17.3 一元二次方程根的判别式 课件（20张PPT）初中数学沪科版（2024）八年级下册
文档属性
| 名称 | 17.3 一元二次方程根的判别式 课件（20张PPT）初中数学沪科版（2024）八年级下册 |
|
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
第17章 一元二次方程及其应用
17.3
一元二次方程根的判别式
初中数学沪科版（2024）八年级下册
学习目标
1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其符号与根的个数的关系.(重点)
2.能利用根的判别式判断方程根的情况，解决与方程根有关字母的取值问题.(难点)
课堂引入
1.方程x2－2x－3＝0的根是x1＝3，x2＝－1；方程x2－2x＋1＝0的根是x1＝x2＝1；方程x2－2x＋3＝0无实数根.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝
，其中b2－4ac≥0.
一、
根的判别式的概念
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方得，
当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：
x1＝ ，x2＝ .
当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：
x1＝x2＝ .
当 b2－4ac<0时，方程没有实数根.
－
知识梳理
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况由b2－4ac来确定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) .
通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
根的判别式
根的情况与判别式的关系 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
Δ>0 有两个不相等的实数根，即x＝
Δ＝0 有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
Δ<0 没有实数根
例1 (课本P34例题)用根的判别式，判别下列方程根的情况：
(1)5x2－3x－2＝0；(2)25y2＋4＝20y；(3)2x2＋x＋1＝0.
解 (1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49>0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为25y2－20y＋4＝0，
因为Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝()2－4×2×1＝－5<0，
所以原方程没有实数根.
跟踪训练1 (1)下列方程中，没有实数根的是
A.x2＋2x＝0 B.5x2－4x－2＝0
C.x2－4x＋1＝0 D.x2－x＋1＝0
解析 A项，Δ＝4－0＝4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B项，Δ＝16＋4×5×2＝56>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C项，Δ＝16－4＝12>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D项，Δ＝1－4＝－3<0，方程没有实数根，符合题意.
√
(2)不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
①3x2＋4x－3＝0；②4x2＝12x－9；③7y＝5(y2＋1).
解 ①∵Δ＝42－4×3×(－3)＝52>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
②方程化为一般形式为4x2－12x＋9＝0，
∵Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
③方程整理为5y2－7y＋5＝0，
∵Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51<0，
∴方程没有实数根.
二、
一元二次方程根的判别式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根；
解 ∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，
∴Δ＝b2－4ac
＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
即8k＋9>0，
解得k>－.
例2 已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时，
(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根.
解 (2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即8k＋9＝0，
解得k＝－.
(3)∵方程没有实数根，
∴Δ<0，即8k＋9<0，
解得k<－.
跟踪训练2 (课本P35练习第2题)已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k>0，解得k<.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k＝0，解得k＝.
(3)∵方程没有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k<0.解得k>.
课堂小结
1.一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
课堂练习
√
解析 Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7，
∵－7<0，∴原方程没有实数根.
2.关于x的一元二次方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1
C.k> D.k≥
√
解析 根据题意列出方程组
解得k≥且k≠1.
课堂练习
3.如果关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是 .
解析 ∵关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝32－4×1×a＝0，
解得a＝，
∴a的值是.
课堂练习
4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
解 因为关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根，
所以Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0，
解得k≤0，
所以k的取值范围是k≤0.
课堂练习
4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根.
解 由(1)知，k的最大整数值为0，
则该方程为x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以方程的两个根都是1.
课堂练习
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第17章 一元二次方程及其应用
17.3
一元二次方程根的判别式
初中数学沪科版（2024）八年级下册
学习目标
1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其符号与根的个数的关系.(重点)
2.能利用根的判别式判断方程根的情况，解决与方程根有关字母的取值问题.(难点)
课堂引入
1.方程x2－2x－3＝0的根是x1＝3，x2＝－1；方程x2－2x＋1＝0的根是x1＝x2＝1；方程x2－2x＋3＝0无实数根.
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝
，其中b2－4ac≥0.
一、
根的判别式的概念
问题 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方得，
当 b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根：
x1＝ ，x2＝ .
当 b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：
x1＝x2＝ .
当 b2－4ac<0时，方程没有实数根.
－
知识梳理
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况由b2－4ac来确定.我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) .
通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
根的判别式
根的情况与判别式的关系 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
Δ>0 有两个不相等的实数根，即x＝
Δ＝0 有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－
Δ<0 没有实数根
例1 (课本P34例题)用根的判别式，判别下列方程根的情况：
(1)5x2－3x－2＝0；(2)25y2＋4＝20y；(3)2x2＋x＋1＝0.
解 (1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49>0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为25y2－20y＋4＝0，
因为Δ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
(3)因为Δ＝()2－4×2×1＝－5<0，
所以原方程没有实数根.
跟踪训练1 (1)下列方程中，没有实数根的是
A.x2＋2x＝0 B.5x2－4x－2＝0
C.x2－4x＋1＝0 D.x2－x＋1＝0
解析 A项，Δ＝4－0＝4>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B项，Δ＝16＋4×5×2＝56>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C项，Δ＝16－4＝12>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D项，Δ＝1－4＝－3<0，方程没有实数根，符合题意.
√
(2)不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况：
①3x2＋4x－3＝0；②4x2＝12x－9；③7y＝5(y2＋1).
解 ①∵Δ＝42－4×3×(－3)＝52>0，
∴方程有两个不相等的实数根.
②方程化为一般形式为4x2－12x＋9＝0，
∵Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
③方程整理为5y2－7y＋5＝0，
∵Δ＝(－7)2－4×5×5＝－51<0，
∴方程没有实数根.
二、
一元二次方程根的判别式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时，
(1)方程有两个不相等的实数根；
解 ∵a＝2，b＝－(4k＋1)，c＝2k2－1，
∴Δ＝b2－4ac
＝[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)＝8k＋9，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
即8k＋9>0，
解得k>－.
例2 已知关于x的方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，问当k取什么值时，
(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根.
解 (2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即8k＋9＝0，
解得k＝－.
(3)∵方程没有实数根，
∴Δ<0，即8k＋9<0，
解得k<－.
跟踪训练2 (课本P35练习第2题)已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
解 (1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k>0，解得k<.
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k＝0，解得k＝.
(3)∵方程没有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k<0.解得k>.
课堂小结
1.一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
课堂练习
√
解析 Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7，
∵－7<0，∴原方程没有实数根.
2.关于x的一元二次方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是
A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1
C.k> D.k≥
√
解析 根据题意列出方程组
解得k≥且k≠1.
课堂练习
3.如果关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，那么a的值是 .
解析 ∵关于x的方程x2＋3x＋a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝32－4×1×a＝0，
解得a＝，
∴a的值是.
课堂练习
4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(1)求k的取值范围；
解 因为关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根，
所以Δ＝(－2)2－4(k＋1)≥0，
解得k≤0，
所以k的取值范围是k≤0.
课堂练习
4.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋(k＋1)＝0有实数根.
(2)当k取最大整数时，求该方程的两个根.
解 由(1)知，k的最大整数值为0，
则该方程为x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1，
所以方程的两个根都是1.
课堂练习
谢谢观看