人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件(共67张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算课件(共67张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共67张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
1. 掌握空间向量的夹角的概念.（数学抽象）
2. 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律.（逻辑推理、数学运算）
3. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.（数学抽象）
4. 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.（直 观想象、数学运算）
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间 中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由.
知识点一 空间向量的夹角
1. 夹角的定义
＜a，b＞
教材知识整理与归纳
0
π
垂直
a⊥b
思考：任意两个向量夹角都是[0，π]吗？
（1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹 角为π.故＜a，b＞＝0或π a∥b（a，b为非零向量）.
（2）由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不 确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共 线的，即0∥a.
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
D
知识点二 空间向量的数量积
1. 定义
已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数 量积，记作a·b.即a·b＝ .
规定：零向量与任意向量的数量积为 .
2. 空间向量的数量积的运算律
①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R；
②a·b＝b·a（交换律）；
③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）.
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞
0
3. 空间两向量的数量积的性质
向量 数量
积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b
共线 同向：a·b＝｜a｜｜b｜
反向：a·b＝－｜a｜｜b｜
模 a·a＝｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞＝ ，
｜a｜＝ ，｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜
夹角 若θ为a，b的夹角，则 cos θ＝
a·b＝0
｜a｜2
思考：对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？为什么？
不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，（a·b）c是一个数与向量c 作数乘，a（b·c）是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上， 所以（a·b）c与a（b·c）不可能相等.
B
A. 若a∥b且b∥c，则a∥c
B. a·（b＋c）＝a·b＋a·c
C. 若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D. （a·b）c＝a（b·c）
对于A，若b＝0，则a∥b且b∥c，不能得到a∥c，故A错误；对于B， a·（b＋c）＝a·b＋a·c，B正确；对于C，若a·b＝a·c，且a≠0，则｜ a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜a｜｜c｜ cos ＜a，c＞，则｜b｜ cos ＜a， b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞，无法得出b＝c，所以C错误；对于D， （a·b）c表示与c共线的向量，而a（b·c）表示与a共线的向量，所以 （a·b）c与a（b·c）不一定相等，故D错误.
知识点三 向量的投影
1. 向量a向向量b（直线l）的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将 它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线 的向量c，c＝ ，向量c称为向量a在向量b 上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图2）.
平面β
思考：向量a在直线l上的投影是一个数量还是向量？
向量a在直线l上的投影还是一个向量.
B
解析：四棱锥P－ABCD如图所示，
底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD.
∵PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
空间向量数量积的运算
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
课堂互动探究与提升
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
归纳总结：在几何体中求空间向量的数量积的步骤
（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数 量积；
（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
（4）代入公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解.
A
利用数量积证明空间中的垂直关系
归纳总结：用向量法证明垂直关系的步骤：
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
（4）将向量问题回归到几何问题.
已知正方形ABCD的边长为2，△P'AB为等边三角形（如图1所示）.沿着AB 折起，点P'折起到点P的位置，使得侧面PAB⊥底面ABCD，M是棱AD的 中点（如图2所示）.
求证：PC⊥BM.
证明：如图，取AB的中点O，连接OC交BM于点E，连接PO.
∵△PAB为等边三角形，
∴PO⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD，PO 平面PAB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
故PO⊥平面ABCD.
而BM 平面ABCD，
∴PO⊥BM.
∴BM⊥OC.
又∵PO 平面POC，OC 平面POC，PO∩OC＝O，
∴BM⊥平面POC.
∵PC 平面POC，
∴PC⊥BM.
利用数量积求夹角
【例3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.
【例3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.
归纳总结：利用向量求异面直线夹角的步骤
如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正方形， 侧棱AA'的长为2，且∠A'AB＝∠A'AD＝120°. 求：
（1）AC'的长；
（2）直线BD'与AC所成角的余弦值.
利用数量积求距离（线段长）
A. 6 C. 3
B
＝1＋1＋1＋2（ cos 60°＋ cos 60°＋ cos 60°）＝6，
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
C
当堂检测
A. 2 B. －2
B
A. 1 B. －1
B
120°＝－1.
A. 10 m C. 70 m
B
5. 在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AC. 求证：CD⊥AB.
1. 重点与难点：（1）空间向量的夹角、投影.
（2）空间向量的数量积的性质及运算律.
2. 定理与公式或方法等：向量法、数形结合、类比.
