人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.2圆的一般方程课件 |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
2. 能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆 在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝ r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数.那么请大家思 考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我 们来探讨这一方面的问题.
知识点一 圆的一般方程的定义
D2＋E2－4F＞0
教材知识整理与归纳
思考：
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
不一定.只有D2＋E2－4F＞0时表示圆，否则不表示圆.
2. 如果点P（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关 系式？在圆外呢？
√
×
×
√
2. 若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围
为 .
3. 若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的 圆，则F＝ .
4
知识点二 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式.
（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式.
（2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方程.
（2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把 图形看作点的轨迹（集合）.
（3）代入法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x1，y1）运动而 运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得 动点P的轨迹方程.
思考：轨迹与轨迹方程有什么区别？
（3）求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何 条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y的方程.
已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程.
【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
（1）实数m的取值范围；
二元二次方程与圆的关系
课堂互动探究与提升
（2）圆心坐标和半径.
归纳总结：判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆 的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆. 此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看 方程等号右端是否为大于零的常数.
【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
A. 一个点 B. 一个圆
C. 一条直线 D. 不存在
解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即 （x－1）2＋（y＋2）2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点 （1，－2）.
A
C. （－2，0）
D
【例2】求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过A（4，0），B（3，－3），C（1，1）三点；
求圆的一般方程
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
归纳总结：待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
（1）过点M（－1，1），且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同 的圆的方程为 .
（x－2）2＋（y＋3）2＝25
x2＋y2
－8x＋6y＝0
轨迹问题
归纳总结：求与圆有关的轨迹问题的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式.
（2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方程.
（3）代入法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x1，y1）运动而 运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得 动点P的轨迹方程.
点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为 圆上的动点.
（1）求线段AP的中点M的轨迹方程；
解：（1）设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式得点P（2x－2，2y）.
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解：（2）设线段PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜ BN｜.设O为原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜ PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，故 线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为 圆上的动点.
A. 圆心为（1，2）的圆 B. 圆心为（2，1）的圆
C. 圆心为（－1，－2）的圆 D. 不表示任何图形
解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于（x－1）2＋（y－2）2＝－1，
即方程无解，
所以该方程不表示任何图形.故选D.
D
当堂检测
C. 3 D. －3
B
3. 已知一动点M到点A（－4，0）的距离是它到点B（2，0）的距离的2 倍，则动点M的轨迹方程是 .
解析：由题意知圆的半径为1，所以圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－6x－2y＋9＝0.
x2＋y2－8x＝0
x2＋y2－6x
－2y＋9＝0
5. 已知点A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
（1）求△ABC的外接圆的一般方程；
（2）若点M（a，2）在△ABC的外接圆上，求a的值.
解：（2）由（1）知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝ 0，因为点M（a，2）在△ABC的外接圆上，
所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
5. 已知点A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
1. 重点与难点：①圆的一般方程；②轨迹方程的求法.
2. 定理与公式或方法等：①x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞ 0）；②轨迹方程的三种求法.
3. 误区警示：①一般方程一定要注意D2＋E2－4F＞0；②轨迹方程求解中 最后经常需要去掉一些不满足条件的点或添加一些符合条件的点.
知识点一 （1）D2＋E2－4F＞0
思考：
1. 不一定.只有D2＋E2－4F＞0时表示圆，否则不表示圆.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
1. （1）√ （2）× （3）× （4）√
知识点二
思考：（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式.
（2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把 图形看作点的轨迹（集合）.
（3）求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何 条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y的方程.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
1. A 解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5 ＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0，
所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点（1，－2）.
【变式训练】
解：（1）设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式得点P（2x－2，2y）.
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）设线段PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜ BN｜.设O为原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜ PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，故 线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于（x－1）2＋（y－2）2＝ －1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形.故选D.
4. x2＋y2－6x－2y＋9＝0 解析：由题意知圆的半径为1，所以圆的方程为 （x－3）2＋（y－1）2＝1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0.
5. 解：（1）设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
（2）由（1）知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 因为点M（a，2）在△ABC的外接圆上，所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.
2. 能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程.
我们常见的隧道的截面是半圆形，圆拱桥上的弧形也是圆的一部分，圆 在日常生活中应用非常广泛.如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝ r2展开为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D，E，F均为常数.那么请大家思 考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我 们来探讨这一方面的问题.
知识点一 圆的一般方程的定义
D2＋E2－4F＞0
教材知识整理与归纳
思考：
1. 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
不一定.只有D2＋E2－4F＞0时表示圆，否则不表示圆.
