10.3 频率与概率 课件(共69张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共69张PPT)
第十章 概率
10.3 频率与概率
图解课标要点
新知课丨必备知识解读
知识点1 频率的稳定性
1 频率与概率
频率 频率是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重
复试验，得到的事件的频率也可能会不同.
概率
联系 事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频
率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验
中，相应的频率一般也越小.
. .
. .
2 频率的稳定性（用频率估计概率）
大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件 发生的频率具有
随机性．一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 发
生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的
稳定性．因此，我们可以用频率估计概率 （频率稳定性的应用）.
. .
学思用·典例详解
例1-1 利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴
眼镜的学生有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为
_____，他是戴眼镜的学生的概率为_____.
0.64
0.73
【解析】500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为 ，
所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；
500名学生中戴眼镜的学生有365人，
即戴眼镜的学生的频率为 ，
所以随机抽查一名学生，估计他是戴眼镜的学生的概率为0.73.
知识点2 随机模拟
1 随机数与伪随机数
（1）利用随机试验（如抽签、转盘）产生随机数
把个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3， ， ，并放入一个袋中，把
它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这就产生了 之间的随机整数.
（2）伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照确定的算法产生的数，具有周期性
（周期很长），它们具有类似随机数的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真
正的随机数，我们称它们为伪随机数.
特别提醒（1）当需要产生的随机数的数量过多时,抽签法较为烦琐.
（2）计算机或计算器产生随机数的速度快，适用于产生大量随机数的情况.
2 随机模拟
（1）随机模拟
用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，而利用计算器或计算软
件构建相应的随机数模拟试验，这样就可以在短时间内快速地进行大量重复试验了，
它不需要对试验进行具体操作，即可获取相应的试验结果，这种试验方法称为随机
模拟.
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器
产生的随机数来替代每次试验结果的方法.
（2）随机模拟法估计概率的步骤
例2-2 ［教材改编P260例4］已知某运动员每次射击击中目标的概率为 ,采用随机模
拟的方法估算该运动员射击4次至少3次击中目标的概率，先由计算器给出0到9之间
取整数的随机数,指定0，1，2，3表示没有击中目标,4，5，6，7，8，9表示击中目标.
以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数:
7527 0293 7146 9857 03474373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 60113661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据随机数一共有20组可知，共有20个样本点，其中“该运动员射击4次至
少3次击中目标”对应的随机数组为7527,7146,9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共
有9个样本点，所以估计该运动员射击4次至少3次击中目标的概率为 .
【想一想丨教材深挖】
设计随机模拟试验方法的注意点
用整数随机数模拟试验估计概率时，要先确定随机数的范围和用哪些数代表不同的
试验结果．我们可以从以下两个方面考虑.
（1）当试验的基本事件等可能发生时，基本事件总数即产生随机数的个数，每个随
机数字代表一个基本事件（如教材P259例3）.当每次试验结果需要 个随机数表示时，
要把 个随机数作为一组来处理.
（2）研究非等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个
数及总个数（如教材P260例4）.
解题课丨关键能力构建
题型1 用频率估计概率在统计中的应用
例3 [教材改编P257 T3]某地区人群中各种血型的人所占的比例如下表：
血 型 A B
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血， 型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都
可以输给 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.用频率估计概率.
（1）任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是_____.
0.64
【解析】因为B， 型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给B型
血的人”为事件 ，根据互斥事件的概率加法公式，得
.
（2）任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是_____.
0.37
【解析】B型血可为B, 型血的人输血，故“任找一个人，B型血的人能为其输血”为
事件 ，根据互斥事件的概率加法公式，得
.
【解析】对该地区任何一个人，其血型为A，B，，型血的事件分别记为, ,
, ，它们是互斥的.
由已知，有，，， .
例4 为了治理空气污染，某市设9个监测站用于监测空气质量指数 ，其中在轻
度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,4,3个监测站，并以9个监测站测得的
的平均值为依据播报该市的空气质量．
图10.3-1
（1）若某日播报的为119，已知轻度污染区平均值为70，中度污染区 平
均值为115，求重度污染区 平均值；
【解析】设重度污染区平均值为，根据题意得 ，
解得 .
