人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线的标准方程及性质的应用课件(共42张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质第2课时抛物线的标准方程及性质的应用课件(共42张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共42张PPT)
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用
解析几何中的运算是“数形结合”的运算，而不仅仅是代数运算.本节 课我们将继续运用这样的思想来解决拋物线中的问题.
【例1】已知抛物线的顶点在原点，过点A（－4，4）且焦点在x轴上.
（1）求抛物线方程；
解：（1）设抛物线方程为y2＝－2px，因为抛物线过点A（－4，4），所以 42＝－2p·（－4），得p＝2，则y2＝－4x.
弦长、距离问题
课堂互动探究与提升
（2）直线l过定点B（－1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的 方程.
【例1】已知抛物线的顶点在原点，过点A（－4，4）且焦点在x轴上.
归纳总结：距离问题的两类解法
（2）几何转化法：抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平 移直线的方法转化为平行线间的距离问题.
（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距 离的最小值.
【例2】过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求 AB所在直线的方程及弦AB的长度.
中点弦与点差法
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于 A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为 .
y2＝4x
【例3】在平面直角坐标系Oxy中，设点F（1，0），直线l：x＝－1，点P 在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
（1）求动点Q的轨迹方程；
（1）解：因为点F（1，0），直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中 点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线.因为｜PQ｜是点Q 到直线l的距离，而｜PQ｜＝｜QF｜，所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y2＝4x（x＞0）.
直线与抛物线的综合应用
（2）记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为 AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N. 求证：直线MN过定点.
归纳总结：直线与抛物线位置关系
设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛 物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
①若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛 物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点.
②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平 行或重合.
（2）如图，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，求证： OA⊥OB.
C. 1 D. 2
D
当堂检测
D. 3
A
A. 直线与抛物线有一个公共点
B. 直线与抛物线有两个公共点
C. 直线与抛物线有一个或两个公共点
D. 直线与抛物线可能没有公共点
解析：因为直线y＝kx－k＝k（x－1），
所以直线过点（1，0）.
又点（1，0）在抛物线y2＝2px的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
C
4. 已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交 于A，B两点，O为坐标原点.
（1）若l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）因为y2＝4x，
所以F（1，0）.
又因为直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1，
代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
（2）若｜FA｜＝2｜BF｜，求直线l的方程.
参考答案
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）设抛物线方程为y2＝－2px，因为抛物线过点A（－4， 4），所以42＝－2p·（－4），得p＝2，则y2＝－4x.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1与抛物线交于（－1，－ 2），（－1，2），弦长为4，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k（x＋1），
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
【变式训练】
【变式训练】
【例3】（1）解：因为点F（1，0），直线l：x＝－1，
所以点R是线段FP的中点，
由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线.
因为｜PQ｜是点Q到直线l的距离，而｜PQ｜＝｜QF｜，
所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为y2＝4x（x＞0）.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，
过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，
设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，
｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜（F为抛物线的焦点），
即｜AF｜＋｜BF｜≥6，｜AA1｜＋｜BB1｜≥6，
2｜MM1｜≥6，｜MM1｜≥3，
故M到x轴的距离d≥2.
【一题多解】设与4x＋3y－8＝0平行的直线l的方程为4x＋3y＋m＝0，
3. C 解析：因为直线y＝kx－k＝k（x－1），
所以直线过点（1，0）.又点（1，0）在抛物线y2＝2px的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
4. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）因为y2＝4x，
所以F（1，0）.
又因为直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1，
代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
易得AB的中点，即圆心的坐标为（3，2），
又｜AB｜＝x1＋x2＋p＝8，
所以圆的半径r＝4，所以所求的圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16.
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k（x－1），
代入y2＝4x，
得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
因为x1－1＝2（1－x2），
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用
解析几何中的运算是“数形结合”的运算，而不仅仅是代数运算.本节 课我们将继续运用这样的思想来解决拋物线中的问题.
【例1】已知抛物线的顶点在原点，过点A（－4，4）且焦点在x轴上.
（1）求抛物线方程；
解：（1）设抛物线方程为y2＝－2px，因为抛物线过点A（－4，4），所以 42＝－2p·（－4），得p＝2，则y2＝－4x.
