人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课件(共42张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课件(共42张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握用代数方法刻画直线斜率的过程和 过两点的直线斜率的计算公式.
泰山为五岳之首，其十八盘更有名.十八盘岩层陡立，坡角70°～ 80°，在不足1 km的距离内升高400米，明人祈承赋《十八盘》诗：“拔地 五千丈，冲霄十八盘.径丛穷处见，天向隙中观.重累行如画，孤悬峻若竿， 生平饶胜具，此日骨犹寒.”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在 攀登中.你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？
知识点一 直线的倾斜角
1. 直线倾斜角的定义
x轴
正向
向
上
教材知识整理与归纳
2. 直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合 的直线的倾斜角为 .
思考：每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？
每一条直线都有一个确定的倾斜角.
0°≤α＜180°
0°
×
×
知识点二 直线的斜率
1. 斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写 字母k表示，即k＝ .倾斜角是 的直线没有斜率，倾斜角不 是 的直线都有斜率.
正切值
tan α
90°
90°
2. 斜率公式
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），可得斜率公式 为k＝ .
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从 和 两个角度刻画了 直线相对于x轴的倾斜程度.
形
数
思考：
1. 每一条直线都有斜率吗？
2. 斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
3. 利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
1. 当直线的倾斜角是90°时，没有斜率.
2. 当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角； 当k＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.
C. 1
A. 1 B. 2 C. 3
A
B
知识点三 直线的方向向量
思考：直线不与x轴垂直时，k是其斜率，则其一个方向向量是什么？
（1，k）（答案不唯一）
方向向
量
60°
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
直线倾斜角的概念
BC
课堂互动探究与提升
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
A. α＋45° B. 45°－α
C. α－135° D. 135°－α
AC
解析：如图1所示，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.如图2所示， 当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可
得到l1的倾斜角为α－135°.
归纳总结：求直线倾斜角的关键及两点注意
（1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所 成的角.
（2）注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂 直时，倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方 向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为 .
解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可 得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
135°
【例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确 定直线的倾斜角α.
（1）A（2，3），B（4，5）；
求直线的斜率
（2）C（－2，3），D（2，－1）；
（3）P（－3，1），Q（－3，10）.
解：（3）斜率不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
归纳总结：利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线 与x轴垂直时，斜率是不存在的.
（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2， y1与y2可以同时交换位置 .
（1）直线经过点P（3，2），Q（－3，3），则k＝ ，直线PQ的 倾斜角为 角（填“钝”或“锐”）.
（2）过点P（－2，m），Q（m，4）两点的直线的方向向量为（1， 2），则m的值为 .
钝
0
斜率公式的应用
A
（2）若三点A（2，－3），B（4，3），C（5，k）在同一条直线上，则 实数k＝ .
6
归纳总结：（1）用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否 任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时， 三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等 即可.
（2）涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
A. 2 B. 3 C. 9 D. －9
D
（2）已知点P（－1，－1），另有两点A（1，0），B（0，1），若过点P 的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为 .
A. 若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°
B. 若k是直线的斜率，则k∈R
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC
当堂检测
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 60°
A
A. 1或2 B. 2
D
0°
＜α≤90°
5. 一束光线从点A（－2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5， 7），求点P的坐标.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 1.x轴 正向 向上 2.0°≤α＜180° 0°
思考：每一条直线都有一个确定的倾斜角.
【即学即练】
（1）× （2）×
思考：1.当直线的倾斜角是90°时，没有斜率.
2. 当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角； 当k＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.
【即学即练】
思考：（1，k）（答案不唯一）
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】（1）BC 解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾 斜角为60°或120°.
（2）AC 解析：如图1所示，当0°≤α ＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.如图 2所示，当135°≤α＜180°时，结合图 形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜 角为α－135°.
【变式训练】
135° 解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三 角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15° ＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
（3）斜率不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
【变式训练】
【变式训练】
当堂检测
1. ABC
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.1.1 倾斜角与斜率
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握用代数方法刻画直线斜率的过程和 过两点的直线斜率的计算公式.
