人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系课件(共56张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系课件(共56张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 6.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共56张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题 的思想.
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日 落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直 线，观察下面三幅太阳落山的图片.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系 及判断
教材知识整理与归纳
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 d＜r d＝r d＞r
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：对直线与圆位置关系的判断的三点说明
（1）判断直线与圆的位置关系的方法：代数法和几何法.
（2）几何法比代数法要简便，一般选择几何法.
（3）当已知位置关系，求参数的值时，选择代数法就是转化成方程的根的 问题；选择几何法就是解不等式的问题.
思考：利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法 简单？
一般几何法较简单.
×
√
√
×
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
B
A. 0或2 B. 2 D. 无解
4. 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于 .
B
直线与圆的位置关系
课堂互动探究与提升
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
A
解析：法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），
因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，
所以直线l与圆相交.
归纳总结：判断直线与圆的位置关系应注意的问题
（1）利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
（2）在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用 有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
A. －1 B. 0
C. 1
B
解析：∵直线kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线与圆O相切.
圆O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2，
【例2】（1）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦 长；
直线与圆相交问题
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋4＝0.
归纳总结：求直线与圆的相交弦的方法
（1）利用代数法求两点之间的距离公式.
（2）利用几何法（勾股定理）.
A. －1 B. －3
C. 1 D. －3或1
D
（2）过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长 为 .
（x－2）2＋（y＋1）2＝4
【例3】已知圆C：（x－3）2＋y2＝1.
切线问题
（1）过点P（0，1）作直线l与圆C相切，切线长为 ，直线l的方程 为 ；
解析：（1）如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ， 则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.
3
y＝1或3x＋4y－4＝0
4x＋3y－17
＝0或x＝2
归纳总结：如果所求切线过某已知点M，务必弄清该点在圆上还是在圆外.
（1）如果点M在圆上，那么圆心和点M的连线和切线垂直，从而可求得切 线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程.
（2）如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能 求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
C
（2）若点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相 切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为 .
解析：如图所示，
8
【例4】已知圆C的圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A（2，－1），与直 线x＋y＝1相切.
直线与圆的综合问题
（1）求圆C的方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与圆C交于M，N两点，且｜MN｜＝2， 求直线l的方程.
已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x－y－5＝0上且与y轴切于点M （0，－2）.
（1）求圆C的方程；
（3）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
C
当堂检测
A. －2 B. 2 C. －12 D. 12
BD
3. 若点A（3，5）是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦 所在的直线方程为 .
x＋y－8＝0
4. 已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的 值为 .
解析：该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，故该圆的圆心为（1， 1），半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心.
所以4－1＝b，b＝3.
3
1. 重点与难点：直线与圆的位置关系的判断（几何法、代数法）.
2. 定理与公式或方法等：①弦长可以利用代数法（两点间的距离公式）或 利用几何法（勾股定理）来求解；②过圆外一点M有两条切线，过圆上一 点M只有一条切线.
3. 误区警示：求切线或给定弦长所在的直线方程要注意考虑斜率不存在的 情况.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点
思考：一般几何法较简单.
【即学即练】
1. （1）× （2）√ （3）√ （4）×
课堂互动探究与提升
【例1】A 解析：法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为 点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相交.
【变式训练】
B 解析：∵直线kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线与圆O相切.
圆O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2，
（2）圆x2＋y2＋2x＋2y－2＝0化为标准方程得（x＋1）2＋（y＋1）2＝ 4，则其圆心为（－1，－1），半径r＝2，
设圆心（－1，－1）到直线l的距离为d，
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，
此时圆心（－1，－1）到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，
所以直线l的方程为3x－4y＋4＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋4＝0.
【变式训练】
因为｜AB｜＝2，所以圆心到直线y＝x＋m的距离为
又直线y＝x＋m可化为x－y＋m＝0，
【例3】（1） 3 y＝1或3x＋4y－4＝0 （2） 4x＋3y－17＝0或x＝2
解析：（1）如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q， 连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，
且∠CQP＝90°.
【变式训练】
（2）8 解析：如图所示，
【例4】解：（1）设圆心C（a，－2a），
因为圆C经过点A（2，－1），与直线x＋y＝1相切，
化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，则圆心C（1，－2），
所以圆C的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝2.
若斜率不存在，即x＝2，显然满足要求；
综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.
【变式训练】
（3）设点N的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x0，y0）.
由于P（2，0），且N为PQ的中点，
当堂检测
4. 3 解析：该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，故该圆的圆心为 （1，1），半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心.所以4 －1＝b，b＝3.
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题 的思想.
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日 落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直 线，观察下面三幅太阳落山的图片.
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系 及判断
教材知识整理与归纳
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判断方法 d＜r d＝r d＞r
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
注意：对直线与圆位置关系的判断的三点说明
（1）判断直线与圆的位置关系的方法：代数法和几何法.