故重度污染区 平均值为157．
（2）图10.3-1是今年6月份30天的的频率分布直方图，6月份仅有1天 在
内．
①某校参照该市官方公布的，如果周日 小于150就组织学生参加户外活动，
以统计数据中的频率为概率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；
【解析】在内的有 （天），
在内的有 （天），
在内的有 （天），
所以6月份不小于150的共 （天）．
则6月份不小于150的频率为，用频率估计概率，得6月份 不小于150的
概率为 ，
即能参加户外活动的概率为 ．
②环卫部门从6月份 不小于170的数据中抽取两天的数据进行研究，求抽取的这两
天中在 内的概率．
【解析】由①知在内的有5天，编号设为，，，，， 在
内的有2天，编号设为，，从7天中抽取两天有，， ，
，，，，，，，，， ，
，，，，，，， ，共21种情况．
满足条件的有，，，，，，，， ，
，共10种情况，
所以满足条件的概率为 .
用频率估计概率求解试题的一般步骤
【学会了吗丨变式题】
图10.3-2
1.(2025·重庆市第十八中学月考)某两个班的100名学生期
中考试语文成绩（单位：分，满分150分）的频率分布
直方图如图10.3-2所示，其中成绩分组区间是
，， ．
（1）求语文成绩在 内的学生人数；
【答案】根据题意，
，
则，所以语文成绩在 内的学生人数
为 .
（2）如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率.
【答案】估计语文成绩不低于112分的概率为
.
题型2 概率在实际生活中的应用
1 游戏公平性的判断
例5 有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份.如图10.3-3，转动转盘，当转盘停止
后，指针指向的数字为转出的数字（指针指到分界线上时重转）.游戏规则如下：两
个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字
所表示的特征相符，则乙获胜;否则甲获胜.猜数方案从以下三种方案中选一种：
图10.3-3
A.猜“是奇数”或“是偶数”;
B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”;
C.猜“是大于4的数”或“不是大于4的数”.
请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能地获胜，你将选择哪种猜数方案，并且怎样猜？为什么？
【解析】可以选择方案B，猜“不是4的整数倍”.理由是：指针指向奇数和偶数的概率
都是，“不是4的整数倍”的概率为，而“是大于4的数”的概率为 ，
虽然它们都超过了，但 ，故乙选择方案B并猜“不是4的整数倍”可以尽可
能地获胜.
（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？为什么？
【解析】为了保证游戏的公平性，应当选择方案A.因为指针指向奇数的概率和指向
偶数的概率均为 ，从而保证了该游戏的公平性.
（3）请你设计一种其他的猜数方案，并保证游戏的公平性.
【解析】可以设计为：猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”，这样也可以保证游戏
的公平性.（方案不唯一）
解决生活中的公平性问题的策略
游戏公平与否就是看参与游戏的每个个体获胜的概率是否相同，获胜的概率相同则
公平，否则不公平.解题时通过计算各事件发生的频率，用频率估计出概率,对公平性
进行判断.
【学会了吗丨变式题】
2.(2025·广东省广州市白云中学期中)甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，
红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙
后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）写出甲、乙抽到牌的所有可能情况.
【答案】分别用2，3，4， 表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的
所有可能情况为，，，，，，， ，
，，， ，共12种不同的情况.
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
【答案】甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4中的一张，
因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是 .
（3）甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游
戏是否公平？为什么？
【答案】不公平.理由如下：甲抽到的牌的数字比乙的大，有,， ，
， ，共5种情况，
因此甲胜的概率为，乙胜的概率为 .
因为 ，所以此游戏不公平．
2 对总体的估计问题
例6 为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞
出100条鱼，分别做记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞
（将容量为 的样本放回总体后，要等这个样本在总体中分布均匀后才能再次抽取，
这样，才能保证在下次抽取时，每个个体被抽到的机会均等）出120条鱼，其中带有
记号的鱼有6条，请根据这一情况，估计该水库中鱼的总条数为_______.
2 000
【解析】 （条）,即估计该水库中鱼的总条数为2 000.
. .
用样本估计总体中个体个数的思路
为了估计某一个总体中个体的个数 ，我们可以运用以下方法：先从总体中抽出一
个容量为的样本，并把每一个个体做上标记，然后把这 个个体放回总体中.再从
总体中随机地抽出一个容量为的样本，查看做过标记的个体的个数，假设为 .据
此可来估计总体中个体的个数 .
3 概率在决策中的应用
例7 (2025·山东省青岛市第三十九中学月考)如图10.3-4， 地到火车站共有两条路径
和，现随机抽取100位从 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
图10.3-4
所用时间（分钟）
6 12 18 12 12
0 4 16 16 4
（1）试用频率估计40分钟内不能赶到火车站的概率.
【解析】调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有
（人），
因此40分钟内不能赶到火车站的频率为 ，
用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为0.44.
（2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站，为了尽最大可能
在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各
自的路径.
【解析】设,分别表示甲选择和 时，在40分钟内赶到火车站；
,分别表示乙选择和 时，在50分钟内赶到火车站.
