辽宁省锦州市2024-2025学年高一下4月月考数学试卷（扫描版，含解析）

《2024-2025 学年度高中数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C B B C C BD AD
题号 11
答案 ABC
1．B
【详解】因为 1630 170 5 360 ，且170 为第二象限角，
所以 1630 的终边在第二象限.
故选：B.
2．A

【详解】 sin 2025 sin 5 360 225 sin 225
sin(180 45 ) sin 45 2 .
2
故选：A
3．B
【详解】将函数 f x sin 2x (0 π) π的图象上所有点向右平移 个单位后得到的图象的
6
解析式为 g x sin 2 x π sin 2x
π
，
6

3
π π
因为 g x 的图象关于原点对称，所以 kπ, k Z，解得 kπ,k Z ，
3 3
π
因为0 π，所以 .
3
故选：B.
4．C
【详解】画出几何图像:
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选取 AD 和 AB 为基底, 菱形 ABCD的边长为 2

AD AB 2
BAD 60

AD AB AD AB cos 60 2
BD AD AB ,点E 是BD上靠近D的四等分点
1 1 ED BD AD AB 1 AD 1 AB 4 4 4 4
由 AD AE ED

可得: AE AD ED AD
1
AD
1 3 1
AB
4 4
AD AB
4 4

AC AB AD
3 1 AE AC AD AB AB AD
4 4


3 3 2 1 2 1
AB AD AD AB AB AD
4 4 4 4
3 2 2
AB AD AD 1 AB
4 4
2 3 1 4 4
4 4
2 3 1 6
故选:C.
5．B
cos 5π π π cos 4【详解】由题知， ，
6 6 5
cos 5π 4 cos 5π 4所以

， ，
6 5 6 5
2π又 , π
5π 3π 11π
，所以 , ，
3 6 2 6
答案第 2 页，共 10 页
2
所以 sin 5π 4 3 1

，
6 5 5
3
tan 5π
3
所以
5
4 . 6 4
5
故选：B
6．B
【详解】大扇形半径为18，则小扇形半径为6 ，18 6 12，
5π
所以上弧长为18 15π 6
5π
，下弧长为 5π，
6 6
15π+5π
12 120πcm2所以扇环也即扇面的面积为 .
2
故选：B
7．C
【详解】因为 0, π ，则 sin 0，
因为 sin cos 3 ，等式两边平方可得 sin cos 2 1 2sin cos 3 ，
2 4
可得 2sin cos
1
，则 cos 0，所以， sin cos 0，
4
sin cos 2 1 2sin cos 1 1 5因为 ，故
4 2 sin cos
5
.
2
故选：C.
8．C

【详解】因为 AB AD AB AD ，
2 2
所以 AB AD AB AD ，
2 2 2 2 即 AB AD 2AB AD AB AD 2AB AD ,
uuur uuur
所以 4AB AD 0，即 AB AD 0 ，

因为 AC AB BC AB 2 BD AB 2 AD AB (1 2)AB 2 AD ,
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所以 AC AD (1 2)AB 2 AD AD
2 2
(1 2)AB AD 2 AD 2 AD 4 2 ，
故选:C.
9．BD
π π
【详解】对于 A，若 ，则 2 ，故 A 错误；
6 3
π 1 π 2 3π
对于 B，设扇形的半径为 r ，则 r π ，解得 r 3，所以扇形的面积 S r ，故 B 正
3 2 3 2
确；
3 3
对于 C，若角 的终边过点P 3, 4 ，可得 cos ，故 C 错误；
( 3)2 42 5
1 1
对于 D，因为 sin cos ，即 (sin cos )2 ，
5 25
2 2 1 12
整理得： sin cos 2sin cos ，所以 sin cos ，
25 25
sin cos tan 12 3 4
所以 2 2 2 ，解得 tan 或 tan ， sin cos tan 1 25 4 3
sin cos 1 0,sin cos 12因为 0,0 π ，所以角 在第二象限，
5 25
sin cos 4且 ，所以 tan ，故 D 正确.
3
故选：BD
10．AD
2 kπ
【详解】对于 A ， f x sinx 的定义域为 x x , k Z ，关于原点对称，
sin2x 2
f x sin x 2 2且 sinx f x sin 2x sin2x ，
所以 f x 为奇函数，故 A 正确；
对于 B， f x π sin x
2
π sinx 2 f x
sin 2 x π sin2x
，
即 f x 不是以 π为周期的函数，故 B 错误；
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f π x sin π x 2 cosx 2
C

