相互独立事件的和事件（即至少有一个发生的事件）的概率，则利用概率的
基本性质 求解，或者利用对立事件的概率加
法公式： 求解.
（3）对于复杂事件概率的计算，通常将事件表示为若干个彼此互斥事件的和事件,
综合运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解.
【学会了吗丨变式题】
2.设对某目标进行两次相互独立的射击，已知前后两次的命中率分别是, ，试求：
【答案】设事件表示“第次射击命中目标”，则 ,
,且, 相互独立.
（1）在两次射击中恰有一次命中的概率；
【答案】设 表示“两次射击恰有一次命中目标”，
则,且, 互斥,
所以
.
即在两次射击中恰有一次命中的概率为0.56.
（2）在两次射击中至少有一次命中的概率.
【答案】设表示“两次射击中至少有一次命中目标”，则 .
所以（因为,并不互斥,所以 ）
（因为,相互独立，所以, 也相互独立）
.
即在两次射击中至少有一次命中的概率为0.68.
名师点评 题（2）中对于事件“两次射击中至少有一次命中”，若化归为若干个事件
的并事件，则情况较多，解决起来较为烦琐，而利用对立事件的概率公式，则能化
繁为简.
. .
. .
3.(2025·山东省济南市历城第一中学月考)甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方
下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为 ，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随
后每盘棋赢的概率就变为 ．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
（1）求第四盘棋甲赢的概率；
【答案】第四盘棋甲赢分两种情况：
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率 ;
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率 .
设事件 为“第四盘棋甲赢”，
则 .
（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．
【答案】若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况：
①甲第三盘赢，此时的概率 ;
②甲第四盘赢，此时的概率 ;
③甲第五盘赢，此时的概率 .
设事件 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则 .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
高考对事件的相互独立性的考查，主要有对事件相互独立性的判断及相互独立事件
的概率乘法公式的应用.其中对相互独立事件、互斥事件、对立事件的综合考查是考
查的重点，且各类命题形式都有呈现，难度中等.
核心素养：数学运算（概率的求解）、逻辑推理（事件之间关系的判断）.
考向1 相互独立性的判断
例7 (新高考全国Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2,3,4,5,6，从中有放回地随机
取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次
取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两
次取出的球的数字之和是7”，则( )
B
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
需注意题眼“有放回地随机取两次”“每次取1个球”，还需注意题眼“第一
次……”“第二次……”，强调的是顺序.盯选项，需判断两个事件是否相互独立，利用
相互独立事件的概念进行解题，若事件，满足，则事件，
相互独立.
【解析】事件甲发生的概率（甲），事件乙发生的概率（乙） ，事件丙发
生的概率（丙），事件丁发生的概率（丁） .
事件甲与事件丙同时发生的概率为0，（甲丙）（甲） （丙），故A错误;
事件甲与事件丁同时发生的概率为，（甲丁）（甲） （丁），故B正确；
事件乙与事件丙同时发生的概率为，（乙丙）（乙） （丙），故C错误;
事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.故选B.
考向2 互斥事件、事件的相互独立性的综合应用
例8 (2025·上海)已知事件，相互独立，事件发生的概率为，事件 发生
的概率为，则事件发生的概率 为( )
B
A. B. C. D.0
【解析】因为事件,相互独立，所以 .
例9 (2025·天津节选)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概
率均为,若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6
圈，则第二次跑5圈的概率为 ,跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为____.
0.6
【解析】小桐一周跑11圈的概率 .
例10 (2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互
独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，， ，且
.记该棋手连胜两盘的概率为 ,则( )
D
A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛， 最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛， 最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛， 最大
【解析】该棋手与甲、乙、丙三位棋手的比赛顺序共有六种可能：甲乙丙、甲丙乙、
乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，该棋手连胜两盘，可以是第一、第二盘连胜
（此时第三盘胜负均可）或第一盘输但第二盘、第三盘连胜.
设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为 ，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率
为，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为 ，
第二盘与甲比赛有乙甲丙、丙甲乙两种情况，两种情况发生的概率都是 ，因此
，
同理 ，
.
所以，，所以 最大.
（求出，， 后，也可以代入特殊值进行比较大小）
例11 (2024· 新课标Ⅱ卷节选)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.