3. 误区警示：（1）当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当 a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
（2）当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 1.＜a，b＞ 2.0 π 垂直 a⊥b
思考：（1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向 时，夹角为π.故＜a，b＞＝0或π a∥b（a，b为非零向量）.
（2）由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不 确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共 线的，即0∥a.
【即学即练】
知识点二 1.｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ 0
思考：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，（a·b）c是一个数与 向量c作数乘，a（b·c）是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方 向上，所以（a·b）c与a（b·c）不可能相等.
【即学即练】
B 解析：对于A，若b＝0，则a∥b且b∥c，不能得到a∥c，故A错误； 对于B，a·（b＋c）＝a·b＋a·c，B正确；对于C，若a·b＝a·c，且 a≠0，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜a｜｜c｜ cos ＜a，c＞，则｜ b｜ cos ＜a，b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞，无法得出b＝c，所以C错误；对 于D，（a·b）c表示与c共线的向量，而a（b·c）表示与a共线的向量，所 以（a·b）c与a（b·c）不一定相等，故D错误.
思考：向量a在直线l上的投影还是一个向量.
【即学即练】
B 解析：四棱锥P－ABCD如图所示，
底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD.
∵PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
课堂互动探究与提升
（3）因为点F，G分别是AD，DC的中点，
【变式训练】
【变式训练】
【例3】解：（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为D1C1∥DC，
（2）连接EC，如图所示.
因为DC⊥平面BCC1B1，
所以DC⊥CE.
又因为AD⊥DC，
因为DC＝1，
【变式训练】
【变式训练】
＝1＋1＋1＋2（ cos 60°＋ cos 60°＋ cos 60°）＝6，
当堂检测
5. 证明：因为AD⊥BC，BD⊥AC，
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
1. 掌握空间向量的夹角的概念.（数学抽象）
2. 掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律.（逻辑推理、数学运算）
3. 了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.（数学抽象）
4. 能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题.（直 观想象、数学运算）
回忆平面向量数量积的概念与性质，思考能否将它们从平面推广到空间 中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，说明理由.
知识点一 空间向量的夹角
1. 夹角的定义
＜a，b＞
教材知识整理与归纳
0
π
垂直
a⊥b
思考：任意两个向量夹角都是[0，π]吗？
（1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹 角为π.故＜a，b＞＝0或π a∥b（a，b为非零向量）.
（2）由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不 确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共 线的，即0∥a.
A. 30° B. 60° C. 150° D. 120°
D
知识点二 空间向量的数量积
1. 定义
已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数 量积，记作a·b.即a·b＝ .
规定：零向量与任意向量的数量积为 .
2. 空间向量的数量积的运算律
①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R；
②a·b＝b·a（交换律）；
③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）.
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞
｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞
0
3. 空间两向量的数量积的性质
向量 数量
积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b
共线 同向：a·b＝｜a｜｜b｜
反向：a·b＝－｜a｜｜b｜
模 a·a＝｜a｜｜a｜ cos ＜a，a＞＝ ，
｜a｜＝ ，｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜
夹角 若θ为a，b的夹角，则 cos θ＝
a·b＝0
｜a｜2
思考：对于向量a，b，c，（a·b）c＝a（b·c）成立吗？为什么？
不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，（a·b）c是一个数与向量c 作数乘，a（b·c）是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上， 所以（a·b）c与a（b·c）不可能相等.
B
A. 若a∥b且b∥c，则a∥c
B. a·（b＋c）＝a·b＋a·c
C. 若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
D. （a·b）c＝a（b·c）
对于A，若b＝0，则a∥b且b∥c，不能得到a∥c，故A错误；对于B， a·（b＋c）＝a·b＋a·c，B正确；对于C，若a·b＝a·c，且a≠0，则｜ a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜a｜｜c｜ cos ＜a，c＞，则｜b｜ cos ＜a， b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞，无法得出b＝c，所以C错误；对于D， （a·b）c表示与c共线的向量，而a（b·c）表示与a共线的向量，所以 （a·b）c与a（b·c）不一定相等，故D错误.
知识点三 向量的投影
1. 向量a向向量b（直线l）的投影
如图1，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将 它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线 的向量c，c＝ ，向量c称为向量a在向量b 上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影（如图2）.
平面β
思考：向量a在直线l上的投影是一个数量还是向量？
向量a在直线l上的投影还是一个向量.
