人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件(共42张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件(共42张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的 两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，就画出一个椭圆.
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的 的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ， 叫 做椭圆的焦距.
思考：距离和“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”的点的轨迹是什么呢？
距离和“等于｜F1F2｜”的点的轨迹是线段；“小于｜F1F2｜”的点的轨迹 不存在.
距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）
焦点
两焦点间的距离
教材知识整理与归纳
A. 当a＝2时，点P的轨迹不存在
B. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D. 当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC
解析：当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜，故点P的轨迹不存在，A项正确；当a ＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB｜＝6，B 错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
a，b，c 的关系 c2＝
c2＝a2－b2
思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更 大一些，即“谁大在谁上”.
（－1，0），（1，0）
椭圆的标准方程
课堂互动探究与提升
归纳总结：求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出 椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准 方程，然后根据条件列出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标 准方程
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1（A＞0， B＞0，A≠B）.
（教材P109练习2）求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）a＝4，b＝1，焦点在x轴上；
归纳总结：利用几何意义进行转化.
椭圆的定义
14
（1）求△AF1B的周长.
解：（1）由椭圆的定义，得｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝10，
｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝10，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜ ＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.
（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
解：（2）不变，由椭圆的定义知△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜ BF1｜＋｜BF2｜＝4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.
焦点三角形
归纳总结：焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及 椭圆上的点到椭圆两焦点的距离问题常用定义，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a 来解决.
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
B
此时｜PF2｜＝4，｜PF1｜＝2，不符合点P在第一象限，
所以m＝5.
A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
C
当堂检测
A. （4，10） B. （7，10）
C. （4，7） D. （4，＋∞）
解析：依题意有k－4＞10－k＞0，解得7＜k＜10.故选B.
B
1. 重点与难点：椭圆的标准方程及推导过程.
2. 定理与公式或方法等：椭圆标准方程的求法
（1）待定系数法：即通过设出标准方程，然后依条件确定待定的系数 a，b.
（2）相关点法（代入法）：即先找到动点的相关点，然后通过相关点 的轨迹方程，确定动点的轨迹方程.
3. 误区警示：待定系数法求椭圆的标准方程时要先判断能否确定焦点位 置，否则需要分类讨论.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 距离的和等于常数（大于｜F1F2｜） 焦点 两焦点间的距离
思考：距离和“等于｜F1F2｜”的点的轨迹是线段；“小于｜F1F2｜”的点 的轨迹不存在.
【即学即练】
AC 解析：当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜，故点P的轨迹不存在，A项正 确；当a＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB｜ ＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.
知识点二
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
a，b系
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
思考：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母 哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】解：由于椭圆的焦点在x轴上，
由椭圆的定义知c＝2，
【变式训练】
【例2】14 解析：根据椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
∴6＋｜PF2｜＝20，故｜PF2｜＝14.
【变式训练】
解：（1）由椭圆的定义，得｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝10，
｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝10，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜ ＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.
（2）不变，由椭圆的定义知△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜ ＋｜BF2｜＝4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.
【例3】解：设m＝｜PF1｜，n＝｜PF2｜，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
｜F1F2｜2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
【变式练习】
B 解析：依题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，设｜F1F2｜＝n，
不妨设点P在第一象限，若｜PF1｜＝｜F1F2｜＝n，
有｜PF2｜＝6－n（0＜n＜6），
若｜PF2｜＝｜F1F2｜＝n，有｜PF1｜＝6－n（0＜n＜6），
同理可得n＝4，m＝5.
此时｜PF2｜＝4，｜PF1｜＝2，不符合点P在第一象限，
所以m＝5.
当堂检测
其几何意义为任意一点（x，y）到点（2，0）与（－2，0）的距离和为6.
又点（2，0）和（－2，0）之间的距离小于6，符合椭圆定义，所以复数z在 复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
2. B 解析：依题意有k－4＞10－k＞0，解得7＜k＜10.故选B.
5. 解：点M的轨迹是椭圆，
动点M（x，y）到定点（0，3），（0，－3）的距离之和为10，且10＞6， 所以动点的轨迹为椭圆.
由2a＝10，2c＝6可得，b2＝a2－c2＝25－9＝16，
又焦点（0，3），（0，－3）在y轴上，
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
1. 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题 中的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程.
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的 两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉 紧绳子，移动笔尖，就画出一个椭圆.
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的 的点 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ， 叫 做椭圆的焦距.
