人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系课件(共53张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系课件(共53张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共53张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1. 了解空间直角坐标系.（数学抽象）
2. 掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念.（直观想象）
3. 能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标.（数学运算）
（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
（2）在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点一 空间直角坐标系
教材知识整理与归纳
（1）建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原 点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条 数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系.
i，j，k
（2）有关概念
坐标轴 轴、 轴、 轴
原点 点
坐标向量 ， ，
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成 个部分
x
y
z
O
i
j
k
八
（3）建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝ 90°.
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正 方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
思考：构成建立空间直角坐标系的基向量满足什么条件？
如何建立适当的空间直角坐标系？
解析：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如 果坐标系引入得恰当、合理，那么就容易确定点的坐标.常见的建系方法有 以下三种：
（1）借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标轴.如长方体等规则几 何体，一般选择三条棱所在的直线为三个坐标轴，如图1.
（2）借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面和底面垂直的条件， 一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图2.
（3）借助棱锥的高线建系.对于正棱锥，利用顶点在底面的射影为底面的中 心，可确定z轴，然后以底面内过底面的中心且互相垂直的直线分别为x 轴、y轴，如图3.
xi＋yj＋zk
（x，
y，z）
横
纵
竖
点的
位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy
平面内 Oyz
平面内 Ozx
平面内
坐标
的形式 （x， 0，0） （0，y， 0） （0，0， z） （x， y，0） （0，y， z） （x，0， z）
A. 点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z）
B. 点P关于y轴对称的点P2（x，－y，z）
C. 点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z）
D. 点P关于Oxy平面对称的点P4（x，－y，z）
AC
解析：点P（x，y，z）关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），关于y轴 对称的点P2（－x，y，－z），关于原点对称的点P3（－x，－y，－ z），关于Oxy平面对称的点P4（x，y，－z），即A，C正确；B，D错误.
求空间点的坐标
课堂互动探究与提升
解：点D'在z轴上，且OD'＝2，
所以点D'的坐标是（0，0，2）.
同理，点C的坐标是（0，4，0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是（3，0，2）.
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B'的坐标是（3，4，2）.
归纳总结：
1. 若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时 应遵循以下原则：
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
（2）充分利用几何图形的对称性.
2. 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个 坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离 加上正负号）进而确定第三个坐标.
在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系.
（1）写出正四棱锥P－ABCD各顶点的坐标；
（2）写出棱PB的中点M的坐标.
A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）
B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标是（0，b，c）
C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作（0，0，c）
D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标是（a，0，c）
求对称点的坐标
BCD
解析：A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（a，0，0）， 故错误；B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标一定是（0， b，c），故正确；C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作 （0，0，c），故正确；D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标 是（a，0，c），故正确.
归纳总结：点P（x，y，z）关于坐标轴、坐标平面对称的点P'的坐标与点 P的坐标的关系：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点（x，y， z）关于y轴的对称点为（－x，y，－z），关于Ozx平面的对称点为（x， －y，z）.
A. （2，－3，－1） B. （－2，3，－1）
C. （－2，－3，－1） D. （－2，－3，12）
解析：点P（2，－3，1）关于平面Oxy对称的点的坐标为（2，－3，－1）.
A
求空间向量的坐标
以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，
如图所示.
A. （12，14，10） B. （10，12，14）
C. （14，12，10） D. （4，3，2）
A
当堂检测
解析：因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），所以p＝8a＋ 6b＋4c，又a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，所以p＝8（i＋j）＋6（j＋ k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k.所以向量p在基底{i，j，k}下的坐标是 （12，14，10）.
A. （1，2，－11） B. （－1，－2，11）
C. （2，1，－11） D. （－1，2，11）
解析：（1，2，11）关于Oxy平面的对称点的特征为x，y坐标不变，z取相 反数，故所求坐标为（1，2，－11）.
A
A. （2，－2，6） B. （0，1，1）
C. （－2，2，－6） D. （0，－1，－1）
解析：依题意，点A（－2，3，－5），B（2，－1，7），则线段AB的中 点坐标是（0，1，1）.
B
A. 每一个点和向量都可用唯一的有序实数组（x，y，z）表示
B. 点P（3，0，－1）位于Oxy平面上
C. 过点P（1，3，－4）作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q（1，0，－4）
D. 点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－4）
ACD
解析：在空间直角坐标系中，每一个点和向量都可用唯一的有序实数组 （x，y，z）表示，从而A正确；点P（3，0，－1）位于Ozx平面上，从而 B错误；点P（1，3，－4）在Ozx平面内的射影坐标为（1，0，－4），从而 C正确；点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－ 4），从而D正确.
