第十章 二元一次方程组---二元一次方程（组）中含参数问题（含答案）初中数学人教版（2024）七年级下册

《二元一次方程组》---二元一次方程（组）中含参数问题
一、单选题
1．已知是方程的解，则（　　）
A．1 B． C．3 D．
2．若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（）
A．， B．， C．， D．，
3．若方程组的解满足，则等于（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
4．已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．已知方程是关于，的二元一次方程，则 ．
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ．
8．在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ．
9．把某个式子看成一个整体，用一个字母代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 ．
10．已知关于的二元一次方程组，下列结论中：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③若用表示，则；④无论取什么实数，的值始终不变．正确的有 ．（填序号）
三、解答题
11．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，．
(1)求a，b的值；
(2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值；
12.已知，关于x、y的二元一次方程组的解是正整数，求整数p的值．
13.关于x，y的方程组（n是常数）．
(1)当 时，直接写出第一个方程的所有非负整数解；
(2)当时，该方程组的解也满足，求m；
(3)当时，如果方程组也有整数解，求整数m．
14.定义：当两个数x，y满足，则称x与y具有“友好关系”．
(1)判断方程组的解x，y是否具有“友好关系”？说明你的理由．
(2)若方程组的解x，y具有“友好关系”，请求出方程组的解及a，b的正整数值．
15.已知关于、的方程组．
(1)请写出方程的所有正整数解．
(2)若方程组的解满足，求的值．
(3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解．
16.运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题：
(1)若，则 _________；
(2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值．
17.若平面直角坐标系上点的横、纵坐标满足关于x，y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点为方程组的关联点．
(1)若点为关于x，y的方程组的关联点，则________，________；
(2)已知点为关于x，y的方程组的关联点，点为关于x，y的方程组的关联点；若点A与点B恰好重合，求点A的坐标，并求出m，n的值．
参考答案
一、单选题
1．B
解：是方程的解，
，
解得，
故答案为：B．
2．C
解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴的系数，且的次数，
解得，
∴，，
故选：C．
3．B
解：已知方程组，
将两方程相加，得：，
整理得：，
两边同时除以5，得：．
又因为，所以，
解得．
故选：B．
4．B
解：把代入，得：，
解得；
把代入，得，
∴，解得；
故，，；
故选B．
5．B
由得：，即；
由得：，即．
联立方程组：
，
解得：，，故结论①正确．
，即，解得，结论②正确．
方程的正整数解为：
时，；
时，，
共有2组解，结论③错误．
由得：
，
∴，
对所有成立，需，即，结论④错误．
综上，正确的结论为①、②，共2个，
故选B．
二、填空题
6．8
解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8．
7．7
解：将代入二元一次方程组，得
由方程②得：，解得
将代入方程①得：，解得
∴解得：
∴．
故答案为：7．
8．
解：将甲同学的解代入方程组：得
解得：
将乙同学的解代入第一个方程得
联立①和③解方程组：
解得：
因此
故答案为：．
9．
解：设，
则关于a、b的二元一次方程组可化为，
∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴，
①②可得，解得：，
将代入得：，
解得：，
所以．
故答案为：．
10．①③④
解：，
由①②得，
解得；
代入②得，
解得；
即方程组的解为．
方程组的解的值互为相反数，
，
即，
解得，故①正确；
当时，，
，故②错误；
由方程组的解为可知，故③正确；
将方程组的解代入，
则，
即的值与的取值无关，
无论取什么实数，的值为常数，始终不变，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
11．（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：．
12.解：
②×3，得．③
①-③，得，解得：，
②×5，得④
④-①，得，解得：．
∵x，y是正整数，
∴，解得：．
∵p是整数，
∴p=5，6，7．
又∵x，y都是正整数，
∴当时，不合题意，舍去，
∴或7．
13.（1）解：∵，为非负整数，
∴方程的所有非负整数解为
，；
（2）∵根据题意可得，
解得，
将代入中，
解得 ；
（3）当时，原方程组可化为，
由，可得 ，
整理可得，
∵方程组有整数解，且为整数，
∴或，
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）；
当时，解得，此时方程组的解为；
当时，解得，此时方程组的解为（舍去）．
综上所述，整数的值为或0．
14.（1）解：x与y具有“友好关系”，理由如下：
由方程组，
得，
∴方程组的解x与y具有“友好关系”；
（2）解：∵方程组的解x与y具有“友好关系”，
∴③
联立，
解得，
把代入中得，
则a，b的正整数值为或．
15.（1）解：方程整理得，
∴当时，；当时，；
∴方程的正整数解有：，；
（2）解： 联立和得，，
得，，
将代入得，，
解得，
将和代入得，，
解得；
（3）解：变形得：，
令，得，
∴无论m取何值，都是方程的解，
∴公共解为．
16.（1）解：∵，
∴；
（2）解：设，
∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于s，t的方程组的解为，
∴，
∴．
17.（1）解：∵点是方程组的关联点，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵点与点重合，
∴方程组和的解相同，
联立，
解得：，
∴，
把分别代入和
得：，，
∴，．