人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示课件(共58张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示课件(共58张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 6.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共58张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直. （数学运算）
2. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决 简单几何体中的问题.（数学运算、逻辑推理）
平面向量运算的坐标表示：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2），λa＝（λa1，λa2）（λ∈R），a·b＝a1b1＋ a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？ 它们是否成立？为什么？
知识点一 空间向量运算的坐标表示
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），空间向量的坐标运算法则如下 表所示：
教材知识整理与归纳
运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝ ，λ∈R
数量积 a·b＝
（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
（λa1，λa2，λa3）
a1b1＋a2b2＋a3b3
思考：向量线性运算的结果和数量积的结果相同吗？
不同.向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
知识点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
平行 （a∥b） a∥b（b≠0） a＝λb
垂直 （a⊥b） a⊥b a·b＝0 （a，b均为非零向量）
模
夹角公式
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
（λ∈R）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
向量的坐标及两点间的距离公式
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
已知a＝（2，2，1），b＝（－1，－1，k），且a⊥2b，则k＝ .
解析：因为2b＝（－2，－2，2k），且a⊥2b，
所以a·（2b）＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.
4
【例1】若a＝（1，2，1），b＝（2，－1，3），则（a－b）·（a＋b） ＝ .
解析：a－b＝（－1，3，－2），a＋b＝（3，1，4），
则（a－b）·（a＋b）＝（－1）×3＋3×1＋（－2）×4＝－8.
空间向量的坐标运算
－8
课堂互动探究与提升
归纳总结：关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间 向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建 立方程组，解方程组求出其坐标.
（2）3p－q；
（3）（p－q）·（p＋q）；
（4） cos ＜p，q＞.
——由向量平行、垂直关系求参数
【例2】已知空间向量a＝（1，2，－2），b＝（m，－4，4），若a∥b， 则m＝ .
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
－2
归纳总结：利用平行与垂直求参数时要注意：
（1）适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a＝λb），建立关于参数的 方程；
（2）最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
（1）求a－2b和｜2a＋b｜；
（2）若2ka－b与a＋kb互相垂直，求实数k的值.
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中 点，M为CD的中点.证明：
（1）BF∥D1E；
（2）BE不与D1M平行；
（3）BE⊥C1M.
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中 点，M为CD的中点.证明：
归纳总结：利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
如图，已知多面体ABCA1B1
C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4， C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.证明：AB1⊥平面A1B1C1.
证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
又因为A1B1∩A1C1＝A1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
（3）求CE的长.
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
归纳总结：用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路
（1）根据条件建立适当的空间直角坐标系；
（2）写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
（3）通过向量的坐标运算求夹角和距离.
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系， 解决如下问题：
（3）求证：BN⊥平面C1MN.
A. （3，－2） B. （－2，3）
C. （－3，2） D. （2，－3）
C
当堂检测
A. －2，3 B. －5，3
C. 1，3 D. －2，2
B
A. 2 B. 3
C. 4 D. 9
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
5. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D为B1B的中 点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 .
解析：以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC 为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，
1. 重点与难点：（1）向量的坐标运算.
（2）向量的坐标表示的应用.
2. 定理与公式或方法等：直接法，类比、转化，待定系数法.
3. 误区警示：（1）由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
（2）求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角时易忽略向量共线 的情况.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） （a1－b1，a2－b2，a3－b3） （λa1，λa2，λa3） a1b1＋a2b2＋a3b3
思考：不同.向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
【即学即练】
知识点二 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
所以a·（2b）＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.
4 解析：因为2b＝（－2，－2，2k），且a⊥2b，
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】－8 解析：a－b＝（－1，3，－2），a＋b＝（3，1，4），
则（a－b）·（a＋b）＝（－1）×3＋3×1＋（－2）×4＝－8.
【变式训练】
（1）p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）.
（2）3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）
＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）.
（3）（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2
＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26.
【变式训练】
【例3】证明：（1）设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长 为2，以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别 为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （2，0，0），C1（2，2，2），D1（0，2，2），E （0，0，1），F（2，2，1），M（1，2，0），
又因为D1不在直线BF上，所以D1E∥BF.
所以BE不与D1M平行.
【变式训练】
【例4】（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
【变式训练】
当堂检测
所以（m，n）＝（－3，2）.
4. B 解析：a与b的夹角为锐角，则要满足0＜ cos ＜a，b＞＜1，
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
1. 掌握空间向量运算的坐标表示，并据此会判断两个向量是否共线或垂直. （数学运算）
2. 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决 简单几何体中的问题.（数学运算、逻辑推理）
平面向量运算的坐标表示：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），则 a±b＝（a1±b1，a2±b2），λa＝（λa1，λa2）（λ∈R），a·b＝a1b1＋ a2b2.
