人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示课件(共36张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示课件(共36张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1. 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. （数学抽象）
2. 会求一个平面的法向量.（数学运算、逻辑推理）
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图 形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示 出来.
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
知识点一 空间中点、直线的向量表示
1. 空间中点的位置向量
位置向量
教材知识整理与归纳
ta
（2）性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
思考：如何确定直线的方向向量？
B
A. （－1，1，1） B. （－1，1，－1）
C. （－1，2，1） D. （－1，2，－1）
知识点二 空间平面的向量表示式
1. 通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面α内两条 直线的方向向量a，b和交点O
形式
相交
xa＋yb
不共线
2. 通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的 ，叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
方向向量
法向
量
A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1
C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1
D
直线的方向向量
课堂互动探究与提升
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
A
已知向量a＝（1，－2，4），b＝（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2的一 个方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝ .
6
求平面的法向量
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
A. 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反
B. 平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量
C. 两直线的方向向量平行，则两直线平行
D. 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行
A
当堂检测
解析：对于A，由两条直线平行可知，两条直线的方向向量共线，故方向相 同或者相反，A正确；对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行，故B错 误；对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错误；对 于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平 面内，故D错误.
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，1）
C
A. （0，0，0） B. （－2，2，2）
C. （1，1，－1） D. （－1，－1，1）
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：∵l∥α，
∴m⊥n，
∴m·n＝1×2＋2×3－4t＝0，得t＝2.
B
5. 已知空间三点A（1，1，1），B（0，3，0），C（－2，－1，4），点P （－3，x，3）在平面ABC内，则实数x的值为 .
1
1. 重点与难点：（1）空间中点和直线的向量表示.
（2）空间中平面的向量表示.
（3）平面法向量的求法.
2. 定理与公式或方法等：待定系数法、赋值法.
3. 误区警示：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一， 这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量 时，设定的某个分坐标一定不能是0.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
6 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b＝λa，
【例2】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
【变式训练】
解：（1）设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则D（0，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，2）.
当堂检测
1. A 解析：对于A，由两条直线平行可知，两条直线的方向向量共线，故 方向相同或者相反，A正确；对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行， 故B错误；对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错 误；对于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直 线在平面内，故D错误.
3. B 解析：设法向量为m＝（x，y，z），
只有B选项中的向量与m平行，可表示为－2m.故选B.
4. B 解析：∵l∥α，
∴m⊥n，
∴m·n＝1×2＋2×3－4t＝0，得t＝2.
5.1 解析：∵点P（－3，x，3）在平面ABC内，
∴（－4，x－1，2）＝λ（－1，2，－1）＋μ（－3，－2，3），
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示
1. 能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量. （数学抽象）
2. 会求一个平面的法向量.（数学运算、逻辑推理）
立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图 形，为了用空间向量解决几何问题，首先必须把点、直线、平面用向量表示 出来.
那么，如何利用向量刻画直线与平面的方向与位置？
知识点一 空间中点、直线的向量表示
1. 空间中点的位置向量
位置向量
教材知识整理与归纳
ta
（2）性质：空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
思考：如何确定直线的方向向量？
B
A. （－1，1，1） B. （－1，1，－1）
C. （－1，2，1） D. （－1，2，－1）
知识点二 空间平面的向量表示式
1. 通过平面α上的一个定点和两个向量来确定
条件 平面α内两条 直线的方向向量a，b和交点O
形式
相交
xa＋yb
不共线
2. 通过平面α上的一个定点和法向量来确定
平面的法向量 直线l⊥α，直线l的 ，叫做平面α的法向量
确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的
方向向量
法向
量
A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1
C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1
D
直线的方向向量
课堂互动探究与提升
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
A
已知向量a＝（1，－2，4），b＝（2，4x，y＋1）分别是直线l1，l2的一 个方向向量，若l1∥l2，则x＋y＝ .
6
求平面的法向量
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
（1）平面BDD1B1的一个法向量；
（2）平面BDEF的一个法向量.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
A. 若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反
B. 平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量
C. 两直线的方向向量平行，则两直线平行
D. 直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行
A
当堂检测
解析：对于A，由两条直线平行可知，两条直线的方向向量共线，故方向相 同或者相反，A正确；对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行，故B错 误；对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错误；对 于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直线在平 面内，故D错误.
A. （1，－1，1） B. （2，－1，1）
C. （－2，1，1） D. （－1，1，1）
C
A. （0，0，0） B. （－2，2，2）
C. （1，1，－1） D. （－1，－1，1）
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：∵l∥α，
∴m⊥n，
∴m·n＝1×2＋2×3－4t＝0，得t＝2.
B
5. 已知空间三点A（1，1，1），B（0，3，0），C（－2，－1，4），点P （－3，x，3）在平面ABC内，则实数x的值为 .
1
1. 重点与难点：（1）空间中点和直线的向量表示.
（2）空间中平面的向量表示.
（3）平面法向量的求法.
2. 定理与公式或方法等：待定系数法、赋值法.
3. 误区警示：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一， 这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量.用代数法求平面的法向量 时，设定的某个分坐标一定不能是0.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【变式训练】
6 解析：因为l1∥l2，所以a∥b，故存在实数λ使得b＝λa，
【例2】解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）.
【变式训练】
解：（1）设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
则D（0，0，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），E（1，0，2）.
当堂检测
1. A 解析：对于A，由两条直线平行可知，两条直线的方向向量共线，故 方向相同或者相反，A正确；对于B，平面的法向量有无数个，且互相平行， 故B错误；对于C，两直线的方向向量平行，则两直线平行或者重合，故C错 误；对于D，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行或直 线在平面内，故D错误.
3. B 解析：设法向量为m＝（x，y，z），
只有B选项中的向量与m平行，可表示为－2m.故选B.
4. B 解析：∵l∥α，
∴m⊥n，
∴m·n＝1×2＋2×3－4t＝0，得t＝2.
5.1 解析：∵点P（－3，x，3）在平面ABC内，
∴（－4，x－1，2）＝λ（－1，2，－1）＋μ（－3，－2，3），