人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课件(共52张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质课件(共52张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共52张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1. 了解抛物线的简单几何性质.
2. 了解抛物线的简单应用.
我们之前已经系统地学习了椭圆与双曲线的几何性质，现在你能否类比 猜想抛物线有哪些几何性质？
提示：可以考虑从范围、对称性、顶点及离心率等方面去研究.
知识点 抛物线的标准方程与简单几何性质
教材知识整理与归纳
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
x轴
y轴
O（0，0）
向右
向左
向上
向下
思考：
1. 如何通过抛物线的标准方程判断抛物线的开口方向？
开口方向与x轴（或y轴）的正方向相同，焦点在x轴（或y轴）正半轴上， 方程右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负方向相同，焦点在x轴（或 y轴）负半轴上，方程右端取负号.
2. 抛物线的开口大小与一次项系数有什么关系？
一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
B. （－4，0
D. （0，－4）
解析：抛物线方程化为x2＝－16y.其焦点坐标为（0，－4）.
D
【例1】（教材P136练习1）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于x轴对称，并且经过点M（5，－4）；
抛物线的几何性质
课堂互动探究与提升
（2）关于y轴对称，准线经过点E（5，－5）；
（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
归纳总结：待定系数法求抛物线标准方程的步骤
（1）定位置：根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向.
（2）设方程：根据确定的焦点位置设出相应的方程，若未能确定则要分情 况讨论.
（3）列方程：利用准线、焦点等条件列出关于p的方程，确定p的值.
（4）写出方程：根据求出的p值，代入设出的方程，确定抛物线方程.
A. －2 B. 2
C. －4 D. 4
D
A. p＝2
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
焦点弦问题
AC
C选项：如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，
归纳总结：抛物线焦点弦问题的解法
（1）由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛 物线的定义求解.
（2）焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合 根与系数的关系求解.
（3）求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式， 由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长.
（4）通径是所有弦中最短的弦.
（课本P138习题5）如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦 点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，则｜FM｜＝ .
4
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，过M作MB垂直于直线x＝
－1，垂足为B，作FA⊥MB于A，设直线x＝－1与x轴交于点K，如图，
则MB∥x轴，即∠FMB＝∠xFM＝60°，四边形ABKF是矩形，
由抛物线定义知｜MB｜＝｜FM｜，F（1，0），
而｜MA｜＋｜AB｜＝｜MB｜，｜AB｜＝｜KF｜＝2，
所以｜FM｜＝4.
【例3】（课本P139第9题）从抛物线y2＝2px（p＞0）上各点向x轴作垂线 段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
轨迹问题
归纳总结：相关点法（代入法）：即先找到动点的相关点，然后通过相关点 的轨迹方程，确定动点的轨迹方程.
y2＝4x
A. y2＝2x B. y2＝4x
C. y2＝8x D. y2＝6x
B
当堂检测
B. ｜OB｜＝｜OF｜
C. ｜AB｜＞4｜OF｜ D. ∠OAM＋∠OBM＜180°
ACD
由｜AF｜＝｜AM｜可得点A在FM的垂直平分线上，
又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜180°，D正确.
故选ACD.
3. 已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长 为4，则抛物线的焦点坐标为 .
（1，0）
4. 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直 角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， ①
（2）焦点弦公式
抛物线y2＝2px（p＞0），｜AB｜＝p＋（x1＋x2）；抛物线y2＝－2px （p＞0），｜AB｜＝p－（x1＋x2）；抛物线x2＝2py（p＞0），｜ AB｜＝p＋（y1＋y2）；抛物线x2＝－2py（p＞0），｜AB｜＝p－（y1 ＋y2）.
（3）抛物线几何性质的研究方法
①标准方程法：由标准方程的形式明确抛物线的几何特征.
②数形结合法：结合抛物线的定义，在坐标系中将线段长用坐标表示，进而 解决与几何特征相关问题的方法.
3. 误区警示：使用焦点弦二级结论前要先判断焦点位置.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R， y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
思考：
1. 开口方向与x轴（或y轴）的正方向相同，焦点在x轴（或y轴）正半轴 上，方程右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负方向相同，焦点在x轴 （或y轴）负半轴上，方程右端取负号.
2. 一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
【即学即练】
D 解析：抛物线方程化为x2＝－16y.其焦点坐标为（0，－4）.