A. 点B1的坐标为（4，5，3）
B. 点C1关于点B对称的点为（5，8，－3）
C. 点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D. 点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）.
ACD
由立体几何的特征知，点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）， 故D正确.
故选ACD.
1. 重点与难点：（1）空间直角坐标系的概念.
（2）空间点的坐标.
（3）空间向量的坐标.
2. 定理与公式或方法等：数形结合、类比联想.
3. 误区警示：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （1）i，j，k （2）x y z O i j k 八
思考：基向量满足：｜i｜＝｜j｜＝｜k｜＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
【即学即练】
解析：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如 果坐标系引入得恰当、合理，那么就容易确定点的坐标.常见的建系方法有 以下三种：
（1）借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标 轴.如长方体等规则几何体，一般选择三条棱所在的直线 为三个坐标轴，如图1.
（2）借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面和底面垂直的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图2.
（3）借助棱锥的高线建系.对于正棱锥，利用顶点 在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后以 底面内过底面的中心且互相垂直的直线分别为x 轴、y轴，如图3.
知识点二 （1）xi＋yj＋zk （x，y，z） 横 纵 竖
思考：
点的
位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy
平面内 Oyz
平面内 Ozx
平面内
坐标
的
形式 （x，0， 0） （0，y， 0） （0，0， z） （x， y，0） （0，y， z） （x，0， z）
【即学即练】
AC 解析：点P（x，y，z）关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），关于 y轴对称的点P2（－x，y，－z），关于原点对称的点P3（－x，－y，－ z），关于Oxy平面对称的点P4（x，y，－z），即A，C正确；B，D错 误.
课堂互动探究与提升
【例1】解：点D'在z轴上，且OD'＝2，
所以点D'的坐标是（0，0，2）.
同理，点C的坐标是（0，4，0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是（3，0，2）.
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B'的坐标是（3，4，2）.
【变式训练】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接 PO.
∵四棱锥P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系.
（2）∵M为棱PB的中点，
【例2】BCD 解析：A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是 （a，0，0），故错误；B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标 一定是（0，b，c），故正确；C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐 标可记作（0，0，c），故正确；D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的 点的坐标是（a，0，c），故正确.
【变式训练】A 解析：点P（2，－3，1）关于平面Oxy对称的点的坐标为 （2，－3，－1）.
以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，
如图所示.
【变式训练】
当堂检测
1. A 解析：因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），所以p ＝8a＋6b＋4c，又a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，所以p＝8（i＋j）＋ 6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k.所以向量p在基底{i，j，k}下 的坐标是（12，14，10）.
2. A 解析：（1，2，11）关于Oxy平面的对称点的特征为x，y坐标不变， z取相反数，故所求坐标为（1，2，－11）.
3. B 解析：依题意，点A（－2，3，－5），B（2，－1，7），则线段AB 的中点坐标是（0，1，1）.
4. ACD 解析：在空间直角坐标系中，每一个点和向量都可用唯一的有序实 数组（x，y，z）表示，从而A正确；点P（3，0，－1）位于Ozx平面上， 从而B错误；点P（1，3，－4）在Ozx平面内的射影坐标为（1，0，－4）， 从而C正确；点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－ 4），从而D正确.
5. ACD 解析：因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4， AA1＝3，所以点B1的坐标为（4，5，3），故A正确.
C1（0，5，3），B（4，5，0），
设点C1关于点B对称的点为（x0，y0，z0），
所以点C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误.
由立体几何的特征知，点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故 C正确.
由立体几何的特征知，点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0），故D 正确.
故选ACD.
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1. 了解空间直角坐标系.（数学抽象）
2. 掌握空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标的概念.（直观想象）
3. 能在空间直角坐标系中表示空间中点的坐标和向量的坐标.（数学运算）
（1）如图所示，怎样才能刻画地球的卫星在空间中的位置？
（2）在直线上建立数轴后，就可以用一个数刻画点在直线上的位置；平面向量中，我们借助平面向量基本定理以及两个互相垂直的单位向量，引进了平面向量的坐标.空间向量是否可以引进类似的坐标？
知识点一 空间直角坐标系
教材知识整理与归纳
（1）建系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原 点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条 数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系.
i，j，k
（2）有关概念
坐标轴 轴、 轴、 轴
原点 点
坐标向量 ， ，
坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成 个部分
x
y
z
O
i
j
k
八
（3）建系的常用规则
①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°（或45°），∠yOz＝ 90°.
