人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.3直线的一般式方程课件(共40张PPT)

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第二章　直线和圆的方程
2.2　直线的方程
2.2.3　直线的一般式方程
1. 掌握直线的一般式方程.
2. 理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（其中A，B不同时为0） 都表示直线.
3. 会进行直线方程的五种形式之间的转化.
知识点　直线的一般式方程
（1）直线的一般式方程
我们把关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不同时 为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
（2）二元一次方程与直线的关系
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的 直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方 程表示.
Ax＋By＋C＝0　
教材知识整理与归纳
注意：
1. 解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式，一般作如下约定：x 的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，往往按含x项、含y 项、常数项顺序排列.
2. 直线的一般式方程可以表示平面内的任意一条直线.
思考：
在方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）中，A，B，C为何值时，方 程表示的直线：（1）平行于x轴；（2）平行于y轴；（3）与x轴重合； （4）与y轴重合.
√
√
×
√
C. 3 D. －3
解析：在2x＋y＋3＝0中，令x＝0，得y＝－3，故直线l的纵截距为－3.故 选D.
D
3x－2y＋6
＝0　
【例1】根据下列条件求直线的一般式方程.
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
解：（1）因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3 ＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1 ＝0.
　直线的一般式方程
课堂互动探究与提升
（3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）；
【例1】根据下列条件求直线的一般式方程.
（4）在x，y轴上的截距分别为2，－4.
归纳总结：求直线方程时，可先选择适当的形式求出直线方程，最后一般都 要化为一般式方程.
【例1】根据下列条件求直线的一般式方程.
（2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点；
（3）在x，y轴上的截距分别是－3，－1.
【例2】（1）已知直线l1：2x＋（m＋1）y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝ 0平行，求实数m的值.
解：（1）由2×3－m（m＋1）＝0，得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合， 所以l1∥l2；当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，
l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2.
故m的值为2或－3.
　平行与垂直问题
（2）已知直线l1：（a＋2）x＋（1－a）y－1＝0与直线l2：（a－1）x＋ （2a＋3）y＋2＝0垂直，求实数a的值.
解：（2）由直线l1⊥l2，得（a＋2）（a－1）＋（1－a）（2a＋3）＝0， 解得a＝±1.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
归纳总结：由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
（1）l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）.
（2）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
已知直线l1：3mx＋8y＋3m－10＝0和l2：x＋6my－4＝0.问m为何值时：
（1）l1与l2平行；
（2）l1与l2垂直.
解：（2）当l1与l2垂直时，3m×1＋6m×8＝0，解得m＝0.
所以当m＝0时，l1与l2垂直.
已知直线l1：3mx＋8y＋3m－10＝0和l2：x＋6my－4＝0.问m为何值时：
命题方向1：镜面反射问题
　直线方程的应用
C
归纳总结：本题利用了入射光线与反射光线关于镜面对称的原理求解.
把本例中的条件变为“一条光线从点A（2，4）射出，遇x轴后反射，反射 光线经过点B（5，2）”，试求反射光线的直线方程.
命题方向2：含参数的直线方程问题
【例4】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
【例4】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
（2）为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
归纳总结：研究直线的图形特点，首先观察直线本身具有的特征，如本例 （1）中直线过定点；其次数形结合，运用运动变化的观点研究直线的变化 规律，如本例（2）.同时也要注意直线的斜率、截距的几何意义.
设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下 列条件分别确定m的值：
（1）l在x轴上的截距是－3；
（2）l的斜率是－1.
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
C
当堂检测
A. －1，2 B. －2，2
C. 2，－2 D. －2，－2
A
3. 斜率为2，且经过点A（1，3）的直线的一般式方程为 .
解析：由点斜式方程，得所求直线方程为y－3＝2（x－1），整理得2x－y ＋1＝0.
4. 若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝ .
解析：因为两直线垂直，
所以1×2－2m＝0，得m＝1.
2x－y＋1＝0　
1　
5. 已知在△ABC中，点A的坐标为（1，3），AB，AC边上的中线所在直 线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程.
1. 重点与难点：直线一般式方程.
2. 定理与公式或方法等：一般式Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）.
3. 误区警示：解题时，如无特殊说明，应把最终结果化为一般式，一般作 如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，往往按 含x项、含y项、常数项顺序排列.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点　（1）Ax＋By＋C＝0
【即学即练】
1. （1）√　（2）√　（3）×　（4）√
2. D　解析：在2x＋y＋3＝0中，令x＝0，得y＝－3，故直线l的纵截距为 －3.故选D.
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可 得y－3＝2（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x －y＋1＝0.
【变式训练】
【例2】解：（1）由2×3－m（m＋1）＝0，得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，显然l1与l2不重合， 所以l1∥l2；当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，
l2：2x＋3y－2＝0，l1与l2不重合，l1∥l2.
故m的值为2或－3.
（2）由直线l1⊥l2，得（a＋2）（a－1）＋（1－a）（2a＋3）＝0，解得 a＝±1.故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
【变式训练】
（2）当l1与l2垂直时，3m×1＋6m×8＝0，解得m＝0.
所以当m＝0时，l1与l2垂直.
【变式训练】
【变式训练】
当堂检测
3.2x－y＋1＝0　解析：由点斜式方程，得所求直线方程为y－3＝2（x－ 1），整理得2x－y＋1＝0.
4.1　解析：因为两直线垂直，所以1×2－2m＝0，得m＝1.