比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队
被淘汰，比赛成绩为0分;若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另
一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段
的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投
中的概率为 ，各次投中与否相互独立.
（1）若， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少
于5分的概率.
【解析】第1步：计算甲、乙所在队进入第二阶段的概率.
设“甲、乙所在队进入第二阶段”，则 .
第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的概率.
设“乙在第二阶段至少得5分”，则
第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.
设 “甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，
则 .
（2）假设 .为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁
参加第一阶段比赛
【解析】第1步:计算甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率.
设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率.
设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为 ，
则 .
第3步：比较与 的大小.
则 ,
由，得， ，
所以，即 .
第4步：做决策.
故应该由甲参加第一阶段比赛.
例12 (全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者
被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者
进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙
首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 .
（1）求甲连胜四场的概率；
【解析】甲连胜四场的概率为 .（独立事件的概率公式）
. .
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
【解析】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束，共有三种情况：
①甲连胜四场,概率为 ;
②乙连胜四场,概率为 ;
③丙上场后连胜三场,概率为 .
所以需要进行第五场比赛的概率为 （正难则反思想）.
. .
（3）求丙最终获胜的概率.
【解析】丙最终获胜，有两种情况.
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 .
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结
果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，， .
因此丙最终获胜的概率为 （互斥事件的概率加法公式）.
. .
高考新题型专练
1.[多选题](2025·四川省南充市嘉陵第一中学月考), 两组各有2名男生、2名女生，
其中组中的一名男生是小明，从, 两组中各随机选出1名同学参加演讲比赛，甲
表示事件“从组中选出的男生是小明”，乙表示事件“从 组中选出的是1名男生”，丙
表示事件“从,两组中选出的是2名男生”，丁表示事件“从, 两组中选出的是1名男
生和1名女生”，则( )
BCD
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.甲与乙相互独立 D.乙与丁相互独立
【解析】事件甲发生的概率（甲）,事件乙发生的概率（乙） ，事件丙
发生的概率（丙），事件丁发生的概率 （丁）
,而（甲丙）,（甲） （丙）
（甲丙），故甲与丙不相互独立，
（甲丁）,而（甲）（丁） （甲丁）,故甲与丁相互独立，
（甲乙）（甲） （乙）,故甲与乙相互独立，
（乙丁）（乙）（丁）,故乙与丁相互独立.故选 .
2.[多选题](2025·福建省厦门第一中学入学考试)某社团开展知识竞赛，甲、乙两人能
得满分的概率分别为， ，两人能否获得满分相互独立，则( )
ACD
A.两人均获得满分的概率为 B.两人至少一人获得满分的概率为
C.两人恰好只有甲获得满分的概率为 D.两人至多一人获得满分的概率为
【解析】设事件“甲获得满分”，事件“乙获得满分”，则, .
对于A，“两人均获得满分”可表示为 ,因为两人能否获得满分相互独立，
所以 ,即A正确；
对于B，因为“两人至少一人获得满分”的对立事件为 “两人都没获得满分”,
所以“两人至少一人获得满分”的概率为
，故B错误；
对于C，“两人恰好只有甲获得满分”可表示为 ，其概率为
，故C正确；
对于D，因为“两人至多一人获得满分”的对立事件为 “两人都获得满分”，则
“两人至多一人获得满分”为 ,故D正确.
故选 .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：25分钟
1.(2025·陕西省安康市期中)一个不透明袋子中装有100个球，其中有20个白球，从中
有放回一次摸出两球，用表示“第一次摸得白球”， 表示“第二次摸得白球”，则
事件与 是( )
A
A.相互独立事件 B.对立事件 C.互斥事件 D.无法判断
【解析】因为是有放回摸球，所以第一次摸球与第二次摸球相互不受影响，所以事
件与是相互独立事件，所以事件与 也是相互独立事件.
2.甲、乙两位同学去参加某高校科研项目面试．已知他们通过面试的概率都是 ，且
两人的面试结果相互之间没有影响，则甲、乙两人中仅有一人通过面试的概率为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】甲、乙两人中仅有一人通过面试的情况为“甲通过乙不通过或甲不通过乙通过”.
设“甲、乙两人中仅有一人通过面试“为事件 ，
则 .