依题意， ，
，
由，得甲应选择路径 ；
，
，
由，得乙应选择路径 .
所以甲应选择路径，乙应选择路径 .
题型3 概率模拟问题
例8 某班的元旦联欢晚会设计了编号分别为的9个小项目，依次对应： 唱
一首歌， 背一首古诗， 奖品钢笔， 说俗语， 表演小品， 智
力测试， 奖品笔记本， 做数学题若，，求，
讲笑话.要求每人抽得各个项目的机会均等.
（1）试为此晚会设计一个模拟试验（模拟的方法很多，如制作转盘的方式、抓阄的
方式等），且操作简便；
【解析】可用9张扑克牌分别代表编号 所对应的项目，其中2张分别代表“奖品
钢笔”“奖品笔记本”，采用随机翻牌决定的方式.
（2）试分析第1个人中奖的概率.
【解析】9张牌中只有2张有奖，因此第1个人中奖的概率为 .
. .
例9 (2025·陕西省咸阳市段考)已知某运动员每次投篮命中的概率都为 .现采取随
机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.先由计算器生成 之间
取整数值的随机数，指定1，2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中,再以每三个随机
数为一组，代表三次投篮的结果，经随机数模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 5
37 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__.
【解析】由题意知，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，
812，393，共5组随机数， 所求概率为 .
. .
. .
高考帮 考试课丨核心素养聚焦
考情揭秘
用频率估计概率具有一定的实际意义，高考通常以频率分布直方图为载体，以解答
题的形式出现，难度中等.
核心素养：数据分析（由图表获取信息），数学运算（概率的求解）.
考向 频率估计概率
例10 (2022·新高考全国Ⅱ卷节选)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种
疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图,如图10.3-5所示:
图10.3-5
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为
代表）;
【解析】估计该地区这种疾病患者的平均年龄 .
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率.
【解析】 由于患者的年龄位于区间 内是由患者的年龄位于区间
，， 内组成的，且彼此互斥，
所以所求概率 .
由于患者的年龄位于区间 内是由患者的年龄位于区间
，， 内组成的，且彼此互斥，所以所求概率
.
高考新题型专练
1.[多选题](2025·广东省佛山市顺德区文德学校测试)某男篮运动员在最近几次参加的
比赛中的得分情况如表：
投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数
100 55 18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件 ，没投中为事
件 ，用频率估计概率，下列结论中正确的是( )
ABC
A. B. C. D.
【解析】由频率估计概率得，，故A正确； ，故
B正确；
，故C正确；
（互斥事件的概率加法公式） ，故D错误.
. .
图10.3-6
2.[多选题](2025·广东省广州市期中)一部机器有甲、乙、
丙三个易损零件，在一个生产周期内，每个零件至多
会出故障一次，工程师统计了近100个生产周期内一
部机器各类型故障发生的次数，得到柱状图如图10.3-
6所示，用频率估计概率，
在一个生产周期内，以下说法正确的是( )
AD
A.至少有一个零件发生故障的概率为0.8
B.有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率大
C.乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率大
D.已知甲零件发生了故障，此时丙零件发生故障的概率比乙零件发生故障的概率大
【解析】在一个生产周期内，机器正常的概率为 ，则至少有一个零件发生
故障（机器正常与至少有一个零件发生故障互为对立事件）的概率为 ，A正确；
有两个零件发生故障的概率为 ，只有一个零件发生故障的概率为
，则有两个零件发生故障的概率比只有一个零件发生故障的概率小，
B错误；
乙零件发生故障的概率为 ，甲零件发生故障的概率为
，则乙零件发生故障的概率比甲零件发生故障的概率小，C错误；
由题图可知，丙和甲都故障的概率比乙和甲都故障的概率大，D正确.（比较小矩形
的高度）
故选 ．
. .
. .
. .
习题课丨学业质量测评
A 基础练丨知识测评
建议时间：20分钟
1.新情境 米谷粒分 (2025·山东省邹城市第一中学段考)我国古代数学名著《数书九
章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取
米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
B
A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石
【解析】由题意，这批米内夹谷为 （石），故选B．
2.(2025·河南省漯河市期末)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为
．我们通过设计模拟试验的方法求概率．由计算机产生 的随机数，当出现
随机数1，3，5时，表示天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，
124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，
245．则这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
C
A. B. C. D.
【解析】共20组随机数，其中随机数1，3，5出现2次的有123，453，332，152，534，
521，541，125，314，共9组，所以这三天中恰有两天下雨的概率近似为 .
