2.3 确定二次函数的表达式 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

2.3确定二次函数的表达式课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．若抛物线经过点，则b的值是（ ）
A． B． C．3 D．2
2．抛物线经过点和原点．该抛物线的对称轴是（ ）
A．轴 B． C． D．
3．抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（ ）．
… …
… …
A． B． C． D．
4．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．已知一条抛物线经过四点，则抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ）
… 0 1 3 4 …
… 3 4 0 …
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小
C． D．该二次函数图象与轴只有一个交点
7．已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，在平移后的图象上，当时，函数的最小值为，则n的值是（ ）
A．或 B．或 C．1 D．
8．如图，抛物线经过点、，若当时的最大值与最小值的差为6，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题
9．已知二次函数的图像经过点和．则这个二次函数的解析式为 ．
10．如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，求这个二次函数的最小值为 ．
x … 0 1 4 …
y … 18 6 3 6 …
11．关于x的函数图象经过原点，则m的值为 ．
12．如图，在正方形中，点B，D的坐标分别是，，点A在抛物线的图象上，则a的值为 ．
三、解答题
13．已知二次函数（为常数，）的图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：
… 0 2 3 …
… 1 1 …
(1)求该二次函数的表达式．
(2)直接写出的值．
(3)求该函数图象的顶点坐标．
14．已知二次函数的图象经过三点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标．
15．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是这个点的横坐标的2倍，那么我们称这个点为“倍值点”．例如就是“倍值点”．如果为函数图象上一点，点的纵坐标是点横坐标的2倍，我们称点为函数的“倍值点”．例如：为函数的“倍值点”．若二次函数图象的顶点为“倍值点”，则我们称这个二次函数为“倍值二次函数”．例如二次函数就是“倍值二次函数”．
(1)若点为函数的“倍值点”．求点的坐标．
(2)若函数的图象经过函数在第一象限内的“倍值点”．求的值．
(3)若“倍值二次函数”的图象与直线的交点是“倍值点”，求这个“倍值二次函数”的表达式．
(4)若“倍值二次函数”的图象经过点，且顶点在第一象限．当时，这个“倍值二次函数”的最小值为14．求的值．
16．已知二次函数（，为常数）的图象经过点、点两个点．
(1)求二次函数的解析式及对称轴；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围．
17．已知，如图，函数，，直线与抛物线交于A点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若时，的取值范围：，且，求b的值；
(3)点在直线上（），过B作x轴的垂线交x轴于C，直线交抛物线于D，若，求h与n的关系式．
18．已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，记二次函数的最大值与最小值之差为t，求t的最小值，并写出此时对应的n．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．C
5．C
6．B
7．A
8．A
二、填空题
9．
10．2
11．或
12．3
三、解答题
13．【解】（1）解：由表得，二次函数（为常数，）的图象过点，
则，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：由表得，二次函数的图象过点，
则；
（3）解：由（1）知二次函数的表达式为，
∴，
∴该二次函数的顶点坐标为．
14．【解】（1）解：设该二次函数的表达式为，将分别代入中，
得，，
解得，，
所以，二次函数的表达式为；
（2）解：二次函数的表达式化为顶点式，
所以，二次函数的图象的顶点坐标为．
15．【解】（1）解：设点的坐标为，
代入，得，
解得：，
点的坐标为；
（2）设函数在第一象限内的“倍值点”坐标为，
代入，得，
解得：，（舍去），
“倍值点”坐标为，
代入到，得，
解得：，
的值为3；
（3）的图像与直线的交点是“倍值点”，
经过点，
代入得，，
整理得：，
，
的顶点坐标为，
是“倍值二次函数”，
，即，
解得：，，
当时，，此时二次函数的表达式为，
当时，，此时二次函数的表达式为，
综上所述，这个“倍值二次函数”的表达式为或；
（4）把代入，得，
整理得：，
，
的顶点坐标为，
是“倍值二次函数”，
，即，
解得：，，
顶点在第一象限，
，
，
，
二次函数的对称轴为直线，
当时，此时函数在取得最小值14，
，
解得：（舍去），；
当，即，此时函数在取得最小值14，
，
解得：，（舍去）；
当，即，此时函数在取得最小值2，不符合题意，舍去；
综上所述，的值为或8．
16．【解】（1）解：将和代入得，
，解得
∴二次函数的解析式为，
其对称轴为直线；
（2）解：点平移之后的点的坐标为，
将代入得，
，
解得或（舍去），
∴m的值为；
（3）解：当时，，
当时，，即顶点坐标为，
此时，，
点的对称点坐标为，
∴．
17．【解】（1）解：∵，
∴当时，，
∵直线与抛物线交于A点，
∴，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴点的对称点为，
分以下四种情况讨论：
当时，最小值，最大值，
∵，
∴，
解得（舍）或；
当时，最小值，最大值，
∵，，
∴不符合题意；
当时，最小值，最大值，
∵，
∴，
解得（舍）或（舍）；
当时，最小值，最大值，
∵，
∴，
解得（舍）或；
综上所述，b的值为或5；
（3）解： 如图，
∵点在直线上（），过B作x轴的垂线交x轴于C，直线交抛物线于D，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
解得或．
18．【解】（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴二次函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴该二次函数的顶点坐标为，且二次项系数，函数图象开口向上，
分三种情况进行讨论：
①当，即时，
∵在时，y随x的增大而减小，
函数最大值为，函数最小值为，
∵二次函数的最大值与最小值之差为t，
∴，
∴，，
∵在时，t随n的增大而减小，
∴，
即当时，t有最小值8；
②当时，
∵在时，y随x的增大而增大，
函数最大值为，函数最小值为，
∵二次函数的最大值与最小值之差为t，
∴，
∴，，
∵在时，t随n的增大而增大，
∴，
即当时，t有最小值8；
③当时，
若，
则函数最大值为，函数最小值为，
∵二次函数的最大值与最小值之差为t，
∴，
∴，，
∵在时，t随n的增大而减小，
∴当时，t有最小值2；
若，
则函数最大值为，函数最小值为，
∵二次函数的最大值与最小值之差为t，
∴，
∴，，
∵在时，t随n的增大而增大，
∴此时，t没有最小值；
综上所述，t的最小值为2，此时．