人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件(共70张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第2课时用空间向量研究夹角问题课件(共70张PPT) |
|
|
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 7.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-24 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
(共70张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
1. 会用向量法求线线、线面、面面夹角.（直观想象、数学运算）
2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.（逻辑推 理、数学运算）
在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的 角以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这 些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点一 利用向量方法求两条异面直线所成的角
思考：两条异面直线所成的角就是其方向向量所成的角吗？
教材知识整理与归纳
B
｜ cos ＜u，n＞｜
思考：设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为 n，则θ与＜v，n＞有什么关系？
D. 1
A
知识点三 利用向量方法求两个平面的夹角
（1）平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把 这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
不大于90°
思考：两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
思考：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
D. 以上都不对
B
【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱AB的中点，求异面直线 D1E，B1D所成角的余弦值.
两条异面直线所成的角
课堂互动探究与提升
解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令 AB＝2，
归纳总结：求异面直线所成角的步骤
（1）确定两条异面直线的方向向量.
（2）确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.
（3）得出两条异面直线所成的角.
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E，F，G分别是CC1， BD，A1B1的中点，求直线C1G与EF所成角的余弦值.
【例2】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形， PA＝2，AB＝1，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
直线与平面所成的角
解：在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
设平面PBD的法向量为m＝（x，y，z），
取x＝2，则m＝（2，2，1），
已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点， 求A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值.
由图可知，平面AA1C1C的一个法向量为n＝（1，0，0）.
设A1D与平面AA1C1C所成的角为θ，
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为B1C1的中点，求平面ABQ与 平面ACC1A1夹角的余弦值.
两个平面的夹角
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系，
设DA＝1，取BB1的中点P，连接CP，
A1（1，0，1），
∵QB⊥CP，CP⊥AB，AB∩BQ＝B，QB，AB 平面ABQ，故CP⊥ 平面ABQ，
设平面ACC1A1的一个法向量为n＝（x，y，z），
∴n＝（1，1，0）为平面ACC1A1的一个法向量.
设平面ABQ与平面ACC1A1的夹角为α，
归纳总结：求两平面夹角的两种方法
（1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直 线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向 向量的夹角，但要注意其异同.
（1）求异面直线AC与A1B1夹角的余弦值；
解：（1）以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（2）求平面AA1C1与平面A1C1B1夹角的正弦值.
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 0
C
当堂检测
A. 8π B. 6π C. 5π D. 16π
A
B
解析：底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4， 如图，在底面ABCD中，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
设平面EDB1的法向量为n＝（x，y，z），
D. 1
B
解析：如图，连接AE，DE，
因为AB＝BC＝AC＝DB＝DC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，DE⊥BC.
又平面ABC⊥底面BCD，
平面ABC∩底面BCD＝BC，AE 平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，由EF∥AD，
设平面ABD的法向量为m＝（x，y，z），
设平面ABF的法向量为n＝（a，b，c），
A
由AE＝2EB，CF＝2FD，
所以E（2，0，0），F（1，3，0），C1（3，3，3），A1（0，0，3），
设平面EFC1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
令y1＝1，则n1＝（3，1，－2），
设平面EFA1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
令y2＝1，则n2＝（3，1，2），
由图可知二面角A1－EF－C1为锐角，
1. 重点与难点：（1）用向量求两条异面直线所成的角.
（2）用向量求直线与平面所成的角.
（3）用向量求两个平面的夹角.
2. 定理与公式或方法等：向量法、化归转化.
3. 误区警示：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角 的概念、把握空间角的范围.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
B 解析：由向量a1＝（2，1，－3）与a2＝（1，－3，2），
【即学即练】
知识点三 不大于90°
思考：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
【即学即练】
B 解析：∵n1＝（4，3，0），n2＝（0，－3，4），
n1·n2＝4×0＋3×（－3）＋0×4＝－9，
因此向量n1与n2的夹角θ满足
又∵向量n1，n2分别为平面α和平面β的法向量，
∴平面α与平面β的夹角等于向量n1，n2的夹角或其补角.
