人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程 课件(共39张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程 课件(共39张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准 方程.
2. 能准确判断点与圆的位置关系.
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月 亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有词道：“明月四时好，何事喜 中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入 吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”
知识点一 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称 为圆的圆心，定长称为圆的半径.
（2）标准方程：圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程
为 .
（x－a）2＋（y－b）2＝r2
教材知识整理与归纳
（3）确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径.
思考：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a，b，r∈R）表示一个圆吗？ 为什么？
未必表示圆.当r≠0时，表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆；当r＝0 时，表示一个点（a，b）.
×
√
×
A. （x－2）2＋（y＋3）2＝2 B. （x＋2）2＋（y－3）2＝4
C. （x＋2）2＋（y－3）2＝2 D. （x－2）2＋（y＋3）2＝4
解析：因为圆心为（－2，3），半径为2，
所以圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝4.
B
知识点二 点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的 位置关系有两种方法.
（1）几何法：将所给的点M与圆心A的距离跟半径r比较.
若｜AM｜＝r，则点M在 ；
若｜AM｜＞r，则点M在 ；
若｜AM｜＜r，则点M在 .
圆上
圆外
圆内
点A在圆内，点B在圆外，点C在圆上.
圆A上
圆A外
圆A内
解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m， 所以m＝10.即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
（x＋2）2＋y2
＝10
2. 以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程
是 .
（x－1）2＋（y－2）2＝25
【例1】（1）圆心为（3，4）且经过坐标原点的圆的标准方程
是 .
待定系数法求圆的标准方程
（x－3）2＋（y－4）2＝25
课堂互动探究与提升
（2）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的 圆的标准方程为 .
（x＋1）2＋（y＋2）2＝10
归纳总结：求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：
（1）待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；
（2）借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.
一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简便.
已知圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2）， 求圆C的方程.
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
点与圆的位置关系
B
[0，1）
归纳总结：（1）判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
（2）若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方 程，求解参数范围.
已知点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的外部，则a的取值范围 为 .
解析：由题意知，（1－a）2＋（1＋a）2＞4，即2a2－2＞0，解得a＜－1 或a＞1.
（－∞，－1）∪（1，＋∞）
【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），
（1）求此圆的标准方程；
最值问题
（2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求P（x，y）到直线x－y＋1＝0 的距离的最大值和最小值.
归纳总结：一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常 转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的 数学思想.
【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），
A. [2，6] B. [4，8]
A
A. （x－1）2＋（y－1）2＝1 B. （x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x－1）2＋（y－1）2＝2
A. 圆内 B. 圆外
C. 圆上 D. 圆上或圆外
D
B
当堂检测
A. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 B. （x－2）2＋（y－1）2＝10
C. （x－2）2＋（y－1）2＝5 D. （x＋2）2＋（y＋1）2＝10
C
4. 已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程 为 .
解析：由题意，圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，设圆的方程为 （x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），将点（8，1）代入圆的方程，可得 （8－a）2＋（1－a）2＝a2，整理得a2－18a＋65＝0，解得a＝5或a＝13. 当a＝5时，圆C的面积较小，此时圆C的方程为（x－5）2＋（y－5）2＝ 25.
（x－5）2＋（y－5）2＝25
5. 求下列圆的标准方程.
（1）圆心是（4，－1），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）；
（3）求过两点C（－1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程.
1. 重点与难点：圆的标准方程.
2. 定理与公式或方法等：圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
3. 误区警示：弦的垂直平分线一定过圆心，通过几何法可以简化运算.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （2）（x－a）2＋（y－b）2＝r2
思考：未必表示圆.当r≠0时，表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆； 当r＝0时，表示一个点（a，b）.
【即学即练】
1. （1）× （2）√ （3）×
2. B 解析：因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋ 2）2＋（y－3）2＝4.
知识点二 （1）圆上 圆外 圆内 （2）圆A上 圆A外 圆A内
思考：点A在圆内，点B在圆外，点C在圆上.
【即学即练】
1. （x＋2）2＋y2＝10 解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上， 故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10.即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
课堂互动探究与提升
（2）（x＋1）2＋（y＋2）2＝10
【变式训练】
【例2】（1）B 解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
【变式训练】
（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：由题意知，（1－a）2＋（1＋a）2＞ 4，即2a2－2＞0，解得a＜－1或a＞1.
【变式训练】
当堂检测
1. D 2.B 3.C
4. （x－5）2＋（y－5）2＝25 解析：由题意，圆C过点（8，1），且与两 坐标轴都相切，设圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），将点 （8，1）代入圆的方程，可得（8－a）2＋（1－a）2＝a2，整理得a2－18a ＋65＝0，解得a＝5或a＝13.当a＝5时，圆C的面积较小，此时圆C的方程 为（x－5）2＋（y－5）2＝25.
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准 方程.
2. 能准确判断点与圆的位置关系.
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月 亮，在文学作品中也大量描写、吟咏月亮.有词道：“明月四时好，何事喜 中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入 吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”
知识点一 圆的标准方程
（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称 为圆的圆心，定长称为圆的半径.
（2）标准方程：圆心为A（a，b），半径为r的圆的标准方程
为 .
