人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第3课时空间中直线、平面的垂直课件(共44张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第3课时空间中直线、平面的垂直课件(共44张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共44张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. （数学抽象）
2. 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.（逻 辑推理、数学运算）
我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定.如果旗杆 所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
教材知识整理与归纳
位置关系 向量表达式
线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则 l1⊥l2 μ1·μ2＝0
μ1⊥μ2
位置关系 向量表达式
线面垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则 l⊥α λ∈R，
使得μ＝λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β n1·n2＝0
μ∥n
n1⊥n2
思考：两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直 线的方向向量垂直吗？
不一定，也可能平行.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：因为α，β不重合，对①，平面α，β平行等价于平面α，β的法向量平 行，故①正确；对②，平面α，β垂直等价于平面α，β的法向量垂直，故②正 确；对③，若v∥n1 l⊥α，故③错误；对④，v⊥n1 l∥α或l α，故④ 错误.
B
直线和直线垂直
课堂互动探究与提升
归纳总结：
1. 用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线 的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：
（1）基底法：①选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹 角为已知）为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用 向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量 垂直得到两直线垂直.
（2）坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标 系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向 量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到 两直线垂直.
2. （1）两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向 量相互垂直.（2）基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直， 坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动.
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
直线和平面垂直
归纳总结：证明直线与平面垂直的方法
（1）基向量法：选取基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的 计算来证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零.
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，利用坐标 将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，证明直线的方向向量与两个不共 线向量的数量积均为零，以达到证明的目的.
注意：证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直 线的方向向量都垂直才可.
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面 法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以 AO⊥BC. 又BB1⊥平面ABC，
【例3】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°， ∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点.
求证：平面BEF⊥平面ABC.
平面与平面垂直
设n1＝（x1，y1，z1）是平面ABC的法向量，
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，
则n1＝（1，－1，0）是平面ABC的一个法向量.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面BEF的法向量，
所以平面BEF⊥平面ABC.
归纳总结：证明面面垂直的两种方法
（1）常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直 去证明.
（2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面 ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
又AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
A. 平行 B. 垂直
C. 异面垂直 D. 异面不垂直
C
当堂检测
∴A1M⊥DN. 又DN 平面DCC1D1，A1M 平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M DN，
∴直线A1M与DN异面垂直.
C. 6
D
A. l⊥α B. l∥α
C. l与α相交 D. l∥α或l α
解析：由a＝（1，1，2），n＝（2，2，4），得n＝2a，即a∥n，所以 l⊥α.
A
A. －3 B. 6 C. －6 D. －12
解析：因为两平面α，β的法向量分别为u＝（3，－1，z），
v＝（－2，－y，1），且α⊥β，
所以u·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.
B
D. 2
B
解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），
M（2，0，1），N（1，2，0），C1（0，2，2），
又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，
所以NC1⊥平面MDC，
故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，
1. 重点与难点：（1）利用向量证明直线和直线垂直.
（2）利用向量证明直线和平面垂直.
（3）利用向量证明平面和平面垂直.
2. 定理与公式或方法等：转化法、向量法.
3. 误区警示：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系 的对应易混淆.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点 μ1⊥μ2 μ∥n n1⊥n2
思考：不一定，也可能平行.
【即学即练】
B 解析：因为α，β不重合，对①，平面α，β平行等价于平面α，β的法向量 平行，故①正确；对②，平面α，β垂直等价于平面α，β的法向量垂直，故② 正确；对③，若v∥n1 l⊥α，故③错误；对④，v⊥n1 l∥α或l α，故 ④错误.
课堂互动探究与提升
【变式训练】
又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
【变式训练】
设n1＝（x1，y1，z1）是平面ABC的法向量，
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，
则n1＝（1，－1，0）是平面ABC的一个法向量.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面BEF的法向量，
所以平面BEF⊥平面ABC.
【变式训练】
又AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
当堂检测
∴A1M⊥DN. 又DN 平面DCC1D1，
A1M 平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M DN，
∴直线A1M与DN异面垂直.
又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，
所以NC1⊥平面MDC，
故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
第3课时 空间中直线、平面的垂直
1. 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. （数学抽象）
2. 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系.（逻 辑推理、数学运算）
我们知道，一个平面可用空间一点与该平面的法向量来确定.如果旗杆 所在的直线和地面垂直，那么如何用向量来表示二者的关系呢？
知识点 空间中直线、平面垂直的向量表达式
教材知识整理与归纳
位置关系 向量表达式
线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为μ1，μ2，则 l1⊥l2 μ1·μ2＝0
μ1⊥μ2
位置关系 向量表达式
线面垂直 设直线l的方向向量为μ，平面α的法向量为n，则 l⊥α λ∈R，
使得μ＝λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β n1·n2＝0
μ∥n
n1⊥n2
思考：两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直 线的方向向量垂直吗？
不一定，也可能平行.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：因为α，β不重合，对①，平面α，β平行等价于平面α，β的法向量平 行，故①正确；对②，平面α，β垂直等价于平面α，β的法向量垂直，故②正 确；对③，若v∥n1 l⊥α，故③错误；对④，v⊥n1 l∥α或l α，故④ 错误.