B
解析：四棱锥P－ABCD如图所示，
底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD.
∵PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
空间向量数量积的运算
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
课堂互动探究与提升
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
【例1】如图，已知棱长为a的正四面体ABCD，点E，F，G分别是AB， AD，DC的中点，求下列向量的数量积：
归纳总结：在几何体中求空间向量的数量积的步骤
（1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数 量积；
（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；
（4）代入公式a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞求解.
A
利用数量积证明空间中的垂直关系
归纳总结：用向量法证明垂直关系的步骤：
（1）把几何问题转化为向量问题；
（2）用已知向量表示所证向量；
（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；
（4）将向量问题回归到几何问题.
已知正方形ABCD的边长为2，△P'AB为等边三角形（如图1所示）.沿着AB 折起，点P'折起到点P的位置，使得侧面PAB⊥底面ABCD，M是棱AD的 中点（如图2所示）.
求证：PC⊥BM.
证明：如图，取AB的中点O，连接OC交BM于点E，连接PO.
∵△PAB为等边三角形，
∴PO⊥AB.
又∵平面PAB⊥平面ABCD，PO 平面PAB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
故PO⊥平面ABCD.
而BM 平面ABCD，
∴PO⊥BM.
∴BM⊥OC.
又∵PO 平面POC，OC 平面POC，PO∩OC＝O，
∴BM⊥平面POC.
∵PC 平面POC，
∴PC⊥BM.
利用数量积求夹角
【例3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.
【例3】如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为B1C1的中点.
归纳总结：利用向量求异面直线夹角的步骤
如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为1的正方形， 侧棱AA'的长为2，且∠A'AB＝∠A'AD＝120°. 求：
（1）AC'的长；
（2）直线BD'与AC所成角的余弦值.
利用数量积求距离（线段长）
A. 6 C. 3
B
＝1＋1＋1＋2（ cos 60°＋ cos 60°＋ cos 60°）＝6，
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
C
当堂检测
A. 2 B. －2
B
A. 1 B. －1
B
120°＝－1.
A. 10 m C. 70 m
B
5. 在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，BD⊥AC. 求证：CD⊥AB.
1. 重点与难点：（1）空间向量的夹角、投影.
（2）空间向量的数量积的性质及运算律.
2. 定理与公式或方法等：向量法、数形结合、类比.
3. 误区警示：（1）当空间向量a，b的夹角θ为锐角时，a·b＞0；但当 a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
（2）当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 1.＜a，b＞ 2.0 π 垂直 a⊥b
思考：（1）两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向 时，夹角为π.故＜a，b＞＝0或π a∥b（a，b为非零向量）.
（2）由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不 确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a都是共 线的，即0∥a.
【即学即练】
知识点二 1.｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ ｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞ 0
思考：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，（a·b）c是一个数与 向量c作数乘，a（b·c）是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方 向上，所以（a·b）c与a（b·c）不可能相等.
【即学即练】
B 解析：对于A，若b＝0，则a∥b且b∥c，不能得到a∥c，故A错误； 对于B，a·（b＋c）＝a·b＋a·c，B正确；对于C，若a·b＝a·c，且 a≠0，则｜a｜｜b｜ cos ＜a，b＞＝｜a｜｜c｜ cos ＜a，c＞，则｜ b｜ cos ＜a，b＞＝｜c｜ cos ＜a，c＞，无法得出b＝c，所以C错误；对 于D，（a·b）c表示与c共线的向量，而a（b·c）表示与a共线的向量，所 以（a·b）c与a（b·c）不一定相等，故D错误.
思考：向量a在直线l上的投影还是一个向量.
【即学即练】
B 解析：四棱锥P－ABCD如图所示，
底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD.
∵PD⊥底面ABCD，AD 底面ABCD，
∴PD⊥AD，
课堂互动探究与提升
（3）因为点F，G分别是AD，DC的中点，
【变式训练】
【变式训练】
【例3】解：（1）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
因为D1C1∥DC，
（2）连接EC，如图所示.
因为DC⊥平面BCC1B1，
所以DC⊥CE.
又因为AD⊥DC，
因为DC＝1，
【变式训练】
【变式训练】
＝1＋1＋1＋2（ cos 60°＋ cos 60°＋ cos 60°）＝6，
当堂检测
5. 证明：因为AD⊥BC，BD⊥AC，