人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算课件(共51张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第1课时空间向量及其线性运算课件(共51张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 5.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.（数 学抽象）
2. 经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.（逻辑推理）
3. 掌握空间向量的线性运算.（数学运算）
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间 中.如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，请说明理由.
知识点一 空间向量的概念与表示
教材知识整理与归纳
大小
方向
大小
模
2. 几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 模为 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a 而 的向量，叫做a的相 反向量，记为－a
相等向量 且 的向量叫做相等向量，在空 间， 且 的有向线段表示同一向量或相等 向量
零向量
1
长度相等
方向相反
方向相同
模相等
同向
等长
互相平行
或重合
共线向量
任意向量
联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的 概念等在平面和空间中都适用.
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无 数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
思考：平面向量与空间向量有什么区别与联系？
区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间 的向量.
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
A
知识点二 空间向量的加减运算
加法
运算 三角形
法则 语言叙述 相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形
法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对 角线为和
图形叙述
首尾顺次
减法
运算 三角形
法则 语言叙述 共起点， ，方向 向量
图形叙述
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
思考：空间向量加法、减法运算有什么技巧？
连终点
指向被减
（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量 的自由平移获得运算结果.
如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中.
如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中.
知识点三 空间向量的数乘运算
向
量
相同
｜λ｜
相反
任意的
（λμ）a
λa＋μa
λa＋
λb
思考：空间向量数乘运算要注意哪些地方？
（1）实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无 意义.
（2）任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的 模扩大（当｜λ｜＞1时），也可以缩小（当｜λ｜＜1时）；可以不改变向量 的方向（当λ＞0时），也可以改变向量的方向（当λ＜0时）.
（3）注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若 a＝0，则λa＝0.
D
A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 任一向量与它的相反向量不相等
空间向量的有关概念及其简单应用
BC
课堂互动探究与提升
归纳总结：（1）向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
（2）单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
（3）两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量 （非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
（4）由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意 义的，但向量的模是可以比较大小的.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方 体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方 体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
空间向量的线性运算
归纳总结：向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行 向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将 相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量.
图1
图2
图3
当堂检测
1. 给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
③｜a｜＝｜b｜是向量a＝b的必要不充分条件；
④若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
B
C
C
B
解析：根据题意画出如图所示的空间四边形OABC.
ABCD
1. 重点与难点：（1）空间向量的有关概念；
（2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）；
（3）空间向量的线性运算的运算律.
2. 定理与公式或方法等：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合 思想.
3. 误区警示：抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个 “量”，而不是一个数.
参考答案
教材知识整理与归纳
思考：区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空 间的向量.
联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的 概念等在平面和空间中都适用.
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无 数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
【即学即练】
知识点二 首尾顺次 连终点 指向被减
思考：（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量 的自由平移获得运算结果.
【即学即练】
知识点三 向量 相同 相反 任意的 ｜λ｜ （λμ）a
λa＋μa λa＋λb
思考：（1）实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 λ±a无意义.
（2）任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的 模扩大（当｜λ｜＞1时），也可以缩小（当｜λ｜＜1时）；可以不改变向量 的方向（当λ＞0时），也可以改变向量的方向（当λ＜0时）.
（3）注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若 a＝0，则λa＝0.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
【变式训练】
图1
图2
图3
当堂检测
4. B 解析：根据题意画出如图所示的空间四边形OABC.
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其线性运算
1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.（数 学抽象）
2. 经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.（逻辑推理）
3. 掌握空间向量的线性运算.（数学运算）
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间 中.如果能，尝试说出推广后的不同之处；如果不能，请说明理由.
知识点一 空间向量的概念与表示
教材知识整理与归纳
大小
方向
大小
模
2. 几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做 ，记为0
单位向量 模为 的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a 而 的向量，叫做a的相 反向量，记为－a
相等向量 且 的向量叫做相等向量，在空 间， 且 的有向线段表示同一向量或相等 向量
零向量
1
长度相等
方向相反
方向相同
模相等
同向
等长
互相平行
或重合
共线向量
任意向量
联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的 概念等在平面和空间中都适用.
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无 数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
思考：平面向量与空间向量有什么区别与联系？
区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间 的向量.
B. 将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C. 空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
A
知识点二 空间向量的加减运算
加法
运算 三角形
法则 语言叙述 相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形
法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对 角线为和
图形叙述
首尾顺次
减法
运算 三角形
法则 语言叙述 共起点， ，方向 向量
图形叙述
运算律 交换律 a＋b＝b＋a
结合律 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
思考：空间向量加法、减法运算有什么技巧？
连终点
指向被减
（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量 的自由平移获得运算结果.
如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中.
如图，在正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中.
知识点三 空间向量的数乘运算
向
量
相同
｜λ｜
相反
任意的
（λμ）a
λa＋μa
λa＋
λb
思考：空间向量数乘运算要注意哪些地方？
（1）实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无 意义.
（2）任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的 模扩大（当｜λ｜＞1时），也可以缩小（当｜λ｜＜1时）；可以不改变向量 的方向（当λ＞0时），也可以改变向量的方向（当λ＜0时）.
（3）注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若 a＝0，则λa＝0.
D
A. 若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b
C. 若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p
D. 任一向量与它的相反向量不相等
空间向量的有关概念及其简单应用
BC
课堂互动探究与提升
归纳总结：（1）向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；
（2）单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；
（3）两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量 （非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
（4）由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意 义的，但向量的模是可以比较大小的.
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方 体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
（1）单位向量共有多少个？
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以长方 体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
空间向量的线性运算
归纳总结：向量的线性运算，实质上是在运用数乘向量运算律的基础上进行 向量求和，即通过运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将 相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量.
图1
图2
图3
当堂检测
1. 给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
③｜a｜＝｜b｜是向量a＝b的必要不充分条件；
④若空间向量m，n，p满足m∥n，n∥p，则m∥p.
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
B
C
C
B
解析：根据题意画出如图所示的空间四边形OABC.
ABCD
1. 重点与难点：（1）空间向量的有关概念；
（2）空间向量的线性运算（加法、减法和数乘）；
（3）空间向量的线性运算的运算律.
2. 定理与公式或方法等：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合 思想.
3. 误区警示：抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个 “量”，而不是一个数.
参考答案
教材知识整理与归纳
思考：区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空 间的向量.
联系：向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量、相等向量的 概念等在平面和空间中都适用.
单位向量有无数个，它们的方向并不确定，它们不一定相等；零向量也有无 数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等.
【即学即练】
知识点二 首尾顺次 连终点 指向被减
思考：（1）巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
（2）巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量 的自由平移获得运算结果.
【即学即练】
知识点三 向量 相同 相反 任意的 ｜λ｜ （λμ）a
λa＋μa λa＋λb
思考：（1）实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如 λ±a无意义.
（2）任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量的 模扩大（当｜λ｜＞1时），也可以缩小（当｜λ｜＜1时）；可以不改变向量 的方向（当λ＞0时），也可以改变向量的方向（当λ＜0时）.
（3）注意实数与向量的乘积的特殊情况：当λ＝0时，λa＝0；当λ≠0时，若 a＝0，则λa＝0.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
【变式训练】
图1
图2
图3
当堂检测
4. B 解析：根据题意画出如图所示的空间四边形OABC.