2. 如果点P（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0内，那么应满足什么关 系式？在圆外呢？
√
×
×
√
2. 若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围
为 .
3. 若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的 圆，则F＝ .
4
知识点二 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式.
（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式.
（2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方程.
（2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把 图形看作点的轨迹（集合）.
（3）代入法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x1，y1）运动而 运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得 动点P的轨迹方程.
思考：轨迹与轨迹方程有什么区别？
（3）求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何 条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y的方程.
已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的 轨迹方程.
【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
（1）实数m的取值范围；
二元二次方程与圆的关系
课堂互动探究与提升
（2）圆心坐标和半径.
归纳总结：判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆 的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆. 此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看 方程等号右端是否为大于零的常数.
【例1】若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
A. 一个点 B. 一个圆
C. 一条直线 D. 不存在
解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即 （x－1）2＋（y＋2）2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点 （1，－2）.
A
C. （－2，0）
D
【例2】求满足下列条件的圆的方程：
（1）经过A（4，0），B（3，－3），C（1，1）三点；
求圆的一般方程
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
归纳总结：待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
（1）过点M（－1，1），且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同 的圆的方程为 .
（x－2）2＋（y＋3）2＝25
x2＋y2
－8x＋6y＝0
轨迹问题
归纳总结：求与圆有关的轨迹问题的常用方法
（1）直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐 标，并找出动点坐标所满足的关系式.
（2）定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨 迹方程.
（3）代入法：若动点P（x，y）随着圆上的另一动点Q（x1，y1）运动而 运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得 动点P的轨迹方程.
点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为 圆上的动点.
（1）求线段AP的中点M的轨迹方程；
解：（1）设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式得点P（2x－2，2y）.
因为点P在圆x2＋y2＝4上，
所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
解：（2）设线段PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜ BN｜.设O为原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜ PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，故 线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P，Q为 圆上的动点.
A. 圆心为（1，2）的圆 B. 圆心为（2，1）的圆
C. 圆心为（－1，－2）的圆 D. 不表示任何图形
解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于（x－1）2＋（y－2）2＝－1，
即方程无解，
所以该方程不表示任何图形.故选D.
D
当堂检测
C. 3 D. －3
B
3. 已知一动点M到点A（－4，0）的距离是它到点B（2，0）的距离的2 倍，则动点M的轨迹方程是 .
解析：由题意知圆的半径为1，所以圆的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－6x－2y＋9＝0.
x2＋y2－8x＝0
x2＋y2－6x
－2y＋9＝0
5. 已知点A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
（1）求△ABC的外接圆的一般方程；
（2）若点M（a，2）在△ABC的外接圆上，求a的值.
解：（2）由（1）知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝ 0，因为点M（a，2）在△ABC的外接圆上，
所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
5. 已知点A（2，2），B（5，3），C（3，－1）.
1. 重点与难点：①圆的一般方程；②轨迹方程的求法.
2. 定理与公式或方法等：①x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞ 0）；②轨迹方程的三种求法.
3. 误区警示：①一般方程一定要注意D2＋E2－4F＞0；②轨迹方程求解中 最后经常需要去掉一些不满足条件的点或添加一些符合条件的点.
知识点一 （1）D2＋E2－4F＞0
思考：
1. 不一定.只有D2＋E2－4F＞0时表示圆，否则不表示圆.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
1. （1）√ （2）× （3）× （4）√
知识点二
思考：（1）点M的轨迹方程是指点M的坐标（x，y）满足的关系式.
（2）轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把 图形看作点的轨迹（集合）.
（3）求符合某种条件的动点M的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何 条件，通过“坐标化”将其转化为关于变量x，y的方程.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
1. A 解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5 ＝0，即（x－1）2＋（y＋2）2＝0，
所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点（1，－2）.
【变式训练】
解：（1）设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式得点P（2x－2，2y）.
因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
（2）设线段PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜ BN｜.设O为原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜ PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，所以x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，故 线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：因为x2＋y2－2x－4y＋6＝0等价于（x－1）2＋（y－2）2＝ －1，即方程无解，所以该方程不表示任何图形.故选D.
4. x2＋y2－6x－2y＋9＝0 解析：由题意知圆的半径为1，所以圆的方程为 （x－3）2＋（y－1）2＝1，即x2＋y2－6x－2y＋9＝0.
5. 解：（1）设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
（2）由（1）知，△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 因为点M（a，2）在△ABC的外接圆上，所以a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.