人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课件(共46张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.2直线的方程2.2.1直线的点斜式方程课件(共46张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截 式方程.
2. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上 同一点的直线.
知识点一 直线的点斜式方程
（1）定义：如图1所示，直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k，则方 程 叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式.
y－y0＝k（x－x0）
教材知识整理与归纳
（2）如图2所示，过点P0（x0，y0），倾斜角是90°的直线没有点斜式，其 方程是x－x0＝0，即 .
x＝x0
思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，垂直于x轴的直线，其方程不能用 点斜式表示.
注意：经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：
（1）斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；
（2）斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
×
×
×
C. 直线l过点（1，－2），斜率为2
D. 直线l过点（－1，2），斜率为2
C
B
知识点二 直线的斜截式方程
如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P0（0，b），其中纵坐 标b叫做直线l在y轴上的 .方程 叫做直线l的斜截式 方程，简称斜截式.
倾斜角是 的直线没有斜截式方程.
截距
y＝kx＋b
90°
注意：
1. 应用斜截式方程的前提是直线的斜率存在.
2. 纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即 可为正数、负数或零.
思考：直线在y轴上的截距和直线与y轴的交点到原点的距离是一回事吗？
不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可 正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当 截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
A. k＝3，b＝6 B. k＝－3，b＝－6
C. k＝－3，b＝6 D. k＝3，b＝－6
B
【例1】若直线l过点（2，1），分别求l满足下列条件时的直线方程.
（1）倾斜角为135°；
解：（1）直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－ 1×（x－2），即方程为y－1＝－（x－2）.
（2）平行于x轴；
解：（2）平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
求直线的点斜式方程
课堂互动探究与提升
（3）平行于y轴；
解：（3）过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为x＝2.
（4）过原点.
A. 直线经过点（－1，2），斜率为－1
B. 直线经过点（2，－1），斜率为－1
C. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1
D. 直线经过点（－2，－1），斜率为1
解析：直线y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线经过 点（－1，－2），斜率为－1.
C
A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0
C. x－y＋5＝0 D. x－y－5＝0
解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P（2， －3），所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
（2）经过点P（2，－3），且倾斜角为45°的直线方程为 （ ）
D
【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
（1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
（2）与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4；
求直线的斜截式方程
（3）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
归纳总结：斜截式方程的特点及应用
（1）若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可选用直线的斜截 式方程直接求解直线方程.
（2）根据k，b的正负判断斜率和截距的几何意义时，k＞0 直线呈上升趋 势；k＜0 直线呈下降趋势；k＝0 直线呈水平状态.b＞0 直线与y轴的 交点在x轴上方；b＜0 直线与y轴的交点在x轴下方；b＝0 直线过原点.
A. 3 B. 2
C. －2 D. －3
解析：对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，因此直线y＝2x－3在y轴 上的截距为－3.
D
B
BD
解析：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝－k，
所以y＝kx－k＝k（x－1），令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的交点坐标为（1，0）.
【例3】（1）当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2） x＋2平行？
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行.
点斜式、斜截式方程的应用
（2）当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2：y＝4x－3垂 直？
归纳总结：（1）两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，两直线的斜率均存在.
①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝ k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
②若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2 ＝－1.
（1）已知直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则a＝ .
解析：由题意可知a·（a＋2）＝－1，解得a＝－1.
－1
【例4】已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
（1）求证：直线l过定点；
（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.由直线方程的点斜式 可知，直线l过定点（－2，1）.
直线过定点问题
（2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.
归纳总结：定点的确定方法：把含有参数的直线方程化为点斜式的形式可得 出定点坐标.
求证：不论m为何值，直线l：y＝（m－1）x＋2m＋1总过第二象限.
A. 2 B. －1
C. 3 D. －3
解析：由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.
C
当堂检测
A. y＝x＋1 B. y＝x－1
C. y＝－x＋1 D. y＝－x－1
解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方 程为y＝－x－1.故选D.
D
A. （3，1） B. （2，3）
C. （2，－3） D. （－2，3）
解析：直线方程为y＝k（x－2）＋3，可化为y－3＝k（x－2），所以过 定点（2，3）.
B
4. 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜 率相等且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程是 .