对于 ， 2 2 sin 2 π x sin2x ， 2
f π x sin π x 2 cosx 2 2

2 sin 2 π x sin2x ，


2
f π x f π x ，即 f x
π
的图象不关于直线 x
2 2 2
对称，故 C 错误；
对于 D， x 0,
π
时， y sinx, y sin2x均单调递增函数， 4
2
则此时 y 也单调递增，
sin2x
x π所以 π 2 0, 时， f x 单调递增，其最大值为 f 2，故 D 正确． 4 4 2
故选：AD．
11．ABC

AB BC 2 2 1 【详解】对于 A， 2，故 A 错误；
2
3
对于 B，当 k 6 时，满足 k ，但b 3a，此时2 a 与b 的夹角为
π，故 B 错误；
2 3 3
对于 C，向量a 在b 上的投影向量为 a b b 22 b b ，故 C 错误；
b 3

对于 D，如图，因为点 C 在线段 AB 上，且 OC 的最小值为 1，
π
故等腰三角形OAB 的边 AB 上的高为 1，故 A B ，且 AB 2 3 ，
6
1
而 OA tOB 的最小值即为A 到直线OB 距离的最小值，此最小值为 2 3 3 ，故 D 正确；
2
故选：ABC.
12．1
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【详解】因为向量 a 1,3 ，b m,1 ，则 a b 1 m, 2 ，

因为 a b b ，则 a b b m m 1 2 0，可得m2 m 2 0，
因为m 0，解得m 1.
故答案为：1.
13． 2
【详解】由三角函数的定义可知，
sin m 6 ，所以m 0，解得
2 3 m 2
，
1 m
故答案为： 2 ．
14． 5 3,7

【详解】第一空：因为 c 2， a c 3， b c 4，
2 2 2 2
所以 a 2a c c 9，b 2b c c 16
2 2 2 2 a b c a b c a b c 2a b 2a c 2b c
2 2 a 2a c c 2 2 2 b 2b c c 2a b c 9 16 5；

第二空：对于两个向量u,v ，有 u v u v u v ，
2 2 2 2 2 2
进一步有 u 2 u v v u 2u v v u 2 u v v ，

所以 u v u v u v ，

注意到 c 2， a b c 5，

从而 a b a b c c 3，等号成立当且仅当 a b c,c反向，

a b a b c c 7，等号成立当且仅当 a b c,c同向，

所以 a b 的取值范围为 3,7 .
故答案为：5； 3,7 .
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15．(1) 11
(2) 3 11
22

