第十章 概率 章末总结 课件(共38张PPT)-高一下学期人教A版数学必修第二册

(共38张PPT)
第十章 概率
章末总结
巧梳理 知识框图
提能力 专题归纳
专题1 求古典概型问题的常用方法
等可能事件的概率问题是概率中最基础、最常见的问题，古典概型问题就是要判断
样本空间中的样本点是否有限且等可能,其中样本点的总数就是古典概型的概率计算
公式中的分母,所讨论事件包含的样本点的个数就是古典概型的概率计算公式中的分
子，即所求概率是一个比值，而“树状图”“图表”是求出这个比值的常用工具.
1 列举法
将试验结果一一列举，得到所有的样本点的个数和待求概率的事件包含的样本点的
个数，进而求概率.
例1 口袋中有6个除颜色外完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中一次任意
取出2个球，求下列事件的概率：
（1）事件 为“取出的2个球都是白球”；
【解析】第2步：求出事件 包含的样本点数
从口袋中的6个球中任取2个，所取的2个球都是白球的事件包含的样本点有 ,
,,,, ，共6个.
第3步：利用古典概型的概率计算公式求解
所以取出的 2 个球都是白球的概率 .
（2）事件 为“取出的2个球，其中一个是白球，另一个是红球”.
【解析】第2步：求出事件 包含的样本点数
从口袋中的6个球中任取2个，其中一个是白球，另一个是红球的事件包含的样本点
有,,,,,,, ，共8个.
第3步：利用古典概型的概率计算公式求解
所以取出的2个球，其中一个是白球，另一个是红球的概率 .
【解析】第1步：求出任取 2个球的事件包含的样本点数
把4个白球分别记为1,2,3,4；2个红球分别记为5,6.
从口袋中的6个球中任取2个球的事件包含的样本点有,,,, ,
,,,,,,,,, ，共 15 个．
2 图表法
用图表的形式把某试验中所有样本点都呈现出来,并从图表中找出所求事件包含的样
本点,从而利用古典概型的概率计算公式求解.
例2 某电视台搞了一个趣味游戏，规则是夫妻两人从1,2,3,4,5中各选一个数字，如果
选出的两个数的和与奖品上的号码一致，就获得该件奖品.试写出全部结果，并求他
们得到9号或10号奖品的概率.
【解析】全部结果可用列举法写出，如下表：
妻子取的数字 结果 夫取的数字 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
由上表可知试验结果共25个, 数字和为9的样本点有2个:丈夫取数字5,妻子取数字4，
即; 丈夫取数字4,妻子取数字5，即 .
而数字和为10的样本点只有1个：丈夫和妻子都取数字5，即 .
故所求概率为 .
例3 甲、乙两人玩出拳游戏（锤子、剪刀、布）.求一次出拳游戏中：
（1）平局的概率;
【解析】平局含3个样本点（图中的），所以 .
（2）甲赢的概率;
【解析】甲赢含3个样本点（图中的 ），
所以 .
（3）乙赢的概率.
【解析】乙赢含3个样本点（图中的 ），
所以 .
【解析】平局的含义是两人出法相同，如都出了锤子.
甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀,甲出剪刀且乙出布,甲出布且乙出锤子这3种情况.
乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀,乙出剪刀且甲出布,乙出布且甲出锤子这3种情况.
设平局为事件,甲赢为事件,乙赢为事件 .
由图10-1知样本空间的样本点共9个.
图10-1
3 画树状图法
利用树状图将基本事件之间的关系列出来，适用于需要分步完成的试验结果.树状图
在解决求样本点总数和事件 包含的样本点数的问题时直观、方便，但画树状图时要
注意按照一定的顺序确定分枝,避免造成遗漏或重复.
例4 (2025·广东省佛山市期中)甲、乙、丙、丁四人到电影院看电影，只剩下编号为1，
2，3的三个座位，于是四人抽签决定谁坐几号座位（抽到空签的人离开），则甲抽
到2号座位的概率为( )
C
A. B. C. D.
图10-2
【解析】设“甲抽到2号座位”为事件 ，四个人抽3个座位，情况较
复杂，可以利用树状图表示抽签的结果，如图10-2.
由图可知，有4大类，每大类中有6种可能结果，共有
（种）结果，其中甲抽到2号座位的结果有6种，所以 .
名师点评 本题可以换位思考，由2号座位去选择人，可知每个人
被选到的可能性都是一样的，因此所求概率为 .原解法更多是想展
示树状图.
