15.4 等腰三角形的判定 课件（17张PPT）初中数学沪科版（2024）八年级上册

(共17张PPT)
同学们好
等腰三角形的判定
等腰三角形
定义
性质
判定
等边对等角
三线合一
推论：等边三角形三内角相等，每一个内角都等于60°
复习引入
问题1：对于一个三角形，需要增加一个什么条件，才能成为等腰三角形
有两条边相等
有两个角相等？
等腰三角形
等腰三角形
三角形
新知探究
对命题“有两个角相等的三角形是等腰三角形”是真命题吗？你能证明？
过点A作AD⊥BC，D为垂足
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
在△ADB与△ADC中
∠B=∠C
∠ADB=∠ADC
AD=AD
∵
(公共边)
∴ △ADB≌△ADC
∴ AB=AC
(AAS)
(全等三角形对应边相等)
(垂直的定义)
(已证)
(已知)
已知：
如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC
证明：
A
B
C
D
等腰三角形的判定
A
B
C
定理 ：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称“等角对等边”
几何语言：
∵ 在△ABC中，∠B=∠C
∴ AB=AC
（等角对等边）
它是判定一个三角 形是否为等腰三角形的重要依据，
这个定理叫做等腰三角形的判定定理，
也是判定两条线段是否相等依据之一.
问题2：对于一个三角形，需要增加一个什么条件，才能成为等边三角形
三条边相等
等边三角形
三个角相等
等边三角形
定义法
三角形
猜想：
三个角都相等的三角形
是等边三角形
A
B
C
∵ 在△ABC中， ∠A=∠B
(已知)
∴ BC=AC
(等角对等边)
已知：如图，△ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：△ABC是等边三角形
又∵ ∠B=∠C
∴ AC=AB
(等角对等边)
∴ BC=AC=AB
(等边三角形的定义)
∴ △ABC是等边三角形
(等量代换)
证明：
推论1：
三个角都相等的三角形
是等边三角形
几何语言：
∵ 在△ABC中，∠A=∠B=∠C
∴ △ABC是等边三角形
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
A
B
C
问题3：对于一个等腰三角形，需要增加一个什么条件，才能成为等边三角形
两条边相等
两个角相等
有一个角是60°
有一个角是60°
等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形
猜想：
有一个角是60°等腰三角形
是等边三角形
已知：△ABC中，AB=AC， ∠A=60.
求证：△ABC是等边三角形
A
B
C
证明：
∵ AB=AC，
(已知)
∴ ∠B=∠C
= ×(180°-∠A）
=60°
1
2
(等边对等角)
且 ∠A=60°
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
∴ △ABC是等边三角形
① 当顶角是60°时
60°
已知：△ABC中，AB=AC， ∠B=60°.
求证：△ABC是等边三角形
A
B
C
证明：
∵ AB=AC，
(已知)
∴ ∠C=∠B
=60°
(等边对等角)
且 ∠B=60°
∴ ∠A=∠B=∠C= 60°
∴ △ABC是等边三角形
② 当底角是60°时
60°
∴ ∠A=180°-∠B-∠C= 60°
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1、已知：如图，AB与CD交于点P，CP=PD，∠A=42°，∠CPB=138°，∠B=69°. 求证：AC=PB.
证明：
巩固提高
42°
A
C
P
D
B
138°
69°
∵ ∠CPB=138°
∴ ∠CPA=180°-138°=42°
∵ ∠A=42°
∴ ∠A=∠CPA
∴ AC=CP
又∵ ∠CPB=138°，∠B=69°
∴ ∠D=∠CPB-∠B=69°
∴ ∠D=∠B
∴ PB=PD
∵ CP=PD
∴ AC=PB
证明:　∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∴∠ABE=∠DEB，
∴DB=DE，
∴△BDE是等腰三角形.
2.如图，BE是△ABC的角平分线，DE∥BC.求证：△BDE是等腰三角形.
3、如图，△ABC为等边三角形，点D，E，F分别在BC，CA，AB上，且AF=BD=CE. 求证：△DEF也是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形
∴ AC=BC，
∵ CE=BD
∴ BC－BD=AC－CE
∴ CD=AE
∠A=∠C
在△AEF和△CDE中
∴ △AEF≌△CDE
∴ EF=DE
同理可证
∴ EF=DE=DF
∴ △DEF是等边三角形
∵
AE＝CD
AF=CE
∠A=∠C
（SAS）
EF=DF
A
E
F
B
D
C
等腰三角形
定义
性质
判定
等边对等角
三线合一
推论：等边三角形三内角相等，每一个内角都等于60°
等角对等边
推论1：三个角都相等的三角形是等腰三角形
推论：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
定义法
等腰三角形判定方法
等边三角形判定方法
同学们
再见