解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，所以l的斜率k＝k1＝－2.由 题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可 得直线l的方程为y＝－2x－2.
y＝－2x－2
1. 重点与难点：直线的点斜式方程与斜截式方程（简称斜截式）.
2. 定理与公式或方法等：①点斜式：y－y0＝k（x－x0），②斜截式：y ＝kx＋b.
3. 误区警示：只有斜率存在时才有点斜式方程与斜截式方程，斜率不存在 方程可设为x＝x0.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （1）y－y0＝k（x－x0） （2）x＝x0
思考：不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，垂直于x轴的直线，其方程 不能用点斜式表示.
【即学即练】
1. （1）× （2）× （3）×
2. C 3.B
知识点二 截距 y＝kx＋b 90°
思考：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实 数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距 离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
【即学即练】B
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－ 1＝－1×（x－2），即方程为y－1＝－（x－2）.
（2）平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
（3）过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为x＝2.
【变式训练】
（1）C 解析：直线y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]， 故直线经过点（－1，－2），斜率为－1.
（2）D 解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经 过点P（2，－3），所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－ y－5＝0.
【变式训练】
（1）D 解析：对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，因此直线y＝2x －3在y轴上的截距为－3.
（3）BD 解析：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝ －k，所以y＝kx－k＝k（x－1），令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的 交点坐标为（1，0）.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行.
【变式训练】
（1）－1 解析：由题意可知a·（a＋2）＝－1，解得a＝－1.
【例4】（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.由直线方程 的点斜式可知，直线l过定点（－2，1）.
【变式训练】
当堂检测
1. C 解析：由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.
2. D 解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.故选D.
3. B 解析：直线方程为y＝k（x－2）＋3，可化为y－3＝k（x－2）， 所以过定点（2，3）.
4. y＝－2x－2 解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，所以l的斜率 k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－ 2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
第二章 直线和圆的方程
2.2 直线的方程
2.2.1 直线的点斜式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截 式方程.
2. 会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上 同一点的直线.
知识点一 直线的点斜式方程
（1）定义：如图1所示，直线l经过点P0（x0，y0），且斜率为k，则方 程 叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式.
y－y0＝k（x－x0）
教材知识整理与归纳
（2）如图2所示，过点P0（x0，y0），倾斜角是90°的直线没有点斜式，其 方程是x－x0＝0，即 .
x＝x0
思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，垂直于x轴的直线，其方程不能用 点斜式表示.
注意：经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：
（1）斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；
（2）斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
×
×
×
C. 直线l过点（1，－2），斜率为2
D. 直线l过点（－1，2），斜率为2
C
B
知识点二 直线的斜截式方程
如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为P0（0，b），其中纵坐 标b叫做直线l在y轴上的 .方程 叫做直线l的斜截式 方程，简称斜截式.
倾斜角是 的直线没有斜截式方程.
截距
y＝kx＋b
90°
注意：
1. 应用斜截式方程的前提是直线的斜率存在.
2. 纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即 可为正数、负数或零.
思考：直线在y轴上的截距和直线与y轴的交点到原点的距离是一回事吗？
不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实数，可 正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当 截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
A. k＝3，b＝6 B. k＝－3，b＝－6
C. k＝－3，b＝6 D. k＝3，b＝－6
B
【例1】若直线l过点（2，1），分别求l满足下列条件时的直线方程.
（1）倾斜角为135°；
解：（1）直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－1＝－ 1×（x－2），即方程为y－1＝－（x－2）.
（2）平行于x轴；
解：（2）平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
求直线的点斜式方程
课堂互动探究与提升
（3）平行于y轴；
解：（3）过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为x＝2.
（4）过原点.
A. 直线经过点（－1，2），斜率为－1
B. 直线经过点（2，－1），斜率为－1
C. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1
D. 直线经过点（－2，－1），斜率为1
解析：直线y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线经过 点（－1，－2），斜率为－1.
C
A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0
C. x－y＋5＝0 D. x－y－5＝0
解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P（2， －3），所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
（2）经过点P（2，－3），且倾斜角为45°的直线方程为 （ ）
D
【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程.
（1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3；
（2）与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4；
求直线的斜截式方程
（3）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°.
归纳总结：斜截式方程的特点及应用
（1）若能求得直线的斜率，且直线在y轴上的截距已知，可选用直线的斜截 式方程直接求解直线方程.