弦长、距离问题
课堂互动探究与提升
（2）直线l过定点B（－1，0），与该抛物线相交所得弦长为8，求直线l的 方程.
【例1】已知抛物线的顶点在原点，过点A（－4，4）且焦点在x轴上.
归纳总结：距离问题的两类解法
（2）几何转化法：抛物线上一点到某定直线的距离的最值问题也可通过平 移直线的方法转化为平行线间的距离问题.
（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距 离的最小值.
【例2】过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求 AB所在直线的方程及弦AB的长度.
中点弦与点差法
已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于 A，B两点，若P（2，2）为AB的中点，则抛物线C的方程为 .
y2＝4x
【例3】在平面直角坐标系Oxy中，设点F（1，0），直线l：x＝－1，点P 在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.
（1）求动点Q的轨迹方程；
（1）解：因为点F（1，0），直线l：x＝－1，所以点R是线段FP的中 点，由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线.因为｜PQ｜是点Q 到直线l的距离，而｜PQ｜＝｜QF｜，所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y2＝4x（x＞0）.
直线与抛物线的综合应用
（2）记Q的轨迹为曲线E，过点F作两条互相垂直的直线交曲线E的弦为 AB，CD，设AB，CD的中点分别为点M，N. 求证：直线MN过定点.
归纳总结：直线与抛物线位置关系
设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛 物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.
①若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；当Δ＝0时，直线与抛 物线只有一个公共点；当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点.
②若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平 行或重合.
（2）如图，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，求证： OA⊥OB.
C. 1 D. 2
D
当堂检测
D. 3
A
A. 直线与抛物线有一个公共点
B. 直线与抛物线有两个公共点
C. 直线与抛物线有一个或两个公共点
D. 直线与抛物线可能没有公共点
解析：因为直线y＝kx－k＝k（x－1），
所以直线过点（1，0）.
又点（1，0）在抛物线y2＝2px的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
C
4. 已知抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过点F的直线l与C相交 于A，B两点，O为坐标原点.
（1）若l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
解：设A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）因为y2＝4x，
所以F（1，0）.
又因为直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1，
代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
（2）若｜FA｜＝2｜BF｜，求直线l的方程.
参考答案
课堂互动探究与提升
【例1】解：（1）设抛物线方程为y2＝－2px，因为抛物线过点A（－4， 4），所以42＝－2p·（－4），得p＝2，则y2＝－4x.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1与抛物线交于（－1，－ 2），（－1，2），弦长为4，不合题意.
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k（x＋1），
所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
【变式训练】
【变式训练】
【例3】（1）解：因为点F（1，0），直线l：x＝－1，
所以点R是线段FP的中点，
由此及RQ⊥FP知，RQ是线段FP的垂直平分线.
因为｜PQ｜是点Q到直线l的距离，而｜PQ｜＝｜QF｜，
所以动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，
其方程为y2＝4x（x＞0）.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，
过A作AA1⊥l于A1，过B作BB1⊥l于B1，
设弦AB的中点为M，过M作MM1⊥l于M1，
｜AB｜≤｜AF｜＋｜BF｜（F为抛物线的焦点），
即｜AF｜＋｜BF｜≥6，｜AA1｜＋｜BB1｜≥6，
2｜MM1｜≥6，｜MM1｜≥3，
故M到x轴的距离d≥2.
【一题多解】设与4x＋3y－8＝0平行的直线l的方程为4x＋3y＋m＝0，
3. C 解析：因为直线y＝kx－k＝k（x－1），
所以直线过点（1，0）.又点（1，0）在抛物线y2＝2px的内部，
所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.
4. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）.
（1）因为y2＝4x，
所以F（1，0）.
又因为直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为y＝x－1，
代入y2＝4x，得x2－6x＋1＝0，
易得AB的中点，即圆心的坐标为（3，2），
又｜AB｜＝x1＋x2＋p＝8，
所以圆的半径r＝4，所以所求的圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝16.
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k（x－1），
代入y2＝4x，
得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
因为x1－1＝2（1－x2），