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）由题可设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0）.
∵抛物线过点M （5，－4），
（2）∵抛物线关于y轴对称，且准线经过点E（5，－5），
∴抛物线的焦点在y轴正半轴上.
设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
由题知，抛物线的准线方程为y＝－5，
（3）∵抛物线的准线在y轴右侧，
∴可设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0）.
∴抛物线的标准方程为y2＝－16x.
（4）∵抛物线的焦点F在y轴负半轴，
∴可设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0）.
∵抛物线经过横坐标为16的点P，
∴p＝16，∴抛物线的标准方程为x2＝－32y.
【变式训练】
所以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），
C选项：如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1， d2，d，
即A到直线l的距离等于MN的一半，
所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.
所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误.
故选AC.
【变式训练】
则MB∥x轴，即∠FMB＝∠xFM＝60°，四边形ABKF是矩形，
由抛物线定义知｜MB｜＝｜FM｜，F（1，0），
而｜MA｜＋｜AB｜＝｜MB｜，｜AB｜＝｜KF｜＝2，
所以｜FM｜＝4.
4 解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，过M作MB
垂直于直线x＝－1，垂足为B，作FA⊥MB于A，设直线x
＝－1与x轴交于点K，如图，
过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点为P（x，y），
当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点 P与M重合，坐标也满足上述方程，
【例3】解：设抛物线上的点M（x0，y0），
【变式训练】
y2＝4x 解析：设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），
故点N的轨迹方程是y2＝4x.
当堂检测
由｜AF｜＝｜AM｜可得点A在FM的垂直平分线上，
又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜ 180°，D正确.
故选ACD.
4. 证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的 顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方 程为y2＝2px（p＞0）， ①
②
③
与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
所以直线DB平行于抛物线的对称轴.
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质
1. 了解抛物线的简单几何性质.
2. 了解抛物线的简单应用.
我们之前已经系统地学习了椭圆与双曲线的几何性质，现在你能否类比 猜想抛物线有哪些几何性质？
提示：可以考虑从范围、对称性、顶点及离心率等方面去研究.
知识点 抛物线的标准方程与简单几何性质
教材知识整理与归纳
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
x轴
y轴
O（0，0）
向右
向左
向上
向下
思考：
1. 如何通过抛物线的标准方程判断抛物线的开口方向？
开口方向与x轴（或y轴）的正方向相同，焦点在x轴（或y轴）正半轴上， 方程右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负方向相同，焦点在x轴（或 y轴）负半轴上，方程右端取负号.
2. 抛物线的开口大小与一次项系数有什么关系？
一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
B. （－4，0
D. （0，－4）
解析：抛物线方程化为x2＝－16y.其焦点坐标为（0，－4）.
D
【例1】（教材P136练习1）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于x轴对称，并且经过点M（5，－4）；
抛物线的几何性质
课堂互动探究与提升
（2）关于y轴对称，准线经过点E（5，－5）；
（3）准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
归纳总结：待定系数法求抛物线标准方程的步骤
（1）定位置：根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向.
（2）设方程：根据确定的焦点位置设出相应的方程，若未能确定则要分情 况讨论.
（3）列方程：利用准线、焦点等条件列出关于p的方程，确定p的值.
（4）写出方程：根据求出的p值，代入设出的方程，确定抛物线方程.
A. －2 B. 2
C. －4 D. 4
D
A. p＝2
C. 以MN为直径的圆与l相切
D. △OMN为等腰三角形
焦点弦问题
AC
C选项：如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，
归纳总结：抛物线焦点弦问题的解法
（1）由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛 物线的定义求解.
（2）焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合 根与系数的关系求解.
（3）求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式， 由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长.
（4）通径是所有弦中最短的弦.
（课本P138习题5）如图，M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦 点，以Fx为始边、FM为终边的角∠xFM＝60°，则｜FM｜＝ .
4
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，过M作MB垂直于直线x＝
－1，垂足为B，作FA⊥MB于A，设直线x＝－1与x轴交于点K，如图，
则MB∥x轴，即∠FMB＝∠xFM＝60°，四边形ABKF是矩形，
由抛物线定义知｜MB｜＝｜FM｜，F（1，0），
而｜MA｜＋｜AB｜＝｜MB｜，｜AB｜＝｜KF｜＝2，
所以｜FM｜＝4.