课堂互动探究与提升
【例1】解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2，
【变式训练】
【例2】解：在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
设平面PBD的法向量为m＝（x，y，z），
取x＝2，则m＝（2，2，1），
【变式训练】
【例3】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直 线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DA＝1，取BB1的中点P，连接CP，
A1（1，0，1），
∵QB⊥CP，CP⊥AB，AB∩BQ＝B，QB，AB 平面ABQ，故CP⊥ 平面ABQ，
设平面ACC1A1的一个法向量为n＝（x，y，z），
∴n＝（1，1，0）为平面ACC1A1的一个法向量.
设平面ABQ与平面ACC1A1的夹角为α，
【变式训练】
当堂检测
所以BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD，
设AC与BD所成角为θ，
整理得R2＝2，所以外接球的表面积为4πR2＝8π.
3. B 解析：底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝ DC＝BC＝2，AB＝4，如图，在底面ABCD中，过点D作 DH⊥AB，垂足为H，
设平面EDB1的法向量为n＝（x，y，z），
4. B 解析：如图，连接AE，DE，
因为AB＝BC＝AC＝DB＝DC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，DE⊥BC.
又平面ABC⊥底面BCD，
平面ABC∩底面BCD＝BC，AE 平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，由EF∥AD，
设平面ABD的法向量为m＝（x，y，z），
设平面ABF的法向量为n＝（a，b，c），
由AE＝2EB，CF＝2FD，
所以E（2，0，0），F（1，3，0），C1（3，3，3），A1（0，0，3），
设平面EFC1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
令y1＝1，则n1＝（3，1，－2），
设平面EFA1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
令y2＝1，则n2＝（3，1，2），
由图可知二面角A1－EF－C1为锐角，
第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
第2课时 用空间向量研究夹角问题
1. 会用向量法求线线、线面、面面夹角.（直观想象、数学运算）
2. 能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.（逻辑推 理、数学运算）
在必修教材中，我们学习过异面直线所成的角、直线与平面相交所成的 角以及两个平面相交所成的二面角.那么，在空间中怎样描述这些角呢？这 些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点一 利用向量方法求两条异面直线所成的角
思考：两条异面直线所成的角就是其方向向量所成的角吗？
教材知识整理与归纳
B
｜ cos ＜u，n＞｜
思考：设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为 n，则θ与＜v，n＞有什么关系？
D. 1
A
知识点三 利用向量方法求两个平面的夹角
（1）平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把 这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角.
不大于90°
思考：两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？
思考：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
D. 以上都不对
B
【例1】已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱AB的中点，求异面直线 D1E，B1D所成角的余弦值.
两条异面直线所成的角
课堂互动探究与提升
解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令 AB＝2，
归纳总结：求异面直线所成角的步骤
（1）确定两条异面直线的方向向量.
（2）确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.
（3）得出两条异面直线所成的角.
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E，F，G分别是CC1， BD，A1B1的中点，求直线C1G与EF所成角的余弦值.
【例2】在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形， PA＝2，AB＝1，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
直线与平面所成的角
解：在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
设平面PBD的法向量为m＝（x，y，z），
取x＝2，则m＝（2，2，1），
已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为1，侧棱长为2，D为BB1的中点， 求A1D与平面AA1C1C所成的角的正弦值.
由图可知，平面AA1C1C的一个法向量为n＝（1，0，0）.
设A1D与平面AA1C1C所成的角为θ，
【例3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，Q为B1C1的中点，求平面ABQ与 平面ACC1A1夹角的余弦值.
两个平面的夹角
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系，
设DA＝1，取BB1的中点P，连接CP，
A1（1，0，1），
∵QB⊥CP，CP⊥AB，AB∩BQ＝B，QB，AB 平面ABQ，故CP⊥ 平面ABQ，
设平面ACC1A1的一个法向量为n＝（x，y，z），
∴n＝（1，1，0）为平面ACC1A1的一个法向量.
