人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课件(共57张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课件(共57张PPT) |
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| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 6.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
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文档简介
(共57张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面 的距离问题.（直观想象、数学运算）
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的 距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的 距离、异面直线的距离等.空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的 向量的模.本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间 的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到.
知识点一 点P到直线l的距离
教材知识整理与归纳
思考：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平 行直线的距离.两条平行直线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意 一点到另一条直线的距离.所以两条平行直线之间的距离可以用点到直线的 距离公式解决.
C
思考：求线面距和面面距的本质是什么？
线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前 提是线面、面面平行.只有线面（或面面）平行时，才有线面（面面）距离.
C. 2 D. 3
C
【例1】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点， P为D1E的中点，求点P到直线CC1的距离.
点到直线的距离
课堂互动探究与提升
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
故点P到直线CC1的距离
归纳总结：用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系.
（2）求直线的方向向量.
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影 向量的长度.
（4）利用勾股定理求解.
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB ＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，求点B到直线PD的距离.
解：因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA为PD与平面ABCD所成的角，所以 ∠PDA＝45°，
所以PA＝AD＝4.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），
所以点B到直线PD的距离
【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点.
（1）求点D到平面AD1E的距离；
解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别 为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
点、直线、平面到平面的距离
（2）求BC1到平面AD1E的距离.
【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点.
归纳总结：
用向量法求点面距离的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系.
（2）求点的坐标：写出（求出）相关点的坐标.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
（1）求直线B1C到平面A1BD的距离；
（2）求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
B. 4
C
当堂检测
D. 2
A
B
D
解析：由正方体的性质知AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1， DC1∩DB＝D，
且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，DC1 平面BDC1，DB 平面 BDC1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
所以两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直 角坐标系，如图所示.
由正方体的棱长为1，
所以A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
连接A1C，
且AB1∩B1D1＝B1，可知CA1⊥平面AB1D1，
BC
故A错误.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1），
所以点D1到平面A1BD的距离
又因为D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以点P到直线AB的距离
1. 重点与难点：（1）点到直线的距离、两条平行线之间的距离.
（2）点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之 间的距离.
2. 定理与公式或方法等：向量法、几何法、转化法.
3. 误区警示：（1）求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一 点，转化为点到直线的距离.
（2）求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中 一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离.
（3）应注意点要选取适当，以方便求解为主.
参考答案
教材知识整理与归纳
思考：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为 两条平行直线的距离.两条平行直线之间的距离可以转化为其中一条直线上 的任意一点到另一条直线的距离.所以两条平行直线之间的距离可以用点到 直线的距离公式解决.
【即学即练】
思考：线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距 离的前提是线面、面面平行.只有线面（或面面）平行时，才有线面（面 面）距离.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
故点P到直线CC1的距离
【变式训练】
【例2】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直 线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），
E（2，2，1），
设平面AD1E的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝2 x＝2，y＝－1，
所以平面AD1E的一个法向量为n＝（2，－1，2）.
所以点D到平面AD1E的距离
（2）由（1）可得平面AD1E的一个法向量为n＝（2，－1，2），
所以BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离.
所以BC1到平面AD1E的距离
【变式训练】
当堂检测
设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），
取x＝1，则z＝1，y＝0，所以n＝（1，0，1），
设平面A1BC的法向量为n＝（x，y，z），
由于B1C1∥BC，B1C1 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以B1C1∥平面A1BC.
4. D 解析：由正方体的性质知AB1∥DC1，D1B1∥DB，
AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，
且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，
DC1 平面BDC1，DB 平面BDC1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
所以两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由正方体的棱长为1，
所以A（1，0，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），C（0，1，0），
B1（1，1，1），D1（0，0，1），
连接A1C，
且AB1∩B1D1＝B1，
可知CA1⊥平面AB1D1，
则两平面间的距离
设∠ABE＝θ，
故A错误.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1），
所以点D1到平面A1BD的距离
又因为D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以点P到直线AB的距离
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时 用空间向量研究距离问题
能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面 的距离问题.（直观想象、数学运算）
空间中的距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、平行线之间的 距离、点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、平行平面之间的 距离、异面直线的距离等.空间两点间的距离即为以这两点为起点和终点的 向量的模.本节主要研究点到直线、点到平面、平行线之间、平行平面之间 的距离，这些距离都可以通过求向量的投影长得到.
知识点一 点P到直线l的距离
教材知识整理与归纳
思考：点到直线的距离与两条平行直线之间的距离有什么关系？
在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为两条平 行直线的距离.两条平行直线之间的距离可以转化为其中一条直线上的任意 一点到另一条直线的距离.所以两条平行直线之间的距离可以用点到直线的 距离公式解决.