【例3】（课本P139第9题）从抛物线y2＝2px（p＞0）上各点向x轴作垂线 段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
轨迹问题
归纳总结：相关点法（代入法）：即先找到动点的相关点，然后通过相关点 的轨迹方程，确定动点的轨迹方程.
y2＝4x
A. y2＝2x B. y2＝4x
C. y2＝8x D. y2＝6x
B
当堂检测
B. ｜OB｜＝｜OF｜
C. ｜AB｜＞4｜OF｜ D. ∠OAM＋∠OBM＜180°
ACD
由｜AF｜＝｜AM｜可得点A在FM的垂直平分线上，
又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜180°，D正确.
故选ACD.
3. 已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴.若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长 为4，则抛物线的焦点坐标为 .
（1，0）
4. 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点 的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.
证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直 角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）， ①
（2）焦点弦公式
抛物线y2＝2px（p＞0），｜AB｜＝p＋（x1＋x2）；抛物线y2＝－2px （p＞0），｜AB｜＝p－（x1＋x2）；抛物线x2＝2py（p＞0），｜ AB｜＝p＋（y1＋y2）；抛物线x2＝－2py（p＞0），｜AB｜＝p－（y1 ＋y2）.
（3）抛物线几何性质的研究方法
①标准方程法：由标准方程的形式明确抛物线的几何特征.
②数形结合法：结合抛物线的定义，在坐标系中将线段长用坐标表示，进而 解决与几何特征相关问题的方法.
3. 误区警示：使用焦点弦二级结论前要先判断焦点位置.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R， y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
思考：
1. 开口方向与x轴（或y轴）的正方向相同，焦点在x轴（或y轴）正半轴 上，方程右端取正号；开口方向与x轴（或y轴）的负方向相同，焦点在x轴 （或y轴）负半轴上，方程右端取负号.
2. 一次项系数的绝对值越大，抛物线的开口越大.
【即学即练】
D 解析：抛物线方程化为x2＝－16y.其焦点坐标为（0，－4）.
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）由题可设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0）.
∵抛物线过点M （5，－4），
（2）∵抛物线关于y轴对称，且准线经过点E（5，－5），
∴抛物线的焦点在y轴正半轴上.
设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0），
由题知，抛物线的准线方程为y＝－5，
（3）∵抛物线的准线在y轴右侧，
∴可设抛物线的方程为y2＝－2px（p＞0）.
∴抛物线的标准方程为y2＝－16x.
（4）∵抛物线的焦点F在y轴负半轴，
∴可设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0）.
∵抛物线经过横坐标为16的点P，
∴p＝16，∴抛物线的标准方程为x2＝－32y.
【变式训练】
所以抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），
C选项：如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1， d2，d，
即A到直线l的距离等于MN的一半，
所以以MN为直径的圆与直线l相切，C选项正确.
所以△OMN不是等腰三角形，D选项错误.
故选AC.
【变式训练】
则MB∥x轴，即∠FMB＝∠xFM＝60°，四边形ABKF是矩形，
由抛物线定义知｜MB｜＝｜FM｜，F（1，0），
而｜MA｜＋｜AB｜＝｜MB｜，｜AB｜＝｜KF｜＝2，
所以｜FM｜＝4.
4 解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，过M作MB
垂直于直线x＝－1，垂足为B，作FA⊥MB于A，设直线x
＝－1与x轴交于点K，如图，
过M作MQ⊥x轴于Q，设线段MQ中点为P（x，y），
当M为抛物线顶点时，可视为过M作x轴垂线的垂足Q与点M重合，其中点 P与M重合，坐标也满足上述方程，
【例3】解：设抛物线上的点M（x0，y0），
【变式训练】
y2＝4x 解析：设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），
故点N的轨迹方程是y2＝4x.
当堂检测
由｜AF｜＝｜AM｜可得点A在FM的垂直平分线上，
又∠AOB＋∠AMB＋∠OAM＋∠OBM＝360°，则∠OAM＋∠OBM＜ 180°，D正确.
故选ACD.
4. 证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的 顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方 程为y2＝2px（p＞0）， ①
②
③
与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴.
所以直线DB平行于抛物线的对称轴.