【详解】（1）已知 a 2， b 3，
2 2 2a 3b 2a b 4a 4a b 3b 16 4a b 27 7，

a b 1，
2 2 2a b a b a 2a b b 4 2 9 11；

（2）设向量a 与 a b 的夹角的夹角为 ，

a a b 2
则 cos
a a b 4 1 3 11
，
a a b 2 11 2 11 22

3 11向量a 与 a b 的夹角的余弦值为 .
22
2
16．(1)
5
6
(2)
29
2sin( π) cos( π ) 2sin sin sin tan
【详解】（1）由 2π 2 ， sin( ) 3sin cos 3sin cos 3sin 3tan 1
2
tan 2 2得 ，所以 tan(3π ) tan .
5 5
2 2 2
sin2 2 ( )
2 sin2（ ） sin cos
sin cos tan tan 6
5 5 .
sin2 cos2 tan2 1 (2)2 1 29
5
y 2sin 2x π π17．(1) ，其振幅是 2，初相是
6 6
π
(2) x 时，函数取得最大值为 0； x 时，函数取得最小值为-2
12 3
π π π kπ
(3)单调递增区间为 kπ, kπ k Z ，对称中心为 ,0 k Z 3 6 12 2
【详解】（1）由图象知，函数的最大值为 2，最小值为 2，∴ A 2，
答案第 7 页，共 10 页
T π π
又∵
2
，∴T π ， ，∴ 2 . 4 6 12
∴函数的解析式为 y 2sin 2x .
π∵ 函数的图象经过点 , 2 ，
6
∴ 2sin
π π
2，∴ sin 1，
3 3
π
又∵ 0 ，∴ .
2 6
π π
故函数的解析式为 y 2sin 2x ，其振幅是 2，初相是 .
6 6
π π
（2）由（1）得 y 2sin 2x ，令 t 2x ，则 y sin t .
6 6
x π π∵ , ，∴ t
5π ,0 .
2 12 6
π
于是，当 t 0，即 x 时，函数 y sin t 取得最大值 0；
12
t π π当 ，即 x 时，函数 y sin t 取得最小值为 2 .
2 3
π π π π π
（3）令 2kπ 2x 2kπ ， k Z，解得 kπ x kπ , k Z
2 6 2 3 6
π π π
所以函数 y 2sin 2x 6
的单调增区间 kπ, kπ k Z . 3 6
2x π令 kπ , k Z π kπ，解得 x ， k Z
6 12 2
π kπ
故函数的对称中心为 ,0 ， k Z .
12 2
5 k 1
18．(1) x ，k Z (2)
12 2 3
【详解】试题分析：（1）第（1）问，先通过三角函数的图像和性质求出函数的解析式，再求函
数的图像的对称轴方程. (2)第（2）问，利用函数的对称性，消去 x2即可求解.
试题解析：
答案第 8 页，共 10 页

=
2
2w

由题得 2w
k (k z) w 1
6 3
2
π
所以 f(x)＝sin(2x－ )．
3
2x k 令 ，得 x
5 k
k z
3 2 12 2 ，
y=f x 5 k即 （ ）的对称轴方程为 x k z 12 2 ，
(2) 由条件知 sin 2x

1 sin

2x
1
2
5
0，且0 x1
2
x
3 3 3 12 2 3
，
x f x x f x x 5 5易知（ 1， （ 1））与（ 2， （ 2））关于 对称，则 x1 x2 ， 12 6
cos x x cos x 5 x cos 1 2 1 2x
5
6 1 1

6
1
cos 2x

1

sin 2x1


3 2 3 3
π π
19．(1) x kπ x kπ , k Z


6 2


5 5
(2) ,
4 4
π 1
【详解】（1）因为 f x 0，
6 2
cos 2x π 1所以 ，
3 2
2kπ 2π π 2π解得： 2x 2kπ , k Z ，
3 3 3
π π
所以 kπ x kπ ,k Z ，
6 2

所以不等式的解集为 x kπ
π
x kπ π , k Z .
6 2
π π π π
（2）由题意可得 g x f x cos 2x cos 2x sin
2x π
6 3 6 2
，
6
答案第 9 页，共 10 页
x π因为 2 ,
π 2x π π π，所以 2 ,

，
6 6 6 6 2
所以 g x π 1 2 sin 2x2 ,1
6 2
.

7π 5π π π
又因为对任意的 x1 , , x2 , ，都有F x1 g x2 3 0成立， 6 6 6 6
1 5
所以F x1 g x2 3, F x1 3 max min max ， 2 2
F x sin2x 2asinx 1 (sinx a)2 a2 1，
x 7π , 5π 因为 1 6 6
，所以 sinx1 1,1 ，

设 t sinx, t 1,1 ，可设G t a2 1 (t a)2，
则G t 的图象为开口向下，对称轴为 t a的抛物线，
当a 1时，G t 在 1,1 上单调递增，
所以G(t) G 1 2a 5 a 5max ，所以 2a 1 a
5
;
2 ，解得 ，所以 4 4
当 a 1时，G t 在 1,1 上单调递减，
5 5 5
所以G(t)max G 1 2a ，所以 2a ，解得 a ，故 a 1； 2 4 4
当 1 a 1时，G(t)max G a a2 1，
a2 1 5故
6
2 ，解得 a
6
，所以 1 a 1，
2 2
5 5
综上所述：实数 a的取值范围为 , .
4 4
答案第 10 页，共 10 页