（2）几何法比代数法要简便，一般选择几何法.
（3）当已知位置关系，求参数的值时，选择代数法就是转化成方程的根的 问题；选择几何法就是解不等式的问题.
思考：利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法 简单？
一般几何法较简单.
×
√
√
×
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心 D. 相离
B
A. 0或2 B. 2 D. 无解
4. 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于 .
B
直线与圆的位置关系
课堂互动探究与提升
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
A
解析：法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），
因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，
所以直线l与圆相交.
归纳总结：判断直线与圆的位置关系应注意的问题
（1）利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
（2）在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用 有关图形的几何特征，尽可能简化运算.
A. －1 B. 0
C. 1
B
解析：∵直线kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线与圆O相切.
圆O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2，
【例2】（1）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦 长；
直线与圆相交问题
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋4＝0.
归纳总结：求直线与圆的相交弦的方法
（1）利用代数法求两点之间的距离公式.
（2）利用几何法（勾股定理）.
A. －1 B. －3
C. 1 D. －3或1
D
（2）过点（3，1）作圆（x－2）2＋（y－2）2＝4的弦，其中最短弦的长 为 .
（x－2）2＋（y＋1）2＝4
【例3】已知圆C：（x－3）2＋y2＝1.
切线问题
（1）过点P（0，1）作直线l与圆C相切，切线长为 ，直线l的方程 为 ；
解析：（1）如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q，连接PC，CQ， 则三角形PCQ为直角三角形，且∠CQP＝90°.
3
y＝1或3x＋4y－4＝0
4x＋3y－17
＝0或x＝2
归纳总结：如果所求切线过某已知点M，务必弄清该点在圆上还是在圆外.
（1）如果点M在圆上，那么圆心和点M的连线和切线垂直，从而可求得切 线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程.
（2）如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在设斜率解题时可能 求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
C
（2）若点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相 切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为 .
解析：如图所示，
8
【例4】已知圆C的圆心在直线y＝－2x上，并且经过点A（2，－1），与直 线x＋y＝1相切.
直线与圆的综合问题
（1）求圆C的方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与圆C交于M，N两点，且｜MN｜＝2， 求直线l的方程.
已知点P（2，0），圆C的圆心在直线x－y－5＝0上且与y轴切于点M （0，－2）.
（1）求圆C的方程；
（3）设点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
C
当堂检测
A. －2 B. 2 C. －12 D. 12
BD
3. 若点A（3，5）是圆x2＋y2－4x－8y－80＝0的一条弦的中点，则这条弦 所在的直线方程为 .
x＋y－8＝0
4. 已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的 值为 .
解析：该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，故该圆的圆心为（1， 1），半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心.
所以4－1＝b，b＝3.
3
1. 重点与难点：直线与圆的位置关系的判断（几何法、代数法）.
2. 定理与公式或方法等：①弦长可以利用代数法（两点间的距离公式）或 利用几何法（勾股定理）来求解；②过圆外一点M有两条切线，过圆上一 点M只有一条切线.
3. 误区警示：求切线或给定弦长所在的直线方程要注意考虑斜率不存在的 情况.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点
思考：一般几何法较简单.
【即学即练】
1. （1）× （2）√ （3）√ （4）×
课堂互动探究与提升
【例1】A 解析：法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为 点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相交.
【变式训练】
B 解析：∵直线kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线与圆O相切.
圆O：x2＋y2＝4的圆心为O（0，0），半径为2，
（2）圆x2＋y2＋2x＋2y－2＝0化为标准方程得（x＋1）2＋（y＋1）2＝ 4，则其圆心为（－1，－1），半径r＝2，
设圆心（－1，－1）到直线l的距离为d，
当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，
此时圆心（－1，－1）到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，
所以直线l的方程为3x－4y＋4＝0，
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋4＝0.
【变式训练】
因为｜AB｜＝2，所以圆心到直线y＝x＋m的距离为
又直线y＝x＋m可化为x－y＋m＝0，
【例3】（1） 3 y＝1或3x＋4y－4＝0 （2） 4x＋3y－17＝0或x＝2
解析：（1）如图，过点P作圆C的一条切线，切点为Q， 连接PC，CQ，则三角形PCQ为直角三角形，
且∠CQP＝90°.
【变式训练】
（2）8 解析：如图所示，
【例4】解：（1）设圆心C（a，－2a），
因为圆C经过点A（2，－1），与直线x＋y＝1相切，
化简得a2－2a＋1＝0，解得a＝1，则圆心C（1，－2），
所以圆C的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝2.
若斜率不存在，即x＝2，显然满足要求；
综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.
【变式训练】
（3）设点N的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x0，y0）.
由于P（2，0），且N为PQ的中点，
当堂检测
4. 3 解析：该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，故该圆的圆心为 （1，1），半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心.所以4 －1＝b，b＝3.