图10.2-1
3.(2025·福建省福州市八中期末)如图10.2-1，已知电路中4个开
关闭合的概率都是 ，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】灯不亮，至少有一个未闭合，且， 都未闭合)的
概率为 ,
故灯亮的概率为 .
4.[教材改编P252例3](2025·湖北省武汉市期末)甲、乙两人组成“星队”参加必修第二
册数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为 .在每次答题中，
甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一
人答题；若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前4次中甲恰好答题3次的概率为
( )
D
A. B. C. D.
【解析】若前4次中甲恰好答题3次，则4次的答题人员情况有：甲甲甲乙，甲甲乙甲，
甲乙甲甲，
所以概率 .
5.新情境 投壶比赛 投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在
广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳．因此在投
壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投中壶耳）”．每一局投壶，每一位参赛者
各有四支箭,投中壶口一次得1分，投中壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比
赛（两人投中壶口、壶耳是相互独立的），甲四支箭已投完，共得3分，乙投完两支
箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为 ，四支箭投完，以得
分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为( )
A
A. B. C. D.
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①乙的第三支箭投中壶口，第四支箭必须投中壶耳，其概率 ；②乙的
第三支箭投中壶耳，第四支箭投中壶口、壶耳均可，其概率 .
则乙获胜的概率 .
6.[多选题](2025·陕西省西安市期末)设, 为一次随机试验中的两个事件，则以下命
题是真命题的为( )
ABD
A.若,为互斥事件，且,,则
B.若,,,则事件， 相互独立
C.若,,,则事件， 相互独立
D.若，,,则事件， 相互独立
【解析】对于A，由互斥事件的概率加法公式得 ,故A是真命题；
对于B，因为,所以事件， 相互独立，故B是真命题；
对于C，由得, ,所
以事件， 不相互独立，故C是假命题；
对于D，由题意得，,,此时，故事件，
相互独立，故D是真命题.
故选 .
7.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2
个问题，则停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 ，且
每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为
______.
0.128
【解析】依题意得，该选手第2个问题回答错误，第3个、第4个问题均回答正确，第
1个问题回答正误均有可能.由相互独立事件的概率计算公式，得所求概率为
.
8.在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．甲、乙对局中，甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为 ．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
（1）求前两局乙均获胜的概率.
【答案】依题意，前两局乙均获胜的概率为 .
（2）已知前2局打成 .
①求乙最终获得全部奖金的概率；
【答案】乙最终获得全部奖金有甲、乙比分为和 两种情况，
若以甲、乙比分 获胜，则乙第3，4局连胜两局，
概率为 ，
若以甲、乙比分 获胜，则乙第3，4局输1局，第5局胜，
概率为 ，
所以乙最终获得全部奖金的概率为 .
②若比赛此时因故终止，有人提出甲、乙按 分配奖金，你认为分配合理吗 为什么
【答案】由①知，继续比赛，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率为，所以按
分配奖金不合理，应按 将奖金分配给甲、乙.
B 综合练丨高考模拟
建议时间：30分钟
9.(2025·广东省高州市第一中学月考)在选科前，高一某班班主任对该班同学的选科
意向进行了调查统计，根据统计数据发现，选物理的同学占全班同学的 ，同时
选物理和化学的同学占全班同学的 ，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从
该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为( )
D
A.0.125 B.0.1 C.0.075 D.0.05
【解析】设事件“选物理”，“选化学”，则有， ，由该
班同学选物理和选化学相互独立，即 ，则
，所以， ,则
.故选D.
10.[多选题](2025·贵州省贵阳市七校联考)某青少年篮球训练营在一堂训练课结束后，
组织学员进行投篮测试，规则为：
①每人最多投篮3次，先在三分线外投第一次，投中得3分，不中不得分；
②从第二次开始均在三分线内罚球线附近投篮，投中得2分，不中不得分；
③测试者累计得分超过3分即通过测试，并立即终止，若前两次累计不得分，须继续
第三次投球.
已知学员小明参加测试，他一次投篮得3分和2分的概率分别为0.2和 ，各次投篮是
否投中没有影响，则( )
ABD
A.小明测试得3分的概率为0.032 B.小明测试得5分的概率为0.168
C.小明测试一共投篮3次的概率为0.336 D.小明测试通过的概率为0.456
【解析】记第一次投篮命中为事件，第二次投篮命中为事件 ，第三次投篮命中为
事件，则,, .