B
直线和直线垂直
课堂互动探究与提升
归纳总结：
1. 用向量法证明直线与直线垂直的方法和步骤
用向量法证明空间中两条直线l1，l2相互垂直，其主要思路是证明两条直线 的方向向量a，b相互垂直，只需证明a·b＝0即可，具体方法有以下两种：
（1）基底法：①选取三个不共面的已知向量（通常是它们的模及其两两夹 角为已知）为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用 向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量 垂直得到两直线垂直.
（2）坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标 系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向 量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到 两直线垂直.
2. （1）两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向 量相互垂直.（2）基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直， 坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，F是PB的中点，点E在边BC上移动.
求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.
【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1， D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
直线和平面垂直
归纳总结：证明直线与平面垂直的方法
（1）基向量法：选取基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的 计算来证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零.
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，利用坐标 将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，证明直线的方向向量与两个不共 线向量的数量积均为零，以达到证明的目的.
注意：证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直 线的方向向量都垂直才可.
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面 法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论.
如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
求证：AB1⊥平面A1BD.
证明：如图所示，取BC的中点O，连接AO. 因为△ABC为正三角形，所以 AO⊥BC. 又BB1⊥平面ABC，
【例3】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°， ∠ADB＝30°，E，F分别是AC，AD的中点.
求证：平面BEF⊥平面ABC.
平面与平面垂直
设n1＝（x1，y1，z1）是平面ABC的法向量，
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，
则n1＝（1，－1，0）是平面ABC的一个法向量.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面BEF的法向量，
所以平面BEF⊥平面ABC.
归纳总结：证明面面垂直的两种方法
（1）常规法：利用面面垂直的判定定理将问题转化为线面垂直、线线垂直 去证明.
（2）法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直.
如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面 ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.
又AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
A. 平行 B. 垂直
C. 异面垂直 D. 异面不垂直
C
当堂检测
∴A1M⊥DN. 又DN 平面DCC1D1，A1M 平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M DN，
∴直线A1M与DN异面垂直.
C. 6
D
A. l⊥α B. l∥α
C. l与α相交 D. l∥α或l α
解析：由a＝（1，1，2），n＝（2，2，4），得n＝2a，即a∥n，所以 l⊥α.
A
A. －3 B. 6 C. －6 D. －12
解析：因为两平面α，β的法向量分别为u＝（3，－1，z），
v＝（－2，－y，1），且α⊥β，
所以u·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.
B
D. 2
B
解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），
M（2，0，1），N（1，2，0），C1（0，2，2），
又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，
所以NC1⊥平面MDC，
故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，
1. 重点与难点：（1）利用向量证明直线和直线垂直.
（2）利用向量证明直线和平面垂直.
（3）利用向量证明平面和平面垂直.
2. 定理与公式或方法等：转化法、向量法.
3. 误区警示：直线的方向向量、平面的法向量的关系与线面间的垂直关系 的对应易混淆.
参考答案
教材知识整理与归纳
知识点 μ1⊥μ2 μ∥n n1⊥n2
思考：不一定，也可能平行.
【即学即练】
B 解析：因为α，β不重合，对①，平面α，β平行等价于平面α，β的法向量 平行，故①正确；对②，平面α，β垂直等价于平面α，β的法向量垂直，故② 正确；对③，若v∥n1 l⊥α，故③错误；对④，v⊥n1 l∥α或l α，故 ④错误.
课堂互动探究与提升
【变式训练】
又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C 平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
【变式训练】
设n1＝（x1，y1，z1）是平面ABC的法向量，
取x1＝1，得y1＝－1，z1＝0，
则n1＝（1，－1，0）是平面ABC的一个法向量.
设n2＝（x2，y2，z2）是平面BEF的法向量，
所以平面BEF⊥平面ABC.
【变式训练】
又AS⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ABCD.
当堂检测
∴A1M⊥DN. 又DN 平面DCC1D1，
A1M 平面DCC1D1，M∈平面DCC1D1，且M DN，
∴直线A1M与DN异面垂直.
又CD∩DM＝D，CD，DM 平面MDC，
所以NC1⊥平面MDC，
故当点P在线段NC1上时，满足NP⊥平面MDC，