人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的平行课件(共40张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的平行课件(共40张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共40张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. （数学抽象）
2. 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.（逻 辑推理、数学运算）
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺 观、宫苑、陵墓和街道均有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉 璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼 的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道 下边线与地面平行.这是为什么呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
教材知识整理与归纳
位置关系 向量表达式
线线平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得
线面平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则 l∥α μ·n＝0
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得
μ1＝λμ2
μ⊥n
n1＝λn2
思考：若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪 些条件可说明直线与平面平行？
可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线l的方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α
C. 若平面α的法向量与平面β的法向量平行，则α⊥β
D. 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，则l∥α
B
解析：对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B，若直线l的方 向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α，B正确；对于C，若平面α的法向量 与平面β的法向量平行，则α∥β，C错误；对于D，若直线l的方向向量与平 面α的法向量垂直，则l∥α或l α，D错误.
【例1】长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上 的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
直线和直线平行
课堂互动探究与提升
证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则
A（a，0，0），C1（0，b，c），D1（0，0，c），B1（a，b，c），B （a，b，0），A1（a，0，c）.
归纳总结：向量法证明直线平行的两种思路
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2， C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2 ＝3.
证明：B2C2∥A2D2.
证明：根据正四棱柱性质可知，以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则C（0，0，0），C2（0，0，3），B2（0，2，2），
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，所以B2C2∥A2D2.
【例2】如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为矩形，OA⊥底面 ABCD，OA＝2，AD＝2AB＝2，M为OA的中点，N为BC的中点.求证： 直线MN∥平面OCD.
直线和平面平行
证明：因为底面ABCD为矩形，OA⊥底面ABCD，所以AB，AD，AO两 两互相垂直，
所以分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系A－ xyz，如图所示，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M （0，0，1），N（1，1，0），O（0，0，2），
设平面OCD的法向量为n＝（x，y，z），
又因为MN 平面OCD，所以直线MN∥平面OCD.
归纳总结：利用空间向量证明线面平行的三种方法
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平 面内的一组基底表示.
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用 线面平行判定定理得证.
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与 平面的法向量垂直.
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为 AB的中点.求证：CF∥平面AC1E.
证明：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系，
所以FC∥EC1.
又FC 平面AC1E，EC1 平面AC1E，
所以CF∥平面AC1E.
平面与平面平行
【例3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2. 求证：平面A1C1B∥平面ACD1.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，4，0），
C（0，4，0），A1（3，0，2），
B1（3，4，2），C1（0，4，2），
D1（0，0，2），
归纳总结：证明面面平行问题的方法
（1）转化为相应的线线平行或线面平行.
（2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角 三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求 证：平面EFG∥平面PBC.
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角 三角形，所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P （0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.
设n1＝（x1，y1，z1）是平面EFG的法向量，
令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝（1，0，1）.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面PBC的法向量，
令z2＝1，则x2＝1，y2＝0，所以n2＝（1，0，1），
所以n1∥n2，所以平面EFG∥平面PBC.
A. l⊥α B. l∥α
C. l与α相交但不垂直 D. l∥α或l α
解析：因为a＝（－1，2，1），n＝（1，1，－1），所以a·n＝（－1） ×1＋2×1＋1×（－1）＝0，则a⊥n，又a是直线l的一个方向向量，n是 平面α的一个法向量，所以l∥α或l α.
D
当堂检测
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由l∥α可得m·n＝3×2＋2×1－4t＝0，解得t＝2.
B
A. －1 B. 1
C. 2
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：n为平面α的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，若a⊥n，则 l α或l∥α，充分性不成立；若l∥α，则a⊥n，必要性成立.所以 “a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
B
1. 重点与难点：（1）利用向量证明直线和直线平行.
（2）利用向量证明直线和平面平行.
（3）利用向量证明平面和平面平行.
2. 定理与公式或方法等：坐标法、转化化归.
3. 误区警示：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的 条件.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点 μ1＝λμ2 μ⊥n n1＝λn2
思考：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否 平行.
【即学即练】
B 解析：对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B，若直线l的 方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α，B正确；对于C，若平面α的法向 量与平面β的法向量平行，则α∥β，C错误；对于D，若直线l的方向向量与 平面α的法向量垂直，则l∥α或l α，D错误.
课堂互动探究与提升
【例1】证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则
A（a，0，0），C1（0，b，c），D1（0，0，c），B1（a，b，c），B （a，b，0），A1（a，0，c）.
【变式训练】
【变式训练】
【例3】证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，4，0），C（0，4，0），A1（3，0，2），B1 （3，4，2），C1（0，4，2），D1（0，0，2），
设平面A1C1B的法向量为n＝（x，y，z），
所以平面A1C1B的一个法向量为n＝（4，3，6）.
设平面ACD1的法向量为m＝（a，b，c），
所以平面ACD1的一个法向量为m＝（4，3，6）.
因为m＝n，即m∥n，所以平面A1C1B∥平面ACD1.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：因为a＝（－1，2，1），n＝（1，1，－1），所以a·n＝ （－1）×1＋2×1＋1×（－1）＝0，则a⊥n，又a是直线l的一个方向向 量，n是平面α的一个法向量，所以l∥α或l α.