②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正 方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
思考：构成建立空间直角坐标系的基向量满足什么条件？
如何建立适当的空间直角坐标系？
解析：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如 果坐标系引入得恰当、合理，那么就容易确定点的坐标.常见的建系方法有 以下三种：
（1）借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标轴.如长方体等规则几 何体，一般选择三条棱所在的直线为三个坐标轴，如图1.
（2）借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面和底面垂直的条件， 一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图2.
（3）借助棱锥的高线建系.对于正棱锥，利用顶点在底面的射影为底面的中 心，可确定z轴，然后以底面内过底面的中心且互相垂直的直线分别为x 轴、y轴，如图3.
xi＋yj＋zk
（x，
y，z）
横
纵
竖
点的
位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy
平面内 Oyz
平面内 Ozx
平面内
坐标
的形式 （x， 0，0） （0，y， 0） （0，0， z） （x， y，0） （0，y， z） （x，0， z）
A. 点P关于x轴对称的点P1（x，－y，－z）
B. 点P关于y轴对称的点P2（x，－y，z）
C. 点P关于原点对称的点P3（－x，－y，－z）
D. 点P关于Oxy平面对称的点P4（x，－y，z）
AC
解析：点P（x，y，z）关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），关于y轴 对称的点P2（－x，y，－z），关于原点对称的点P3（－x，－y，－ z），关于Oxy平面对称的点P4（x，y，－z），即A，C正确；B，D错误.
求空间点的坐标
课堂互动探究与提升
解：点D'在z轴上，且OD'＝2，
所以点D'的坐标是（0，0，2）.
同理，点C的坐标是（0，4，0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是（3，0，2）.
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B'的坐标是（3，4，2）.
归纳总结：
1. 若已给出坐标系，不用再建系，若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时 应遵循以下原则：
（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
（2）充分利用几何图形的对称性.
2. 求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个 坐标，再找出它在另一坐标轴上的射影（或者通过它到这个坐标平面的距离 加上正负号）进而确定第三个坐标.
在棱长均为2a的正四棱锥P－ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系.
（1）写出正四棱锥P－ABCD各顶点的坐标；
（2）写出棱PB的中点M的坐标.
A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（0，b，c）
B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标是（0，b，c）
C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作（0，0，c）
D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标是（a，0，c）
求对称点的坐标
BCD
解析：A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是（a，0，0）， 故错误；B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标一定是（0， b，c），故正确；C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作 （0，0，c），故正确；D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的点的坐标 是（a，0，c），故正确.
归纳总结：点P（x，y，z）关于坐标轴、坐标平面对称的点P'的坐标与点 P的坐标的关系：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点（x，y， z）关于y轴的对称点为（－x，y，－z），关于Ozx平面的对称点为（x， －y，z）.
A. （2，－3，－1） B. （－2，3，－1）
C. （－2，－3，－1） D. （－2，－3，12）
解析：点P（2，－3，1）关于平面Oxy对称的点的坐标为（2，－3，－1）.
A
求空间向量的坐标
以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，
如图所示.
A. （12，14，10） B. （10，12，14）
C. （14，12，10） D. （4，3，2）
A
当堂检测
解析：因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），所以p＝8a＋ 6b＋4c，又a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，所以p＝8（i＋j）＋6（j＋ k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k.所以向量p在基底{i，j，k}下的坐标是 （12，14，10）.
A. （1，2，－11） B. （－1，－2，11）
C. （2，1，－11） D. （－1，2，11）
解析：（1，2，11）关于Oxy平面的对称点的特征为x，y坐标不变，z取相 反数，故所求坐标为（1，2，－11）.
A
A. （2，－2，6） B. （0，1，1）
C. （－2，2，－6） D. （0，－1，－1）
解析：依题意，点A（－2，3，－5），B（2，－1，7），则线段AB的中 点坐标是（0，1，1）.
B
A. 每一个点和向量都可用唯一的有序实数组（x，y，z）表示
B. 点P（3，0，－1）位于Oxy平面上
C. 过点P（1，3，－4）作Ozx平面的垂线PQ，则垂足为Q（1，0，－4）
D. 点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－4）
ACD
解析：在空间直角坐标系中，每一个点和向量都可用唯一的有序实数组 （x，y，z）表示，从而A正确；点P（3，0，－1）位于Ozx平面上，从而 B错误；点P（1，3，－4）在Ozx平面内的射影坐标为（1，0，－4），从而 C正确；点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－ 4），从而D正确.