C
思考：求线面距和面面距的本质是什么？
线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前 提是线面、面面平行.只有线面（或面面）平行时，才有线面（面面）距离.
C. 2 D. 3
C
【例1】如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点， P为D1E的中点，求点P到直线CC1的距离.
点到直线的距离
课堂互动探究与提升
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
故点P到直线CC1的距离
归纳总结：用向量法求点到直线的距离的一般步骤
（1）建立空间直角坐标系.
（2）求直线的方向向量.
（3）计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影 向量的长度.
（4）利用勾股定理求解.
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB ＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，求点B到直线PD的距离.
解：因为PA⊥平面ABCD，所以∠PDA为PD与平面ABCD所成的角，所以 ∠PDA＝45°，
所以PA＝AD＝4.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，4），D（0，4，0），
所以点B到直线PD的距离
【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点.
（1）求点D到平面AD1E的距离；
解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别 为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
点、直线、平面到平面的距离
（2）求BC1到平面AD1E的距离.
【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点.
归纳总结：
用向量法求点面距离的步骤
（1）建系：建立恰当的空间直角坐标系.
（2）求点的坐标：写出（求出）相关点的坐标.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
（1）求直线B1C到平面A1BD的距离；
（2）求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
B. 4
C
当堂检测
D. 2
A
B
D
解析：由正方体的性质知AB1∥DC1，D1B1∥DB，AB1∩D1B1＝B1， DC1∩DB＝D，
且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，DC1 平面BDC1，DB 平面 BDC1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
所以两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直 角坐标系，如图所示.
由正方体的棱长为1，
所以A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C（0，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
连接A1C，
且AB1∩B1D1＝B1，可知CA1⊥平面AB1D1，
BC
故A错误.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1），
所以点D1到平面A1BD的距离
又因为D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以点P到直线AB的距离
1. 重点与难点：（1）点到直线的距离、两条平行线之间的距离.
（2）点到平面的距离、与平面平行的直线到平面的距离、两个平行平面之 间的距离.
2. 定理与公式或方法等：向量法、几何法、转化法.
3. 误区警示：（1）求两条平行线之间的距离，在其中一条直线上找到一 点，转化为点到直线的距离.
（2）求直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离，在直线或其中 一个平面上找到一点，转化为点到平面的距离.
（3）应注意点要选取适当，以方便求解为主.
参考答案
教材知识整理与归纳
思考：在两条平行直线中的一条上取一定点，该点到另一条直线的距离即为 两条平行直线的距离.两条平行直线之间的距离可以转化为其中一条直线上 的任意一点到另一条直线的距离.所以两条平行直线之间的距离可以用点到 直线的距离公式解决.
【即学即练】
思考：线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距 离的前提是线面、面面平行.只有线面（或面面）平行时，才有线面（面 面）距离.
【即学即练】
课堂互动探究与提升
【例1】解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
故点P到直线CC1的距离
【变式训练】
【例2】解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1所在的直 线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），
E（2，2，1），
设平面AD1E的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝2 x＝2，y＝－1，
所以平面AD1E的一个法向量为n＝（2，－1，2）.
所以点D到平面AD1E的距离
（2）由（1）可得平面AD1E的一个法向量为n＝（2，－1，2），
所以BC1到平面AD1E的距离可以转化为点B到平面AD1E的距离.
所以BC1到平面AD1E的距离
【变式训练】
当堂检测
设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），
取x＝1，则z＝1，y＝0，所以n＝（1，0，1），
设平面A1BC的法向量为n＝（x，y，z），
由于B1C1∥BC，B1C1 平面A1BC，BC 平面A1BC，
所以B1C1∥平面A1BC.
4. D 解析：由正方体的性质知AB1∥DC1，D1B1∥DB，
AB1∩D1B1＝B1，DC1∩DB＝D，
且AB1 平面AB1D1，D1B1 平面AB1D1，
DC1 平面BDC1，DB 平面BDC1，
所以平面AB1D1∥平面BDC1，
所以两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.
以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
由正方体的棱长为1，
所以A（1，0，0），B（1，1，0），
A1（1，0，1），C（0，1，0），
B1（1，1，1），D1（0，0，1），
连接A1C，
且AB1∩B1D1＝B1，
可知CA1⊥平面AB1D1，
则两平面间的距离
设∠ABE＝θ，
故A错误.
设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z），
令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝（1，1，1），
所以点D1到平面A1BD的距离
又因为D1C 平面A1BD，A1B 平面A1BD，
所以D1C∥平面A1BD，同理B1C∥平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面B1CD1，
所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，
所以点P到直线AB的距离