（x－a）2＋（y－b）2＝r2
教材知识整理与归纳
（3）确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径.
思考：方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a，b，r∈R）表示一个圆吗？ 为什么？
未必表示圆.当r≠0时，表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆；当r＝0 时，表示一个点（a，b）.
×
√
×
A. （x－2）2＋（y＋3）2＝2 B. （x＋2）2＋（y－3）2＝4
C. （x＋2）2＋（y－3）2＝2 D. （x－2）2＋（y＋3）2＝4
解析：因为圆心为（－2，3），半径为2，
所以圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－3）2＝4.
B
知识点二 点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内.判断点与圆的 位置关系有两种方法.
（1）几何法：将所给的点M与圆心A的距离跟半径r比较.
若｜AM｜＝r，则点M在 ；
若｜AM｜＞r，则点M在 ；
若｜AM｜＜r，则点M在 .
圆上
圆外
圆内
点A在圆内，点B在圆外，点C在圆上.
圆A上
圆A外
圆A内
解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋12＝m， 所以m＝10.即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
（x＋2）2＋y2
＝10
2. 以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程
是 .
（x－1）2＋（y－2）2＝25
【例1】（1）圆心为（3，4）且经过坐标原点的圆的标准方程
是 .
待定系数法求圆的标准方程
（x－3）2＋（y－4）2＝25
课堂互动探究与提升
（2）圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A（2，－3），B（－2，－5）的 圆的标准方程为 .
（x＋1）2＋（y＋2）2＝10
归纳总结：求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：
（1）待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；
（2）借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.
一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简便.
已知圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A（3，6），且经过点B（5，2）， 求圆C的方程.
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
点与圆的位置关系
B
[0，1）
归纳总结：（1）判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆心之间的距离，与半径作比较即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
（2）若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方 程，求解参数范围.
已知点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的外部，则a的取值范围 为 .
解析：由题意知，（1－a）2＋（1＋a）2＞4，即2a2－2＞0，解得a＜－1 或a＞1.
（－∞，－1）∪（1，＋∞）
【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），
（1）求此圆的标准方程；
最值问题
（2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求P（x，y）到直线x－y＋1＝0 的距离的最大值和最小值.
归纳总结：一般地，求圆上的点到定点或定直线的距离的最值问题，常 转化为圆心到定点或定直线的距离问题解决，充分体现了转化与化归的 数学思想.
【例3】已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（1，0），B（5，0），
A. [2，6] B. [4，8]
A
A. （x－1）2＋（y－1）2＝1 B. （x＋1）2＋（y＋1）2＝1
C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x－1）2＋（y－1）2＝2
A. 圆内 B. 圆外
C. 圆上 D. 圆上或圆外
D
B
当堂检测
A. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 B. （x－2）2＋（y－1）2＝10
C. （x－2）2＋（y－1）2＝5 D. （x＋2）2＋（y＋1）2＝10
C
4. 已知圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C的方程 为 .
解析：由题意，圆C过点（8，1），且与两坐标轴都相切，设圆的方程为 （x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），将点（8，1）代入圆的方程，可得 （8－a）2＋（1－a）2＝a2，整理得a2－18a＋65＝0，解得a＝5或a＝13. 当a＝5时，圆C的面积较小，此时圆C的方程为（x－5）2＋（y－5）2＝ 25.
（x－5）2＋（y－5）2＝25
5. 求下列圆的标准方程.
（1）圆心是（4，－1），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）；
（3）求过两点C（－1，1）和D（1，3），圆心在x轴上的圆的标准方程.
1. 重点与难点：圆的标准方程.
2. 定理与公式或方法等：圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
3. 误区警示：弦的垂直平分线一定过圆心，通过几何法可以简化运算.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （2）（x－a）2＋（y－b）2＝r2
思考：未必表示圆.当r≠0时，表示圆心为（a，b），半径为｜r｜的圆； 当r＝0时，表示一个点（a，b）.
【即学即练】
1. （1）× （2）√ （3）×
2. B 解析：因为圆心为（－2，3），半径为2，所以圆的标准方程为（x＋ 2）2＋（y－3）2＝4.
知识点二 （1）圆上 圆外 圆内 （2）圆A上 圆A外 圆A内
思考：点A在圆内，点B在圆外，点C在圆上.
【即学即练】
1. （x＋2）2＋y2＝10 解析：因为点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上， 故（1＋2）2＋12＝m，所以m＝10.即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
课堂互动探究与提升
（2）（x＋1）2＋（y＋2）2＝10
【变式训练】
【例2】（1）B 解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
【变式训练】
（－∞，－1）∪（1，＋∞） 解析：由题意知，（1－a）2＋（1＋a）2＞ 4，即2a2－2＞0，解得a＜－1或a＞1.
【变式训练】
当堂检测
1. D 2.B 3.C
4. （x－5）2＋（y－5）2＝25 解析：由题意，圆C过点（8，1），且与两 坐标轴都相切，设圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），将点 （8，1）代入圆的方程，可得（8－a）2＋（1－a）2＝a2，整理得a2－18a ＋65＝0，解得a＝5或a＝13.当a＝5时，圆C的面积较小，此时圆C的方程 为（x－5）2＋（y－5）2＝25.