你能由平面向量运算的坐标表示类比得到空间向量运算的坐标表示吗？ 它们是否成立？为什么？
知识点一 空间向量运算的坐标表示
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），空间向量的坐标运算法则如下 表所示：
教材知识整理与归纳
运算 坐标表示
加法 a＋b＝
减法 a－b＝
数乘 λa＝ ，λ∈R
数量积 a·b＝
（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
（λa1，λa2，λa3）
a1b1＋a2b2＋a3b3
思考：向量线性运算的结果和数量积的结果相同吗？
不同.向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
知识点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则
平行 （a∥b） a∥b（b≠0） a＝λb
垂直 （a⊥b） a⊥b a·b＝0 （a，b均为非零向量）
模
夹角公式
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
（λ∈R）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
向量的坐标及两点间的距离公式
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
已知a＝（2，2，1），b＝（－1，－1，k），且a⊥2b，则k＝ .
解析：因为2b＝（－2，－2，2k），且a⊥2b，
所以a·（2b）＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.
4
【例1】若a＝（1，2，1），b＝（2，－1，3），则（a－b）·（a＋b） ＝ .
解析：a－b＝（－1，3，－2），a＋b＝（3，1，4），
则（a－b）·（a＋b）＝（－1）×3＋3×1＋（－2）×4＝－8.
空间向量的坐标运算
－8
课堂互动探究与提升
归纳总结：关于空间向量坐标运算的两类问题
（1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间 向量坐标运算公式计算；
（2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建 立方程组，解方程组求出其坐标.
（2）3p－q；
（3）（p－q）·（p＋q）；
（4） cos ＜p，q＞.
——由向量平行、垂直关系求参数
【例2】已知空间向量a＝（1，2，－2），b＝（m，－4，4），若a∥b， 则m＝ .
空间向量平行、垂直的坐标表示及应用
－2
归纳总结：利用平行与垂直求参数时要注意：
（1）适当引入参数（比如向量a，b平行，可设a＝λb），建立关于参数的 方程；
（2）最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
（1）求a－2b和｜2a＋b｜；
（2）若2ka－b与a＋kb互相垂直，求实数k的值.
向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中 点，M为CD的中点.证明：
（1）BF∥D1E；
（2）BE不与D1M平行；
（3）BE⊥C1M.
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为CC1的中 点，M为CD的中点.证明：
归纳总结：利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐 标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明.
如图，已知多面体ABCA1B1
C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4， C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.证明：AB1⊥平面A1B1C1.
证明：如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.
又因为A1B1∩A1C1＝A1，
所以AB1⊥平面A1B1C1.
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
（1）求证：EF⊥CF；
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
（3）求CE的长.
【例4】在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1， BD，BB1的中点.
归纳总结：用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路
（1）根据条件建立适当的空间直角坐标系；
（2）写出相关点的坐标，用向量表示相关元素；
（3）通过向量的坐标运算求夹角和距离.
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°， 棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系， 解决如下问题：
（3）求证：BN⊥平面C1MN.
A. （3，－2） B. （－2，3）
C. （－3，2） D. （2，－3）
C
当堂检测
A. －2，3 B. －5，3
C. 1，3 D. －2，2
B
A. 2 B. 3
C. 4 D. 9
B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
5. 如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D为B1B的中 点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 .
解析：以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC 为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，
1. 重点与难点：（1）向量的坐标运算.
（2）向量的坐标表示的应用.
2. 定理与公式或方法等：直接法，类比、转化，待定系数法.
3. 误区警示：（1）由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等.
（2）求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角时易忽略向量共线 的情况.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 （a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） （a1－b1，a2－b2，a3－b3） （λa1，λa2，λa3） a1b1＋a2b2＋a3b3
思考：不同.向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量.
【即学即练】
知识点二 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
（x2－x1，y2－y1，z2－z1）
所以a·（2b）＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.
4 解析：因为2b＝（－2，－2，2k），且a⊥2b，
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】－8 解析：a－b＝（－1，3，－2），a＋b＝（3，1，4），
则（a－b）·（a＋b）＝（－1）×3＋3×1＋（－2）×4＝－8.
【变式训练】
（1）p＋2q＝（2，1，3）＋2（2，0，－6）＝（6，1，－9）.
（2）3p－q＝3（2，1，3）－（2，0，－6）
＝（6，3，9）－（2，0，－6）＝（4，3，15）.
（3）（p－q）·（p＋q）＝p2－q2＝｜p｜2－｜q｜2
＝（22＋12＋32）－[22＋02＋（－6）2]＝－26.
【变式训练】
【例3】证明：（1）设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长 为2，以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别 为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （2，0，0），C1（2，2，2），D1（0，2，2），E （0，0，1），F（2，2，1），M（1，2，0），
又因为D1不在直线BF上，所以D1E∥BF.
所以BE不与D1M平行.
【变式训练】
【例4】（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x 轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
【变式训练】
当堂检测
所以（m，n）＝（－3，2）.
4. B 解析：a与b的夹角为锐角，则要满足0＜ cos ＜a，b＞＜1，