人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件(共72张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件(共72张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 8.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共72张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1. 了解空间向量基本定理及其意义.（数学抽象）
2. 掌握空间向量的正交分解.（直观想象）
3. 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方 法.（逻辑推理、数学运算）
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定 理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对（x，y），使 得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐 标（x，y）建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向 量运算，为研究问题带来了极大的方便.那么，对于空间向量，有没有类似 平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是
空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否
可以用向量a，b，c来表示向量p？
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有 序实数组（x，y，z），使得 .其中{a，b，c}叫做空 间的一个 ，a，b，c都叫做 .空间中任意三个不共面向 量都可作为一个基底.
思考：对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0？
因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个 基向量均不为0.
p＝xa＋yb＋zc
基底
基向量
教材知识整理与归纳
A. b＋c，c，b－c B. b，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c
C
知识点二 空间向量的正交分解
1. 单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那 么这个基底叫做 ，常用{i，j，k}表示.
两两垂直
1
单位正交基底
2. 向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使得 .像这样，把一个空间向量分解为三 个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 .
思考：在空间向量的正交分解中，基底的夹角是多少度？
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分 解，故基底的夹角为90°.
a＝xi＋yj＋zk
正交分解
空间的基底
课堂互动探究与提升
（1）求证：M，A，B，C四点共面.
归纳总结：基底判断的基本思路和注意问题
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底； 若不共面，则能构成基底.
（2）注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为 基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
（1）判断P，A，B，C四点是否共面.
用基底表示空间向量
归纳总结：用基底表示向量时，要注意以下两点：
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形 法则，以及数乘向量的运算律；
（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便 地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
求证：平面ABCD∥平面EFGH.
空间向量基本定理的应用——证明空间直线、平面的位置关系
归纳总结：（1）要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0 即可.
（2）要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可.
【例4】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝ 5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝60°，求：
空间向量基本定理的应用——求线段的长度或两点间的距离
（2）AB'的长.
【例4】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，
AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝60°，求：
空间向量基本定理的应用——求两直线的夹角
（2）求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值.
（1）求BD1的长；
A. a，b，c两两垂直 B. b＝λc
C. a＝mb＋nc D. a＋b＋c＝0
A
当堂检测
解析：由基底定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间中的一 组基底.对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c 不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；对于B，b＝λc，则b，c共 线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故 B错误；对于C，由共面定理可知非零向量a，b，c共面，故C错误；对于 D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由共面定理可知非零向量a，b，c共 面，故D错误.
D
A
D
＝16＋9＋9－12－12＋9＝19.
A
＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2
＝a·b－a2＋b·c＋c2
1. 重点与难点：（1）空间向量基本定理.
（2）空间向量基本定理的应用.
2. 定理与公式或方法等：转化化归、数形结合、类比.
3. 误区警示：（1）基向量理解错误，忽视基向量的条件.
（2）利用基向量表示向量时，没有转化目标.
（3）向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 p＝xa＋yb＋zc 基底 基向量
思考：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因 此三个基向量均不为0.
【即学即练】
知识点二 1.两两垂直 1 单位正交基底
2. a＝xi＋yj＋zk 正交分解
思考：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正 交分解，故基底的夹角为90°.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
【变式训练】
【变式训练】
【变式训练】
＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b
＝12－2×2×2× cos 60°＝8，
所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0.
【变式训练】
当堂检测
1. A 解析：由基底定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间 中的一组基底.对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a， b，c不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；对于B，b＝λc，则b，c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面， 故B错误；对于C，由共面定理可知非零向量a，b，c共面，故C错误；对于 D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由共面定理可知非零向量a，b，c共 面，故D错误.
于是ke1＋3e2＋2e3＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1－2e2＋2e3）＝（x＋y）e1 ＋（x－2y）e2＋（x＋2y）e3，
＝16＋9＋9－12－12＋9＝19.
＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2
＝a·b－a2＋b·c＋c2
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
1. 了解空间向量基本定理及其意义.（数学抽象）
2. 掌握空间向量的正交分解.（直观想象）
3. 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方 法.（逻辑推理、数学运算）
在平面内，任意给定两个不共线的向量a，b，根据平面向量基本定 理，对于该平面内的任意一个向量p，存在唯一的有序实数对（x，y），使 得p＝xa＋yb.特别地，当a，b为直角坐标平面内的向量时，向量p就与坐 标（x，y）建立了一一对应关系，从而将向量运算用坐标表示，简化了向 量运算，为研究问题带来了极大的方便.那么，对于空间向量，有没有类似 平面向量基本定理的结论呢？如图所示，设a，b，c是
空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，是否
可以用向量a，b，c来表示向量p？
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有 序实数组（x，y，z），使得 .其中{a，b，c}叫做空 间的一个 ，a，b，c都叫做 .空间中任意三个不共面向 量都可作为一个基底.
思考：对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0？
因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个 基向量均不为0.
p＝xa＋yb＋zc
基底
基向量
教材知识整理与归纳
A. b＋c，c，b－c B. b，a＋b，a－b
C. a＋b，a－b，c D. a＋b，a＋b＋c，c
C
知识点二 空间向量的正交分解
1. 单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那 么这个基底叫做 ，常用{i，j，k}表示.
两两垂直
1
单位正交基底
2. 向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使得 .像这样，把一个空间向量分解为三 个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行 .
思考：在空间向量的正交分解中，基底的夹角是多少度？
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分 解，故基底的夹角为90°.
a＝xi＋yj＋zk
正交分解
空间的基底
课堂互动探究与提升
（1）求证：M，A，B，C四点共面.
归纳总结：基底判断的基本思路和注意问题
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底； 若不共面，则能构成基底.
（2）注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为 基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.
（1）判断P，A，B，C四点是否共面.
用基底表示空间向量
归纳总结：用基底表示向量时，要注意以下两点：
（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形 法则，以及数乘向量的运算律；
（2）若没给定基底，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便 地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
求证：平面ABCD∥平面EFGH.
空间向量基本定理的应用——证明空间直线、平面的位置关系
归纳总结：（1）要证两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为0 即可.
（2）要证两直线平行，只需证明两直线的方向向量a＝λb即可.
【例4】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝ 5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝60°，求：
空间向量基本定理的应用——求线段的长度或两点间的距离
（2）AB'的长.
【例4】如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，
AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝60°，求：
空间向量基本定理的应用——求两直线的夹角
（2）求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值.
（1）求BD1的长；
A. a，b，c两两垂直 B. b＝λc
C. a＝mb＋nc D. a＋b＋c＝0
A
当堂检测
解析：由基底定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间中的一 组基底.对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a，b，c 不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；对于B，b＝λc，则b，c共 线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面，故 B错误；对于C，由共面定理可知非零向量a，b，c共面，故C错误；对于 D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由共面定理可知非零向量a，b，c共 面，故D错误.
D
A
D
＝16＋9＋9－12－12＋9＝19.
A
＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2
＝a·b－a2＋b·c＋c2
1. 重点与难点：（1）空间向量基本定理.
（2）空间向量基本定理的应用.
2. 定理与公式或方法等：转化化归、数形结合、类比.
3. 误区警示：（1）基向量理解错误，忽视基向量的条件.
（2）利用基向量表示向量时，没有转化目标.
（3）向量夹角和线线角的范围不同，不要混淆.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点一 p＝xa＋yb＋zc 基底 基向量
思考：因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因 此三个基向量均不为0.
【即学即练】
知识点二 1.两两垂直 1 单位正交基底
2. a＝xi＋yj＋zk 正交分解
思考：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正 交分解，故基底的夹角为90°.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
【变式训练】
【变式训练】
【变式训练】
＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b
＝12－2×2×2× cos 60°＝8，
所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0.
【变式训练】
当堂检测
1. A 解析：由基底定义可知只有非零向量a，b，c不共面时才能构成空间 中的一组基底.对于A，因为非零向量a，b，c两两垂直，所以非零向量a， b，c不共面，可构成空间的一组基底，故A正确；对于B，b＝λc，则b，c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a与b，c共面， 故B错误；对于C，由共面定理可知非零向量a，b，c共面，故C错误；对于 D，a＋b＋c＝0，即a＝－b－c，故由共面定理可知非零向量a，b，c共 面，故D错误.
于是ke1＋3e2＋2e3＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1－2e2＋2e3）＝（x＋y）e1 ＋（x－2y）e2＋（x＋2y）e3，
＝16＋9＋9－12－12＋9＝19.
＝a·b－a2＋a·c＋b·c－a·c＋c2
＝a·b－a2＋b·c＋c2