泰山为五岳之首，其十八盘更有名.十八盘岩层陡立，坡角70°～ 80°，在不足1 km的距离内升高400米，明人祈承赋《十八盘》诗：“拔地 五千丈，冲霄十八盘.径丛穷处见，天向隙中观.重累行如画，孤悬峻若竿， 生平饶胜具，此日骨犹寒.”泰山之雄伟，尽在十八盘，泰山之壮观，尽在 攀登中.你能用怎样的数学语言来描述泰山之雄伟呢？
知识点一 直线的倾斜角
1. 直线倾斜角的定义
x轴
正向
向
上
教材知识整理与归纳
2. 直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是 ，并规定与x轴平行或重合 的直线的倾斜角为 .
思考：每一条直线都有一个确定的倾斜角吗？
每一条直线都有一个确定的倾斜角.
0°≤α＜180°
0°
×
×
知识点二 直线的斜率
1. 斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写 字母k表示，即k＝ .倾斜角是 的直线没有斜率，倾斜角不 是 的直线都有斜率.
正切值
tan α
90°
90°
2. 斜率公式
如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），可得斜率公式 为k＝ .
在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从 和 两个角度刻画了 直线相对于x轴的倾斜程度.
形
数
思考：
1. 每一条直线都有斜率吗？
2. 斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
3. 利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗？为什么？
1. 当直线的倾斜角是90°时，没有斜率.
2. 当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角； 当k＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.
C. 1
A. 1 B. 2 C. 3
A
B
知识点三 直线的方向向量
思考：直线不与x轴垂直时，k是其斜率，则其一个方向向量是什么？
（1，k）（答案不唯一）
方向向
量
60°
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
直线倾斜角的概念
BC
课堂互动探究与提升
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
A. α＋45° B. 45°－α
C. α－135° D. 135°－α
AC
解析：如图1所示，当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.如图2所示， 当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可
得到l1的倾斜角为α－135°.
归纳总结：求直线倾斜角的关键及两点注意
（1）关键：依据平面几何的知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所 成的角.
（2）注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂 直时，倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方 向之间所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为 .
解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三角形外角与内角的关系可 得α2＝120°＋α1＝120°＋15°＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
135°
【例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确 定直线的倾斜角α.
（1）A（2，3），B（4，5）；
求直线的斜率
（2）C（－2，3），D（2，－1）；
（3）P（－3，1），Q（－3，10）.
解：（3）斜率不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
归纳总结：利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线 与x轴垂直时，斜率是不存在的.
（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2， y1与y2可以同时交换位置 .
（1）直线经过点P（3，2），Q（－3，3），则k＝ ，直线PQ的 倾斜角为 角（填“钝”或“锐”）.
（2）过点P（－2，m），Q（m，4）两点的直线的方向向量为（1， 2），则m的值为 .
钝
0
斜率公式的应用
A
（2）若三点A（2，－3），B（4，3），C（5，k）在同一条直线上，则 实数k＝ .
6
归纳总结：（1）用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否 任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时， 三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等 即可.
（2）涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
A. 2 B. 3 C. 9 D. －9
D
（2）已知点P（－1，－1），另有两点A（1，0），B（0，1），若过点P 的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为 .
A. 若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°
B. 若k是直线的斜率，则k∈R
C. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
D. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
ABC
当堂检测
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. 60°
A
A. 1或2 B. 2
D
0°
＜α≤90°
5. 一束光线从点A（－2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5， 7），求点P的坐标.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 1.x轴 正向 向上 2.0°≤α＜180° 0°
思考：每一条直线都有一个确定的倾斜角.
【即学即练】
（1）× （2）×
思考：1.当直线的倾斜角是90°时，没有斜率.
2. 当k＝tan α＜0时，倾斜角α是钝角；当k＝tan α＞0时，倾斜角α是锐角； 当k＝tan α＝0时，倾斜角α是0°.
【即学即练】
思考：（1，k）（答案不唯一）
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】（1）BC 解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾 斜角为60°或120°.
（2）AC 解析：如图1所示，当0°≤α ＜135°时，l1的倾斜角是α＋45°.如图 2所示，当135°≤α＜180°时，结合图 形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜 角为α－135°.
【变式训练】
135° 解析：如图，直线l2的倾斜角为α2，结合图形及三 角形外角与内角的关系可得α2＝120°＋α1＝120°＋15° ＝135°，故直线l2的倾斜角为135°.
即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.
即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.
（3）斜率不存在.因为xP＝xQ＝－3，
所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
【变式训练】
【变式训练】
当堂检测
1. ABC