专题2 以数据处理能力为考向的概率统计问题
高考中关于概率统计的命题，主要分为两大类，一类是将统计中的用抽样样本估计
总体的思想与概率的数理分析有机地结合，其更重视学生在解决问题时处理数据的
能力，强调与统计相结合来考查统计与概率思想；另一类是强调对概率计算中的数
理推理能力的考查.
下面选取一些代表性的考题，着重分析数据处理能力立意下的概率统计考题的命题
特点及其考查方式，便于同学们在这部分内容的备考中能够跳出题海看考题.
1 体现数据处理能力的一系列行为过程
例5 某市11月对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,4
9,45.
（1）制作频率分布表.
【解析】频率分布表：
分组 频数 频率
2
1
4
6
10
5
2
（2）作出频率分布直方图.
【解析】频率分布直方图如图10-3所示.
图10-3
（3）根据国家标准，污染指数在之间时，空气质量为优;在 之间时，
为良；在之间时，为轻微污染；在 之间时，为轻度污染.从30天
中任意选取一天，则该天空气质量为优或良的概率是多少？
【解析】样本量是30，污染指数在之间的有28天，故所求概率为 .
（用频率估计概率）
. .
（4）请对该市的空气质量给出一个简短评价.
【解析】①由（3）知，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的 ，说明该市空
气质量基本良好.
②轻微污染有2天，占当月天数的 .
污染指数在 的有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数
的，超过 ，说明该市空气质量有待进一步改善.
答案不唯一，合理即可.
说明 本题是完全依据数据处理能力的考查要求命制的一道统计考题.体现了数据处
理能力中收集数据、利用统计中的方法（频率分布表和频率分布直方图）整理数据
的能力，在图表的数据分析中，做出对实际问题（空气质量）的判断等.解答时，可
根据作频率分布表和频率分布直方图的方法进行处理.
名师点评 对于频率分布表，难点在于两个地方，即组距的确定和区间端点值的确定，
都是依赖于数据提供的信息.值得注意的是频率分布直方图中的纵轴应是 .此外，
利用频率分布表和频率分布直方图处理数据可使后续评价更加直观，因此对于处理
数据的统计方法要熟练掌握（难度不大，重要的是回归课本，逐一落实，着力体验
数据处理的每一个过程），并能灵活运用.
2 善于从图表中获取数据信息
例6 (2025·山东省淄博市质检)随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： ），
按照区间，， 分组，得到样本的
频率分布直方图（如图10-4）．
图10-4
（1）求频率分布直方图中的值及身高在 及以上的学生人数；
【解析】由频率分布直方图可知， ，
所以 .
因此身高在及以上的学生人数为．
（2）将身高在，区间内的学生依次记为，， 三个组，
用分层随机抽样的方法从三个组中抽取6人，求从这三个组中分别抽取的学生人数；
【解析】，，三组的人数分别为， ，
．
因此应该从，，三组中分别抽取（人）， （人），
（人）．
（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算 组中至少有1人被
抽中的概率．
【解析】在（2）的条件下，设组的3名学生为，，，组的2名学生为 ，
，组的1名学生为 ，则从6名学生中抽取2人有15个样本点：
，，，，，，， ，
，，，，，， ．
其中组的2名学生至少有1人被抽中有9个样本点：，， ，
，，，，， ．
所以组中至少有1人被抽中的概率为 ．
说明 本题可以视为例5的逆向探究，即需要通过统计图表（频率分布表或频率分布
直方图）提取需要的数据信息.如要根据频率分布直方图分别求得身高在
， 中的人数，并按照分层随机抽样的方法抽取6人，这些
都反映数据处理能力中的逆向探究思想.从已有考题命制的情况来看，逆向探究是一种
趋势.
3 概率决策中的数据处理能力的考查
例7 新情境 AI大模型 (2025·北京市第十一中学诊断)某 大模型“想象力引擎”处理
用户问题时分为“深度思考”“联网搜索”和“兼用”（即同时使用“深度思考”和“联网搜
索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．为了调查用户对不同模式的使
用频率和使用大模型研究问题的种类，该公司调查了不同用户最近提出的共10 000
个问题作为样本，得到下表．
问题 类别模式 生活类问题 学习类问题 其他类问题
深度思考 1 100 600 300
联网搜索 1 200 1 500 300
兼用 1 500 2 500 1 000
假设每个用户的每个问题的模式选择与问题类别均相互独立，用频率估计概率．
（1）在样本中随机抽取一个问题，求该问题的处理模式是“兼用”模式的概率．
【解析】由表可知，问题处理模式是“兼用”模式的样本量为
．
在样本中随机抽取一个问题，设事件 为“该问题的处理模式是‘兼用’”，则
.