思考：距离和“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”的点的轨迹是什么呢？
距离和“等于｜F1F2｜”的点的轨迹是线段；“小于｜F1F2｜”的点的轨迹 不存在.
距离的和等于常数（大于｜F1F2｜）
焦点
两焦点间的距离
教材知识整理与归纳
A. 当a＝2时，点P的轨迹不存在
B. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C. 当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D. 当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
AC
解析：当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜，故点P的轨迹不存在，A项正确；当a ＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB｜＝6，B 错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
a，b，c 的关系 c2＝
c2＝a2－b2
思考：如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？
判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更 大一些，即“谁大在谁上”.
（－1，0），（1，0）
椭圆的标准方程
课堂互动探究与提升
归纳总结：求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，直接写出 椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准 方程，然后根据条件列出关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而求得标 准方程
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1（A＞0， B＞0，A≠B）.
（教材P109练习2）求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）a＝4，b＝1，焦点在x轴上；
归纳总结：利用几何意义进行转化.
椭圆的定义
14
（1）求△AF1B的周长.
解：（1）由椭圆的定义，得｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝10，
｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝10，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜ ＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.
（2）如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？
解：（2）不变，由椭圆的定义知△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜ BF1｜＋｜BF2｜＝4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.
焦点三角形
归纳总结：焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及 椭圆上的点到椭圆两焦点的距离问题常用定义，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a 来解决.
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
B
此时｜PF2｜＝4，｜PF1｜＝2，不符合点P在第一象限，
所以m＝5.
A. 线段 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线
C
当堂检测
A. （4，10） B. （7，10）
C. （4，7） D. （4，＋∞）
解析：依题意有k－4＞10－k＞0，解得7＜k＜10.故选B.
B
1. 重点与难点：椭圆的标准方程及推导过程.
2. 定理与公式或方法等：椭圆标准方程的求法
（1）待定系数法：即通过设出标准方程，然后依条件确定待定的系数 a，b.
（2）相关点法（代入法）：即先找到动点的相关点，然后通过相关点 的轨迹方程，确定动点的轨迹方程.
3. 误区警示：待定系数法求椭圆的标准方程时要先判断能否确定焦点位 置，否则需要分类讨论.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 距离的和等于常数（大于｜F1F2｜） 焦点 两焦点间的距离
思考：距离和“等于｜F1F2｜”的点的轨迹是线段；“小于｜F1F2｜”的点 的轨迹不存在.
【即学即练】
AC 解析：当a＝2时，2a＝4＜｜AB｜，故点P的轨迹不存在，A项正 确；当a＝4时，2a＝8＞｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB｜ ＝6，B错误，C正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB，D错误.
知识点二
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
a，b系
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
思考：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母 哪个更大一些，即“谁大在谁上”.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】解：由于椭圆的焦点在x轴上，
由椭圆的定义知c＝2，
【变式训练】
【例2】14 解析：根据椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
∴6＋｜PF2｜＝20，故｜PF2｜＝14.
【变式训练】
解：（1）由椭圆的定义，得｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝10，
｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a＝10，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜ ＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝20.
（2）不变，由椭圆的定义知△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜ ＋｜BF2｜＝4a.只受a的影响，不受AB与x轴的位置关系影响.
【例3】解：设m＝｜PF1｜，n＝｜PF2｜，则m＋n＝2a＝4.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
｜F1F2｜2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2，
【变式练习】
B 解析：依题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，设｜F1F2｜＝n，
不妨设点P在第一象限，若｜PF1｜＝｜F1F2｜＝n，
有｜PF2｜＝6－n（0＜n＜6），
若｜PF2｜＝｜F1F2｜＝n，有｜PF1｜＝6－n（0＜n＜6），
同理可得n＝4，m＝5.
此时｜PF2｜＝4，｜PF1｜＝2，不符合点P在第一象限，
所以m＝5.
当堂检测
其几何意义为任意一点（x，y）到点（2，0）与（－2，0）的距离和为6.
又点（2，0）和（－2，0）之间的距离小于6，符合椭圆定义，所以复数z在 复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
2. B 解析：依题意有k－4＞10－k＞0，解得7＜k＜10.故选B.
5. 解：点M的轨迹是椭圆，
动点M（x，y）到定点（0，3），（0，－3）的距离之和为10，且10＞6， 所以动点的轨迹为椭圆.
由2a＝10，2c＝6可得，b2＝a2－c2＝25－9＝16，
又焦点（0，3），（0，－3）在y轴上，