安徽省定远县育才学校2025-2026学年高二（上）期末数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省定远县育才学校2025-2026学年高二（上）期末数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 431.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-15 00:00:00 | ||
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文档简介
定远育才学校2025-2026学年高二（上）期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项为：，，，，则数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
2.已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线的倾斜角为，方向向量则( )
A. B. C. D.
4.在中，点，点，点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石( )
A. 块 B. 块 C. 块 D. 块
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
7.设递增等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线，则下列说法正确的为( )
A. 直线过定点
B. 若，则
C. 若两条平行直线与间的距离为，则
D. 点到直线距离的最大值为
10.如图，棱长均为的正三棱柱中，、分别是、的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
11.已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有 ( )
A. 若，则点的横坐标为
B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D. 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足：，，则数列的前项和 ．
13.已知抛物线：的焦点为，过的直线交于、两点点在点的上方，若，则直线的方程为________．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求，，
猜想的通项公式并加以证明
求数列的前项和．
16.本小题分
已知点，，圆是以的中点为圆心，为半径的圆．
若圆的一条切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．
若是圆外一点，从点向圆引切线，为切点，为坐标原点，，求使的值最小时点的坐标．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形且，底面，，，为的中点．
求二面角平面角的正切值；
在线段上是否存在一点，使平面成立如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知数列的前项和分别为，，．
求的通项公式；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率是，且经过点．
求椭圆的方程；
若过点 的 直线与椭圆相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.
13.
14.．
15.解：由已知，易得，，；
猜想．
证明：因为，所以，，
则是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，
所以
，
又时满足上式．
所以，当时，．
16.解：点，，
圆是以的中点为圆心，为半径的圆，
，，
圆的方程为，
当切线过原点时，设切线方程为，则，
，即切线方程为．
当切线不过原点时，设切线方程为，则，
或，即切线方程为或．
综上知，切线方程为或或；
因为，所以，
即，
化简得：，
所以点在直线上，
要使最小，只要最小即可．
当直线垂直于直线时，即直线的方程为时，最小，
此时点即为两直线的交点，
由，可得点坐标．
17.解：连结对角线、相交于点，连结、，则根据中位线性质得到，
平面，
平面，，
底面是菱形，
以为原点，、、分别为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，，，，
，，，，
，，，，
设二面角的平面角为，是锐角，
等于法向量夹角余弦的绝对值，平面的法向量为，设平面的法向量为，
，取，得到
，
即，，，
故二面角的平面角正切值是．
设上存在点使得平面，则有，
，设，，
，
，
，，
此时，而平面，平面，
，，，平面平面．
故当时，能使得平面．
18.解： ，
，
数列 为等差数列．
，即 ，
又 ， ，
设 的公差为 ，
则 ，解得 ，
的通项公式是 ．
由知 ，
，
，
令 ，得 ，
设 ，则数列 是递增数列，
又 ， ，
的最小值为．
19.解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为．
依题意，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点．
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的前项为：，，，，则数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
2.已知四棱柱中，四边形为平行四边形，点是线段的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则( )
A. B.
C. D.
3.已知直线的倾斜角为，方向向量则( )
A. B. C. D.
4.在中，点，点，点满足，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块，已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板不含天心石( )
A. 块 B. 块 C. 块 D. 块
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
7.设递增等比数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，为的中点，的外接圆的半径为，则双曲线的虚轴长为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，直线，则下列说法正确的为( )
A. 直线过定点
B. 若，则
C. 若两条平行直线与间的距离为，则
D. 点到直线距离的最大值为
10.如图，棱长均为的正三棱柱中，、分别是、的中点，则( )
A. 平面
B.
C. 到平面的距离为
D. 直线与所成角的余弦值为
11.已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有 ( )
A. 若，则点的横坐标为
B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D. 周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足：，，则数列的前项和 ．
13.已知抛物线：的焦点为，过的直线交于、两点点在点的上方，若，则直线的方程为________．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足，．
求，，
猜想的通项公式并加以证明
求数列的前项和．
16.本小题分
已知点，，圆是以的中点为圆心，为半径的圆．
若圆的一条切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程．
若是圆外一点，从点向圆引切线，为切点，为坐标原点，，求使的值最小时点的坐标．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面为菱形且，底面，，，为的中点．
求二面角平面角的正切值；
在线段上是否存在一点，使平面成立如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知数列的前项和分别为，，．
求的通项公式；
若，求的最小值．
19.本小题分
已知椭圆的离心率是，且经过点．
求椭圆的方程；
若过点 的 直线与椭圆相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点．
答 案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12.
13.
14.．
15.解：由已知，易得，，；
猜想．
证明：因为，所以，，
则是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，所以．
当时，，
当时，，
所以
，
又时满足上式．
所以，当时，．
16.解：点，，
圆是以的中点为圆心，为半径的圆，
，，
圆的方程为，
当切线过原点时，设切线方程为，则，
，即切线方程为．
当切线不过原点时，设切线方程为，则，
或，即切线方程为或．
综上知，切线方程为或或；
因为，所以，
即，
化简得：，
所以点在直线上，
要使最小，只要最小即可．
当直线垂直于直线时，即直线的方程为时，最小，
此时点即为两直线的交点，
由，可得点坐标．
17.解：连结对角线、相交于点，连结、，则根据中位线性质得到，
平面，
平面，，
底面是菱形，
以为原点，、、分别为，，轴建立空间直角坐标系．
，，，，，，，，
，，，，
，，，，
设二面角的平面角为，是锐角，
等于法向量夹角余弦的绝对值，平面的法向量为，设平面的法向量为，
，取，得到
，
即，，，
故二面角的平面角正切值是．
设上存在点使得平面，则有，
，设，，
，
，
，，
此时，而平面，平面，
，，，平面平面．
故当时，能使得平面．
18.解： ，
，
数列 为等差数列．
，即 ，
又 ， ，
设 的公差为 ，
则 ，解得 ，
的通项公式是 ．
由知 ，
，
，
令 ，得 ，
设 ，则数列 是递增数列，
又 ， ，
的最小值为．
19.解：依题意，解得，
所以椭圆的方程为．
依题意，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，
画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且，
设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
设，则，
而，所以直线的方程为，令，解得，
同理可求得，
则
，
所以线段的中点为定点．
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