（2）在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，求生活类问题个数不
超过学习类问题个数的概率．
【解析】在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取1个，该问题是生活类问
题的概率估计为 ，
是学习类问题的概率估计为 ，
是其他类问题的概率估计为 ．
在使用“联网搜索”模式处理的所有问题中随机选取2个，设事件 为“生活类问题的个
数不超过学习类问题的个数”.
事件包含两种情况：个生活类问题和2个非生活类问题； 个生活类问题，1
个学习类问题，0个其他类问题.
所以 ．
（3）不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组： ，
．在网络正常的时候，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如图
10-5所示．#1.5
图10-5
假设小明已经使用该 大模型的同一种模式解决了两个问题，其中一个问题的处理
时间，另一个问题的处理时间 ．若不考虑其他因素干扰，判
断小明在解决这两个问题时最有可能使用的是哪种模式．（结论不要求证明）
说明：做决策时，一般以“小概率事件很少发生，大概率事件经常发生”“在一次试验
中，大概率事件总比小概率事件发生的可能性大”作为决策的依据.#1.7
【解析】由图可知，用“深度思考”模式处理两个问题用时分别在和 的
概率为 ；
用“联网搜索”模式处理两个问题用时分别在和 的概率为
；
用“兼用”模式处理两个问题用时分别在和 的概率为
．
所以用“兼用”模式处理两个问题用时分别在和 的概率最大，故小明最
有可能使用的是“兼用”模式．
名师点评 当总体容量远大于样本容量时，不放回抽样可以近似看作放回抽样，因为
不放回抽样中每次抽取后总体的组成变化很小，对后续抽取的概率影响可以忽略不
计，如在“联网搜索”模式处理的3 000个问题中随机选取2个，就可以当作放回抽样
来计算.
尖子生 强基自招
命题点1 古典概型概率的求解
例8 (2025·重庆市高中数学联赛初赛)从面积为1的正六边形的6个顶点中随机选3个不
同的点，它们构成的三角形的面积大于 的概率为___.
图10-6
【解析】如图10-6所示，因为梯形 的面积为正六边形的
面积的一半，所以梯形的面积为 ，
又的面积为 的面积的一半，
所以的面积为，的面积为， 的面
积为 .
从正六边形的6个顶点中选3个不同的点构成三角形的样本空间为
，，，， ，
，，，， ，
，，，， ，
，，，， ，样本点共20个.
这些三角形只有三种不同的形状，面积分别为,,，而面积为 的三角形共有6个，分
别为，，，，， ，
“构成的三角形的面积为”与“构成的三角形的面积大于 ”互为对立事件，故构成的三
角形的面积大于的概率为 .
例9 (2024·全国高中数学联赛吉林赛区初赛)设集合,若的子集 满足:
若，则，则称子集具有性质.现从 的所有非空子集中，等可能地取
出一个，则所取出的非空子集具有性质 的概率为___.
【解析】集合的非空子集的个数为，其中具有性质的非空子集为 ，
，，，，,,3，，， ，共7个，所以所取出的非
空子集具有性质的概率为 .
命题点2 事件相互独立性的应用
例10 (2024· 中国科技大学强基计划)事件,相互独立，, 发生的概率相同，
，则 发生的概率为____.
0.4
【解析】,且, 相互独立，
则,解得 ,
即事件 发生的概率为0.4.
例11 (2024·全国高中数学联赛江苏赛区初赛)有4道选择题，每题有4个选项，其中恰
有一个选项正确.某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题
的概率为____.
【解析】设事件为“答对第一道题”，事件为“答对第二道题”，事件 为“答对第三
道题”，事件为“答对第四道题”，事件 为“恰好答对两题”，
则 ,所以
.
例12 (2024·全国高中数学联赛一试A卷)一个不均匀的骰子，向上一面掷出1,2,3，
4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次,向上一面的点数分别记为 ,
.若事件“”发生的概率为，则事件“ ”发生的概率为___.
（参考公式：若,,,,,成等差数列，则 ）
【解析】设向上一面掷出1,2， ，6点的概率分别为,, ，.由于, ，
， 成等差数列，且,故 .
事件“”发生的概率 ,
事件“”发生的概率 ,
于是 .
由于，所以 .