3.(2025·北京市平谷区第五中学月考)对一批产品的长度（单位： ）进行抽样检测，
如图 10.3-1为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间 上为一
等品，在区间和上为二等品，在区间和 上为三等品.用
频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是( )
D
图10.3-1
A.0.09 B.0.20 C.0.25 D.0.45
【解析】由频率分布直方图可知，样本数据在区间 上的频率为
，
则产品为二等品的频率为 ，
故任取1件产品，其为二等品的概率为0.45.
4.[教材改编P257思考] [多选题]“今天北京的降雨概率是 ，上海的降雨概率是
”，下列说法正确的是( )
BCD
A.北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B.上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C.北京和上海都可能没降雨
D.北京降雨的可能性比上海大
【解析】北京的降雨概率大于上海的降雨概率 ，说明北京降雨的可能性比
上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上
海一定不降雨，只有A不正确．故选 .
5.[多选题]下列说法不正确的是( )
ABC
A.一枚骰子抛掷一次,向上一面为2点的概率为 ，这说明一枚骰子抛掷6次，向上一面
会出现一次2点
B.小胡同学在罚球线投篮8次，命中6次，则小胡同学每次投篮的命中率一定为
C.某中学高二年级有12个班，要从中选2个班参加活动．由于某种原因，一班必须参
加，另外再从2至12班中选一个班，有人提议用如下方法：抛掷两枚骰子，向上一面
的点数和是几，就选几班.这是很公平的方法
D.在一场乒乓球赛前，裁判一般用掷硬币所得的正反面来决定谁先发球，这是公平的
【解析】对于A，根据概率的意义知，一枚骰子抛掷6次，向上一面可能会出现一次
2点，也可能不会，故A中说法错误；
对于B，只能说8次投篮，小胡同学命中的频率为，但每次投篮的命中率不一定为 ，
故B中说法错误；
对于C，设向上一面的点数为为事件,因为 ，
，， ，
， ，概率并不相等，所以抛掷两枚骰子，向上一面的
点数和是几就选几班的方法是不公平的，故C中说法错误；
对于D，掷硬币得到正、反面的概率都是 ，所以用掷硬币所得的正反面来决定谁先
发球的方法是公平的，故D中说法正确．故选 .
6.随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
（1）在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率为_ __.
【解析】在容量为30的样本中，不下雨的天数是26， ，以频率估计概率，得
在4月份任取一天，该市在该天不下雨的概率为 .
（2）该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间
不下雨的概率为__.
【解析】称相邻的两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等），则在4月
份中，第一天为晴天的互邻日期对有16个，其中第二天不下雨（连续两天的天气为
晴晴或晴阴）的有14个，，所以晴天的次日不下雨的频率为 .以频率估计概率，
得运动会期间不下雨的概率为 .
. .
7.有,两种乒乓球,种乒乓球的次品率是,种乒乓球的次品率是 .
（1）甲同学买的是种乒乓球,乙同学买的是 种乒乓球,但甲买到的是次品,乙买到的
是合格品,从概率的角度如何解释
【答案】因为种乒乓球的次品率是,所以通过频率估计概率，任选一个 种乒乓
球是合格品的概率是 .
同理,任选一个种乒乓球是合格品的概率是 .
由于,因此“买一个种乒乓球,买到的是合格品”的可能性比“买一个 种
乒乓球,买到的是合格品”的可能性大,但并不表示“买一个 种乒乓球,买到的是合格品”
一定发生.
乙买一个种乒乓球,买到的是合格品,而甲买一个 种乒乓球,买到的却是次品,即可能
性较小的事件发生了,而可能性较大的事件却没有发生,这正是随机事件的不确定性的
体现.
（2）如果你想买到合格品,应选择购买哪种乒乓球
【答案】因为任意选取一个种乒乓球是合格品的可能性为 ，所以如果做大量
重复买一个 种乒乓球的试验,出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.99附近,同理,
做大量重复买一个 种乒乓球的试验,出现“买到的是合格品”的频率会稳定在0.95附
近,因此若希望买到的是合格品,则应选择购买 种乒乓球.
图10.3-2
8.(2025·湖南省长沙市明德中学段考)每年的3月21日是世界
睡眠日，充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动，是国际
社会公认的三项健康标准.某校高一某班学生某天睡眠时间
（单位：时）的频率分布直方图如图10.3-2所示
(样本数据分组为,,,, ).
（1）求图中 的值，并计算该校高一学生该天睡眠时间不
少于9小时的频率；
【答案】因为 ，
所以 .该校高一学生该天睡眠时间不少于9小时的
频率为 .
（2）从该校高一学生中随机抽取2人，用频率估计概率，计算这两位学生至少有1人
该天睡眠时间不少于9小时的概率.