设平面ABQ与平面ACC1A1的夹角为α，
归纳总结：求两平面夹角的两种方法
（1）定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直 线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向 向量的夹角，但要注意其异同.
（1）求异面直线AC与A1B1夹角的余弦值；
解：（1）以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（2）求平面AA1C1与平面A1C1B1夹角的正弦值.
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 0
C
当堂检测
A. 8π B. 6π C. 5π D. 16π
A
B
解析：底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝2，AB＝4， 如图，在底面ABCD中，过点D作DH⊥AB，垂足为H，
设平面EDB1的法向量为n＝（x，y，z），
D. 1
B
解析：如图，连接AE，DE，
因为AB＝BC＝AC＝DB＝DC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，DE⊥BC.
又平面ABC⊥底面BCD，
平面ABC∩底面BCD＝BC，AE 平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，由EF∥AD，
设平面ABD的法向量为m＝（x，y，z），
设平面ABF的法向量为n＝（a，b，c），
A
由AE＝2EB，CF＝2FD，
所以E（2，0，0），F（1，3，0），C1（3，3，3），A1（0，0，3），
设平面EFC1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
令y1＝1，则n1＝（3，1，－2），
设平面EFA1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
令y2＝1，则n2＝（3，1，2），
由图可知二面角A1－EF－C1为锐角，
1. 重点与难点：（1）用向量求两条异面直线所成的角.
（2）用向量求直线与平面所成的角.
（3）用向量求两个平面的夹角.
2. 定理与公式或方法等：向量法、化归转化.
3. 误区警示：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角 的概念、把握空间角的范围.
参考答案
教材知识整理与归纳
【即学即练】
B 解析：由向量a1＝（2，1，－3）与a2＝（1，－3，2），
【即学即练】
知识点三 不大于90°
思考：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
【即学即练】
B 解析：∵n1＝（4，3，0），n2＝（0，－3，4），
n1·n2＝4×0＋3×（－3）＋0×4＝－9，
因此向量n1与n2的夹角θ满足
又∵向量n1，n2分别为平面α和平面β的法向量，
∴平面α与平面β的夹角等于向量n1，n2的夹角或其补角.
课堂互动探究与提升
【例1】解：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2，
【变式训练】
【例2】解：在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为正方形，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），
设平面PBD的法向量为m＝（x，y，z），
取x＝2，则m＝（2，2，1），
【变式训练】
【例3】解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直 线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设DA＝1，取BB1的中点P，连接CP，
A1（1，0，1），
∵QB⊥CP，CP⊥AB，AB∩BQ＝B，QB，AB 平面ABQ，故CP⊥ 平面ABQ，
设平面ACC1A1的一个法向量为n＝（x，y，z），
∴n＝（1，1，0）为平面ACC1A1的一个法向量.
设平面ABQ与平面ACC1A1的夹角为α，
【变式训练】
当堂检测
所以BC2＋CD2＝BD2，所以BC⊥CD，
设AC与BD所成角为θ，
整理得R2＝2，所以外接球的表面积为4πR2＝8π.
3. B 解析：底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝ DC＝BC＝2，AB＝4，如图，在底面ABCD中，过点D作 DH⊥AB，垂足为H，
设平面EDB1的法向量为n＝（x，y，z），
4. B 解析：如图，连接AE，DE，
因为AB＝BC＝AC＝DB＝DC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，DE⊥BC.
又平面ABC⊥底面BCD，
平面ABC∩底面BCD＝BC，AE 平面ABC，
所以AE⊥平面BCD，故ED，EB，EA两两垂直.
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝2，由EF∥AD，
设平面ABD的法向量为m＝（x，y，z），
设平面ABF的法向量为n＝（a，b，c），
由AE＝2EB，CF＝2FD，
所以E（2，0，0），F（1，3，0），C1（3，3，3），A1（0，0，3），
设平面EFC1的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
令y1＝1，则n1＝（3，1，－2），
设平面EFA1的法向量为n2＝（x2，y2，z2），
令y2＝1，则n2＝（3，1，2），
由图可知二面角A1－EF－C1为锐角，