（2）根据k，b的正负判断斜率和截距的几何意义时，k＞0 直线呈上升趋 势；k＜0 直线呈下降趋势；k＝0 直线呈水平状态.b＞0 直线与y轴的 交点在x轴上方；b＜0 直线与y轴的交点在x轴下方；b＝0 直线过原点.
A. 3 B. 2
C. －2 D. －3
解析：对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，因此直线y＝2x－3在y轴 上的截距为－3.
D
B
BD
解析：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝－k，
所以y＝kx－k＝k（x－1），令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的交点坐标为（1，0）.
【例3】（1）当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2） x＋2平行？
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行.
点斜式、斜截式方程的应用
（2）当a为何值时，直线l1：y＝（2a－1）x＋3与直线l2：y＝4x－3垂 直？
归纳总结：（1）两条直线平行和垂直的判定
已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，两直线的斜率均存在.
①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝ k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
②若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2 k1·k2 ＝－1.
（1）已知直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则a＝ .
解析：由题意可知a·（a＋2）＝－1，解得a＝－1.
－1
【例4】已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
（1）求证：直线l过定点；
（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.由直线方程的点斜式 可知，直线l过定点（－2，1）.
直线过定点问题
（2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.
归纳总结：定点的确定方法：把含有参数的直线方程化为点斜式的形式可得 出定点坐标.
求证：不论m为何值，直线l：y＝（m－1）x＋2m＋1总过第二象限.
A. 2 B. －1
C. 3 D. －3
解析：由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.
C
当堂检测
A. y＝x＋1 B. y＝x－1
C. y＝－x＋1 D. y＝－x－1
解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方 程为y＝－x－1.故选D.
D
A. （3，1） B. （2，3）
C. （2，－3） D. （－2，3）
解析：直线方程为y＝k（x－2）＋3，可化为y－3＝k（x－2），所以过 定点（2，3）.
B
4. 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的斜 率相等且与l2在y轴上的截距相同，则直线l的方程是 .
解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，所以l的斜率k＝k1＝－2.由 题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可 得直线l的方程为y＝－2x－2.
y＝－2x－2
1. 重点与难点：直线的点斜式方程与斜截式方程（简称斜截式）.
2. 定理与公式或方法等：①点斜式：y－y0＝k（x－x0），②斜截式：y ＝kx＋b.
3. 误区警示：只有斜率存在时才有点斜式方程与斜截式方程，斜率不存在 方程可设为x＝x0.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （1）y－y0＝k（x－x0） （2）x＝x0
思考：不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程，垂直于x轴的直线，其方程 不能用点斜式表示.
【即学即练】
1. （1）× （2）× （3）×
2. C 3.B
知识点二 截距 y＝kx＋b 90°
思考：不是，直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标，截距是一个实 数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距 离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.
【即学即练】B
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）直线的斜率k＝tan 135°＝－1，所以由点斜式方程得y－ 1＝－1×（x－2），即方程为y－1＝－（x－2）.
（2）平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
（3）过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为x＝2.
【变式训练】
（1）C 解析：直线y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]， 故直线经过点（－1，－2），斜率为－1.
（2）D 解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经 过点P（2，－3），所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－ y－5＝0.
【变式训练】
（1）D 解析：对于直线y＝2x－3，当x＝0时，y＝－3，因此直线y＝2x －3在y轴上的截距为－3.
（3）BD 解析：因为直线方程为y＝kx＋b，且k≠0，k＋b＝0，即b＝ －k，所以y＝kx－k＝k（x－1），令y＝0，得x＝1，所以直线与x轴的 交点坐标为（1，0）.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝（a2－2）x＋2平行.
【变式训练】
（1）－1 解析：由题意可知a·（a＋2）＝－1，解得a＝－1.
【例4】（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）.由直线方程 的点斜式可知，直线l过定点（－2，1）.
【变式训练】
当堂检测
1. C 解析：由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.
2. D 解析：由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上的截距为－1，故直线方程为y＝－x－1.故选D.
3. B 解析：直线方程为y＝k（x－2）＋3，可化为y－3＝k（x－2）， 所以过定点（2，3）.
4. y＝－2x－2 解析：由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，所以l的斜率 k＝k1＝－2.由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以l在y轴上的截距b＝－ 2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.