2. B 解析：由l∥α可得m·n＝3×2＋2×1－4t＝0，解得t＝2.
4. B 解析：n为平面α的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，若 a⊥n，则l α或l∥α，充分性不成立；若l∥α，则a⊥n，必要性成立.所 以“a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第2课时 空间中直线、平面的平行
1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. （数学抽象）
2. 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.（逻 辑推理、数学运算）
牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝，在园林、寺 观、宫苑、陵墓和街道均有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉 璃几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼 的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道 下边线与地面平行.这是为什么呢？
知识点 空间中直线、平面平行的向量表达式
教材知识整理与归纳
位置关系 向量表达式
线线平行 设μ1，μ2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R，使得
线面平行 设μ是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则 l∥α μ·n＝0
面面平行 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得
μ1＝λμ2
μ⊥n
n1＝λn2
思考：若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪 些条件可说明直线与平面平行？
可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线l的方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α
C. 若平面α的法向量与平面β的法向量平行，则α⊥β
D. 若直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，则l∥α
B
解析：对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B，若直线l的方 向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α，B正确；对于C，若平面α的法向量 与平面β的法向量平行，则α∥β，C错误；对于D，若直线l的方向向量与平 面α的法向量垂直，则l∥α或l α，D错误.
【例1】长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上 的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.
直线和直线平行
课堂互动探究与提升
证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立 空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则
A（a，0，0），C1（0，b，c），D1（0，0，c），B1（a，b，c），B （a，b，0），A1（a，0，c）.
归纳总结：向量法证明直线平行的两种思路
如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2， C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2 ＝3.
证明：B2C2∥A2D2.
证明：根据正四棱柱性质可知，以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则C（0，0，0），C2（0，0，3），B2（0，2，2），
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，所以B2C2∥A2D2.
【例2】如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD为矩形，OA⊥底面 ABCD，OA＝2，AD＝2AB＝2，M为OA的中点，N为BC的中点.求证： 直线MN∥平面OCD.
直线和平面平行
证明：因为底面ABCD为矩形，OA⊥底面ABCD，所以AB，AD，AO两 两互相垂直，
所以分别以AB，AD，AO所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系A－ xyz，如图所示，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），M （0，0，1），N（1，1，0），O（0，0，2），
设平面OCD的法向量为n＝（x，y，z），
又因为MN 平面OCD，所以直线MN∥平面OCD.
归纳总结：利用空间向量证明线面平行的三种方法
（1）证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平 面内的一组基底表示.
（2）证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用 线面平行判定定理得证.
（3）先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与 平面的法向量垂直.
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，F为 AB的中点.求证：CF∥平面AC1E.
证明：以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立如图所示的空间直角坐标系，
所以FC∥EC1.
又FC 平面AC1E，EC1 平面AC1E，
所以CF∥平面AC1E.
平面与平面平行
【例3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2. 求证：平面A1C1B∥平面ACD1.
证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，4，0），
C（0，4，0），A1（3，0，2），
B1（3，4，2），C1（0，4，2），
D1（0，0，2），
归纳总结：证明面面平行问题的方法
（1）转化为相应的线线平行或线面平行.
（2）分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角 三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求 证：平面EFG∥平面PBC.
证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角 三角形，所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P （0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.
设n1＝（x1，y1，z1）是平面EFG的法向量，
令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝（1，0，1）.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面PBC的法向量，
令z2＝1，则x2＝1，y2＝0，所以n2＝（1，0，1），
所以n1∥n2，所以平面EFG∥平面PBC.
A. l⊥α B. l∥α
C. l与α相交但不垂直 D. l∥α或l α
解析：因为a＝（－1，2，1），n＝（1，1，－1），所以a·n＝（－1） ×1＋2×1＋1×（－1）＝0，则a⊥n，又a是直线l的一个方向向量，n是 平面α的一个法向量，所以l∥α或l α.
D
当堂检测
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由l∥α可得m·n＝3×2＋2×1－4t＝0，解得t＝2.
B
A. －1 B. 1
C. 2
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：n为平面α的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，若a⊥n，则 l α或l∥α，充分性不成立；若l∥α，则a⊥n，必要性成立.所以 “a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.
B
1. 重点与难点：（1）利用向量证明直线和直线平行.
（2）利用向量证明直线和平面平行.
（3）利用向量证明平面和平面平行.
2. 定理与公式或方法等：坐标法、转化化归.
3. 误区警示：利用向量证明直线和平面平行，不要忽略直线不在平面内的 条件.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点 μ1＝λμ2 μ⊥n n1＝λn2
思考：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否 平行.
【即学即练】
B 解析：对于A，一条直线的方向向量不唯一，A错误；对于B，若直线l的 方向向量与平面α的法向量平行，则l⊥α，B正确；对于C，若平面α的法向 量与平面β的法向量平行，则α∥β，C错误；对于D，若直线l的方向向量与 平面α的法向量垂直，则l∥α或l α，D错误.
课堂互动探究与提升
【例1】证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的 直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则
A（a，0，0），C1（0，b，c），D1（0，0，c），B1（a，b，c），B （a，b，0），A1（a，0，c）.
【变式训练】
【变式训练】
【例3】证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B（3，4，0），C（0，4，0），A1（3，0，2），B1 （3，4，2），C1（0，4，2），D1（0，0，2），
设平面A1C1B的法向量为n＝（x，y，z），
所以平面A1C1B的一个法向量为n＝（4，3，6）.
设平面ACD1的法向量为m＝（a，b，c），
所以平面ACD1的一个法向量为m＝（4，3，6）.
因为m＝n，即m∥n，所以平面A1C1B∥平面ACD1.
【变式训练】
当堂检测
1. D 解析：因为a＝（－1，2，1），n＝（1，1，－1），所以a·n＝ （－1）×1＋2×1＋1×（－1）＝0，则a⊥n，又a是直线l的一个方向向 量，n是平面α的一个法向量，所以l∥α或l α.
2. B 解析：由l∥α可得m·n＝3×2＋2×1－4t＝0，解得t＝2.
4. B 解析：n为平面α的一个法向量，a为直线l的一个方向向量，若 a⊥n，则l α或l∥α，充分性不成立；若l∥α，则a⊥n，必要性成立.所 以“a⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.