人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程第1课时双曲线及其标准方程课件(共44张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程第1课时双曲线及其标准方程课件(共44张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2. 通过双曲线方程的学习进一步体会数形结合的思想.
如图1，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内， 取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段 PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果｜F1F2｜＜｜AB｜，那么 两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果｜F1F2｜＞｜AB｜，两圆不相 交，不存在交点轨迹.
如图2，在｜F1F2｜＞｜AB｜的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
知识点一 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数（小 于 ）的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线 的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
差的绝对值
｜F1F2｜
双曲线
焦点
焦距
教材知识整理与归纳
2. 距离和“等于｜F1F2｜”或“大于｜F1F2｜”的点的轨迹是什么呢？
当距离之差的绝对值等于｜F1F2｜时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别 是F1，F2，当距离之差的绝对值大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.
思考：
1. 双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线
C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线
解析：当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨迹为双曲线的 一支（靠近点B）.当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨 迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
D
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1 ，
F2
焦距 ｜F1F2｜＝2c
a，b，c
的关系 c2＝
（0，－c）
（0，c）
a2＋b2
思考：
1. 双曲线中a，b，c的数量关系如何？谁最大？与椭圆有何不同？
双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大小关 系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0，a＞ c，c与b的大小关系不确定.
2. 如何通过双曲线的标准方程判断焦点位置？
在双曲线中，a不一定大于b，“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
解析：由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，即｜3－｜ PF2｜｜＝6，解得｜PF2｜＝9（负值舍去）.故选B.
B
【例1】（课本P121练习1改编）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
双曲线的标准方程
课堂互动探究与提升
（1）焦点为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）；
（2）焦点在x轴上，a＝4，b＝3；
【例1】（课本P121练习1改编）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
归纳总结：焦点的位置不明确时，应分类讨论，或设为mx2＋ny2＝1（mn＜ 0）的形式.
双曲线定义的应用
归纳总结：注意范围.
（1）一动圆与圆C1：x2＋y2＋10y＋24＝0和C2：x2＋y2－10y－24＝0都外 切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
（x≥2）
A
当堂检测
ACD
解析：因为A（－1，0），B（1，0），
所以｜AB｜＝2，
9
9
1. 重点与难点：双曲线的定义、标准方程.
2. 定理与公式或方法等：双曲线方程的求法：（1）待定系数法：即通过设 出标准方程，然后依条件确定待定的系数a，b的方法；（2）定义法：即 若动点的几何特征适合双曲线的定义，求出a，b代入标准方程的方法.
3. 误区警示：注意讨论焦点位置；轨迹方程注意取值范围.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 差的绝对值 ｜F1F2｜ 双曲线 焦点 焦距
思考：
1. 不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
2. 当距离之差的绝对值等于｜F1F2｜时，动点的轨迹就是两条射线，端点分 别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.
【即学即练】
D 解析：当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨迹为双曲线 的一支（靠近点B）.当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，所以点P的 轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
知识点二
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方 程
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝2c
a，b， c的关系 c2＝a2＋b2
思考：
1. 双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大 小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0， a＞c，c与b的大小关系不确定.
2. 在双曲线中，a不一定大于b，“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为 正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
【即学即练】
B 解析：由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，即｜3 －｜PF2｜｜＝6，解得｜PF2｜＝9（负值舍去）.故选B.
课堂互动探究与提升
【变式训练】
所以点M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的双曲线.
乘积为正是双曲线，乘积为负是椭圆.
【变式训练】
解析：圆C1：x2＋（y＋5）2＝1的圆心为C1（0，－5），半径r1＝1，
当堂检测
3.9 解析：由题意得，焦距2c＝8，可得c＝4，在双曲线中c2＝a2＋b2，所 以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，
当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8不满足题意，故舍去；当｜ MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意.
所以｜MF2｜＝9.
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝4，
所以｜PF1｜＝｜PF2｜＋4.
如图，连接QF2，
又Q（1，4），F2（4，0），
所以｜PF1｜＋｜PQ｜＝｜PF2｜＋4＋｜PQ｜≥｜QF2｜＋4＝9，
当且仅当点P在线段QF2上时取“＝”，
故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为9.
故答案为9.
c2＝a2＋b2＝15＋1＝16，c＝4，焦点坐标为（±4，0），
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
第1课时 双曲线及其标准方程
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2. 通过双曲线方程的学习进一步体会数形结合的思想.
如图1，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点.在平面内， 取定点F1，F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段 PB为半径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果｜F1F2｜＜｜AB｜，那么 两圆相交，其交点M的轨迹是椭圆；如果｜F1F2｜＞｜AB｜，两圆不相 交，不存在交点轨迹.