【答案】由（1）知，该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的频率为 ，
用频率估计概率，该校高一学生该天睡眠时间不小于9小时的概率为 ，则小于9小
时的概率为 ，
记从该校高一学生中随机抽取2人，这两位学生至少有1人（对立事件为两位学生无
一人）该天睡眠时间不少于9小时为事件，则 .
(当从正面求解时， )
. .
B 综合练丨高考模拟
建议时间：25分钟
9.(2025·四川省广元市联考)袋子中有四个小球，分别写有“中”“华”“民”“族”四个字，
从中有放回地任取一个小球，直到“中”“华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方
法估计恰好抽取三次就停止的概率，利用计算机随机产生0到3之间取整数值的随机
数，分别用0，1，2，3代表“中”“华”“民”“族”这四个字，以每三个随机数为一组，表
示取三次的抽取结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
B
A. B. C. D.
【解析】根据题意，随机数中只有021，130，031（随机数中有0和1，且前2个数不
能为01或10，第3个数为0或1）,共3种情况满足恰好抽取三次就停止，则可以估计，
恰好抽取三次就停止的概率为 .
. .
10.[多选题]下列说法正确的是( )
AC
A.在相同条件下，进行大量重复试验，可以用频率来估计概率
B.抛掷一枚骰子1次，“朝上一面出现1点”与“朝上一面出现2点”是对立事件
C.连续20次抛掷一枚骰子，结果都是朝上一面出现1点，有理由认为这枚骰子质地不
均匀
D.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于
【解析】由频率与概率的关系知，A正确；
对于B，抛掷一枚骰子1次，“朝上一面出现1点”与“朝上一面出现2点”是互斥事件，
但不是对立事件，故B错误；
对于C，连续20次掷一枚骰子，结果都是朝上一面出现1点，若骰子是均匀的，这是
一个概率很小的事件，故有理由认为这枚骰子质地不均匀，故C正确；
对于D，抛掷一枚质地均匀的硬币，无论哪一次，正面向上的概率都等于 ，故D错
误.故选 ．
11.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，
整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品 人数 甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；
【答案】从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，
所以顾客同时购买乙和丙的概率估计为 .
（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
【答案】从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、
丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾
客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率估计为 .
（3）如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
【答案】与（1）同理可得,
顾客同时购买甲和乙的概率估计为 ,
顾客同时购买甲和丙的概率估计为 ,
顾客同时购买甲和丁的概率估计为 .
因此，如果顾客购买了甲，那么该顾客同时购买丙的可能性最大.
12.(2025·北京市大兴区期末)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，
2，3，4，5.甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一
个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
【答案】该试验的等可能的结果共有 （种），如下表：
甲 乙 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
（1）求甲赢且编号的和为6的概率.
【答案】设“甲赢且编号的和为6”为事件，则事件包含的样本点为， ，
，，，共5个，所以甲赢且编号的和为6的概率为 .
（2）这个游戏规则公平吗 试说明理由．
【答案】这个游戏规则不公平.
设“甲赢”为事件，“乙赢”为事件 ，则甲赢（即编号的和为偶数）包含的样本点为
，，，，，，，，， ，
，， ，共13个，
所以甲赢的概率 ，
而乙赢的概率 .
因为 ，所以这个游戏规则不公平.
13.(2025·陕西省西安市铁一中学期末)甲每次投篮投进的概率是 ，连续投篮三次，
每次投篮结果互不影响，记事件 为“甲至少投进两球”.
（1）用表示甲第次的投篮结果，则 表示试验的样本点.用1表
示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说
明理由.
【答案】该试验的样本空间为,,,, ,
,,，共有8个样本点，样本点发生的概率为 ，样
本点发生的概率为 ，这两个样本点发生的概率不相等，所以这个试验不
是古典概型.
（2）用计算机产生之间的整数随机数，当出现随机数 时，表示“投进”，出
现7，8，9时表示“未投进”，以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20
组随机数：
062 049 228 933 102
734 750 783 076 276
910 349 114 494 995
396 521 016 065 140
利用该模拟试验，估计事件的概率，并判断事件 的概率的精确值与估计值是否存
在差异，并说明理由.
【答案】产生20组随机数相当于做了20次重复试验，其中事件 发生了18次，则事件
的频率为，所以事件 的概率的估计值为0.9.
设事件“甲第次投进”， ,2,3，
则 .
因为, ，每次投篮结果
互不影响，且,,, 两两互斥，
所以
.
所以事件的概率的估计值和精确值 有差异.原因如下：
①随机事件发生的频率具有随机性，频率和概率有一定的差异；
②重复试验次数为20，样本量较少，频率偏离概率的幅度大的可能性较大.