A. 点B1的坐标为（4，5，3）
B. 点C1关于点B对称的点为（5，8，－3）
C. 点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）
D. 点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）.
ACD
由立体几何的特征知，点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）， 故D正确.
故选ACD.
1. 重点与难点：（1）空间直角坐标系的概念.
（2）空间点的坐标.
（3）空间向量的坐标.
2. 定理与公式或方法等：数形结合、类比联想.
3. 误区警示：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （1）i，j，k （2）x y z O i j k 八
思考：基向量满足：｜i｜＝｜j｜＝｜k｜＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.
【即学即练】
解析：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如 果坐标系引入得恰当、合理，那么就容易确定点的坐标.常见的建系方法有 以下三种：
（1）借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标 轴.如长方体等规则几何体，一般选择三条棱所在的直线 为三个坐标轴，如图1.
（2）借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面和底面垂直的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图2.
（3）借助棱锥的高线建系.对于正棱锥，利用顶点 在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后以 底面内过底面的中心且互相垂直的直线分别为x 轴、y轴，如图3.
知识点二 （1）xi＋yj＋zk （x，y，z） 横 纵 竖
思考：
点的
位置 x轴上 y轴上 z轴上 Oxy
平面内 Oyz
平面内 Ozx
平面内
坐标
的
形式 （x，0， 0） （0，y， 0） （0，0， z） （x， y，0） （0，y， z） （x，0， z）
【即学即练】
AC 解析：点P（x，y，z）关于x轴对称的点P1（x，－y，－z），关于 y轴对称的点P2（－x，y，－z），关于原点对称的点P3（－x，－y，－ z），关于Oxy平面对称的点P4（x，y，－z），即A，C正确；B，D错 误.
课堂互动探究与提升
【例1】解：点D'在z轴上，且OD'＝2，
所以点D'的坐标是（0，0，2）.
同理，点C的坐标是（0，4，0）.
点A'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，
所以点A'的坐标是（3，0，2）.
点B'在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D'，
它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B'的坐标是（3，4，2）.
【变式训练】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接 PO.
∵四棱锥P－ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a，
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系.
（2）∵M为棱PB的中点，
【例2】BCD 解析：A. 在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是 （a，0，0），故错误；B. 在空间直角坐标系中，在Oyz平面内的点的坐标 一定是（0，b，c），故正确；C. 在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐 标可记作（0，0，c），故正确；D. 在空间直角坐标系中，在Ozx平面内的 点的坐标是（a，0，c），故正确.
【变式训练】A 解析：点P（2，－3，1）关于平面Oxy对称的点的坐标为 （2，－3，－1）.
以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz，
如图所示.
【变式训练】
当堂检测
1. A 解析：因为向量p在基底{a，b，c}下的坐标为（8，6，4），所以p ＝8a＋6b＋4c，又a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，所以p＝8（i＋j）＋ 6（j＋k）＋4（k＋i）＝12i＋14j＋10k.所以向量p在基底{i，j，k}下 的坐标是（12，14，10）.
2. A 解析：（1，2，11）关于Oxy平面的对称点的特征为x，y坐标不变， z取相反数，故所求坐标为（1，2，－11）.
3. B 解析：依题意，点A（－2，3，－5），B（2，－1，7），则线段AB 的中点坐标是（0，1，1）.
4. ACD 解析：在空间直角坐标系中，每一个点和向量都可用唯一的有序实 数组（x，y，z）表示，从而A正确；点P（3，0，－1）位于Ozx平面上， 从而B错误；点P（1，3，－4）在Ozx平面内的射影坐标为（1，0，－4）， 从而C正确；点A（2，－1，4）关于原点的对称点的坐标为A'（－2，1，－ 4），从而D正确.
5. ACD 解析：因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4， AA1＝3，所以点B1的坐标为（4，5，3），故A正确.
C1（0，5，3），B（4，5，0），
设点C1关于点B对称的点为（x0，y0，z0），
所以点C1关于点B对称的点为（8，5，－3），故B错误.
由立体几何的特征知，点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），故 C正确.
由立体几何的特征知，点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0），故D 正确.
故选ACD.