如图2，在｜F1F2｜＞｜AB｜的条件下，让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件？两圆的交点M的轨迹是什么形状？
知识点一 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数（小 于 ）的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线 的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
差的绝对值
｜F1F2｜
双曲线
焦点
焦距
教材知识整理与归纳
2. 距离和“等于｜F1F2｜”或“大于｜F1F2｜”的点的轨迹是什么呢？
当距离之差的绝对值等于｜F1F2｜时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别 是F1，F2，当距离之差的绝对值大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.
思考：
1. 双曲线定义中的“距离的差的绝对值”中的“绝对值”能否去掉？
不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
A. 双曲线或一条直线 B. 双曲线或两条直线
C. 双曲线一支或一条直线 D. 双曲线一支或一条射线
解析：当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨迹为双曲线的 一支（靠近点B）.当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨 迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
D
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1 ，
F2
焦距 ｜F1F2｜＝2c
a，b，c
的关系 c2＝
（0，－c）
（0，c）
a2＋b2
思考：
1. 双曲线中a，b，c的数量关系如何？谁最大？与椭圆有何不同？
双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大小关 系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0，a＞ c，c与b的大小关系不确定.
2. 如何通过双曲线的标准方程判断焦点位置？
在双曲线中，a不一定大于b，“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正， 则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
解析：由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，即｜3－｜ PF2｜｜＝6，解得｜PF2｜＝9（负值舍去）.故选B.
B
【例1】（课本P121练习1改编）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
双曲线的标准方程
课堂互动探究与提升
（1）焦点为（0，－6），（0，6），且经过点（2，－5）；
（2）焦点在x轴上，a＝4，b＝3；
【例1】（课本P121练习1改编）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
归纳总结：焦点的位置不明确时，应分类讨论，或设为mx2＋ny2＝1（mn＜ 0）的形式.
双曲线定义的应用
归纳总结：注意范围.
（1）一动圆与圆C1：x2＋y2＋10y＋24＝0和C2：x2＋y2－10y－24＝0都外 切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
（x≥2）
A
当堂检测
ACD
解析：因为A（－1，0），B（1，0），
所以｜AB｜＝2，
9
9
1. 重点与难点：双曲线的定义、标准方程.
2. 定理与公式或方法等：双曲线方程的求法：（1）待定系数法：即通过设 出标准方程，然后依条件确定待定的系数a，b的方法；（2）定义法：即 若动点的几何特征适合双曲线的定义，求出a，b代入标准方程的方法.
3. 误区警示：注意讨论焦点位置；轨迹方程注意取值范围.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 差的绝对值 ｜F1F2｜ 双曲线 焦点 焦距
思考：
1. 不能去掉.若去掉，就变成双曲线的一个分支了.
2. 当距离之差的绝对值等于｜F1F2｜时，动点的轨迹就是两条射线，端点分 别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于｜F1F2｜时，动点的轨迹不存在.
【即学即练】
D 解析：当a＝3时，2a＝6，此时｜AB｜＝10，所以点P的轨迹为双曲线 的一支（靠近点B）.当a＝5时，2a＝10，此时｜AB｜＝10，所以点P的 轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
知识点二
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方 程
焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝2c
a，b， c的关系 c2＝a2＋b2
思考：
1. 双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大 小关系不确定；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0， a＞c，c与b的大小关系不确定.
2. 在双曲线中，a不一定大于b，“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为 正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
【即学即练】
B 解析：由双曲线的定义，得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，即｜3 －｜PF2｜｜＝6，解得｜PF2｜＝9（负值舍去）.故选B.
课堂互动探究与提升
【变式训练】
所以点M的轨迹是除去（－5，0），（5，0）两点的双曲线.
乘积为正是双曲线，乘积为负是椭圆.
【变式训练】
解析：圆C1：x2＋（y＋5）2＝1的圆心为C1（0，－5），半径r1＝1，
当堂检测
3.9 解析：由题意得，焦距2c＝8，可得c＝4，在双曲线中c2＝a2＋b2，所 以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，
当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8不满足题意，故舍去；当｜ MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意.
所以｜MF2｜＝9.
所以｜PF1｜－｜PF2｜＝4，
所以｜PF1｜＝｜PF2｜＋4.
如图，连接QF2，
又Q（1，4），F2（4，0），
所以｜PF1｜＋｜PQ｜＝｜PF2｜＋4＋｜PQ｜≥｜QF2｜＋4＝9，
当且仅当点P在线段QF2上时取“＝”，
故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为9.
故答案为9.
c2＝a2＋b2＝15＋1＝16，c＝4，焦点坐标为（±4，0），