对于选项A，小明测试得3分为事件 ，则
，A正确；
对于选项B，小明测试得5分为事件 ，则
，B正确；
对于选项C，小明测试一共投篮3次为事件 ，
，C错误；
对于选项D,小明测试通过为事件 ，则
，D正确.
故选 .
11.［多选题］(2023·新课标全国Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.
发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为 ;发送1时，收到0的概
率为,收到1的概率为 .考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单
次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要
译码，译码规则如下:单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中
出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0,1,则译码为1）.则下列说法中正确
的是( )
A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1,则依次收到1,0，1的概率为
B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为
C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D.当 时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输
方案译码为0的概率
√
√
√
【解析】由题意，发0收1的概率为 ，发0收0的概率为 ； 发1收0的概率为 ，
发1收1的概率为 .
对于A，发1收1的概率为 ，发0收0的概率为 ，发1收1的概率为 ，
所以所求概率为 ，故A选项正确.
对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为
，故B选项正确.
对于C，相当于发了1,1,1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为
，故C选项不正确.
对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，
1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率 ;发送0，采
用单次传输方案译码为0的概率 ，当 时，
，故D选项正确.
综上，选 .
12.(2025·湖南省长沙市明德中学期末)连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记
录抛掷结果向上的点数.设事件第一次点数为1，事件 两次点数之和为
.若事件与事件互斥，则的最小值为___；若事件与事件
相互独立，则 的值为___.
8
7
【解析】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生，所以事件 中两次点数
之和至少为8，才能保证第一次点数不为1，所以 的最小值为8.
（若点数和小于8，则事件中第一次点数有可能为1，此时与事件 不互斥）
若事件与事件相互独立，则 ，
当时，第一次点数不可能为1，此时 ，
因为，，所以 ，不符合题意.
当时，，又，所以 ，
又 ,3,4,5,6,7（样本点个数分别为1,2,3,4,5,6）时，
对应概率分别为，，，，， ，
所以 的值为7.
. .
13.(2025·广东省广州市第六十五中学期中)甲、乙两队进行答题比赛，每队3名选手，
规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得1分，答错一
题得0分.已知甲队中每名选手答对题的概率都为 ，乙队中3名选手答对题的概率分别
为,,.在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得 分，则在这一轮中，满足
且 的概率为_ ___.
【解析】依题意，甲队在一轮比赛中得2分的概率为 ，甲队在
一轮比赛中得3分的概率为 .
乙队在一轮比赛中得1分的概率为
，乙队
在一轮比赛中得2分的概率为
.
设在这一轮中，满足且为事件 ，
则 包含①甲队得2分，乙队得1分，②甲队得3分，乙队得1分，③甲队得3分，乙队
得2分，
所以 ，即在这一轮中，
满足且的概率为 .
14.(2025·天津市第一中学期中)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵
节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲
同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了 道．假设每道灯谜被猜对的可
能性都相等．
【答案】设“任选一道灯谜，甲猜对”，“任选一道灯谜，乙猜对”， “任选
一道灯谜，丙猜对”，则由古典概型的概率计算公式得， ，
，，所以,， .
（1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
【答案】“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”,且与 互斥，因为每位
同学独立竞猜，所以， 相互独立，
则与，与 均相互独立，
所以 .
故任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率为 .
（2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求 的值．
【答案】设 “甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对（对立事件为三个人都没猜
对）”，则 ,
所以
,
解得 ．
. .
C 培优练丨能力提升
15.(2025·重庆市巴蜀中学开学考试)为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，
某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独
自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开
密码的概率为，乙每次解开密码的概率为 ，每次是否解开
密码互不影响．设事件“甲成功解密一份文件”， “甲成功解密两份文件”，
“乙成功解密一份文件”， “乙成功解密两份文件”.
（1）若, .
①求 , 的值；
【答案】由题知, ，
解得, .
②求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率；
【答案】由①知，, ，
设 “甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”，
则,与互斥，与,与 分别相互独立，
所以
，
因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为 ．
（2）若 ，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值．
【答案】由题知，,所以 ，
, ,
, ，
设 “甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次”，
则,与互斥，与,与 分别相互独立，
所以 .
因为 ，
所以，当且仅当时等号成立，所以 ．
故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为 .