2.2二次函数的图象与性质课后 培优提升训练(含答案) 北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 2.2二次函数的图象与性质课后 培优提升训练(含答案) 北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 567.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
2.2二次函数的图象与性质课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间(不包括这两点)，对称轴为直线，下列结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）个
A． B． C． D．
6．点在抛物线上，且，则的值不可能是（ ）
A．4 B． C．7 D．
7．如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ．
10．已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是 ．
11．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为 ．
12．关于的方程的一个解为，函数的图像的对称轴为直线，则方程另一个解为 ．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象的对称轴是直线，并且抛物线与轴交于点．
(1)求a，c的值；
(2)已知点在抛物线上，设，若与均为整数，求点的坐标．
14．已知二次函数（m是常数）．
(1)若．
①该函数的顶点坐标为 ；②当时，该函数的最大值 ；
(2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
(3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是 ．
15．已知y关于x的二次函数．
(1)当时，
①求二次函数的顶点坐标．
②当时，该函数的最小值是3，求m的值．
(2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值．
16．已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题
(1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________；
(2)当时，的取值范围为__________；
(3)当时，的取值范围为__________，
(4)当时，的取值范围为__________．
17．在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示．
x … 0 1 …
y … 3 4 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标．
(3)点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围．
(4)将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值．
18．已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且．
(1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上；
(2)若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____
(3)点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．B
5．B
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．或
11．
12．1
三、解答题
13．【解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
，
；
把代入中，
；
（2）解：由（1）得，
∴二次函数的解析式为，
∵点在抛物线上，
，
与均为整数，
，
，
将分别代入中，得，
．
14．【解】（1）解：当时，二次函数，
①该函数的顶点坐标为，
故答案为：；
②由①知该函数的顶点坐标为，
由于，
则当时，该函数的最大值为2，
故答案为：2；
（2）证明：二次函数，
则顶点坐标为，
将代入得，
因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
（3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为，
当时，总有，
则当时，随的增大而减小，
由于该二次函数开口向下，对称轴为，
则，
故答案为：．
15．【解】（1）解：①当时，
∴该二次函数图像的顶点坐标为；
②，
∴当时，y随x的增大而减小，
，且当时，，
，解得，（舍去），
；
（2）∵对称轴直线，且，
∴当和3时，y有最值，
分和两种情况讨论：
当时，抛物线开口向上，最小值为，最大值为，
由题意得，解得，符合；
当时，抛物线开口向下，最大值为，最小值为，
由题意得，解，不符合，故舍去，
综上所述，的值为1．
16．【解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵函数图象开口向上，
∴随的增大而减小的自变量的取值范围是；
故答案为：；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴当和当时的函数值相同，即当时，，
∵函数图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，的取值范围为；
故答案为：；
（3）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵在函数图象上，
∴当时，的取值范围为或；
故答案为：或；
（4）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，都在函数图象上，
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
17．【解】（1）解：由题意得：，解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
顶点坐标为．
（3）解：点，在二次函数的图象上，
，，
，
，
解得：
（4）解：二次函数的图象向左平移m个单位长度，
平移后对应的函数表达式为，
图象开口向下，对称轴为直线，
①当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：（不符合题意，舍）；
②当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：或（不符合题意，舍）；
③当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：或（不符合题意，舍）；
④当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：（不符合题意，舍）；
综上可知，m的值为或．
18．【解】（1）证明：∵，
∴其顶点为，
∵当时，，
∴二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上；
（2）解：①当，时，此时二次函数，一次函数，
∵，
∴其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为，
当时，；当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
②当时，，
∴与相交于点，
由（1）可知，二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上，
画图如下：
当时，或，
故答案为：或．
（3）解：∵点、分别在二次函数和一次函数图像上，
∴，，
∴，
∴，
∵抛物线上存在两个不同的点，
∴，
∵，
∴，
∴．
一、选择题
1．将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间(不包括这两点)，对称轴为直线，下列结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）个
A． B． C． D．
6．点在抛物线上，且，则的值不可能是（ ）
A．4 B． C．7 D．
7．如图，二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过点两点，则的值可能是（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若无论为何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是 ．
10．已知抛物线，若抛物线的函数值为，则x的取值范围是 ．
11．将二次函数的图象向左平移个单位后经过原点，则的值为 ．
12．关于的方程的一个解为，函数的图像的对称轴为直线，则方程另一个解为 ．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，二次函数的图象的对称轴是直线，并且抛物线与轴交于点．
(1)求a，c的值；
(2)已知点在抛物线上，设，若与均为整数，求点的坐标．
14．已知二次函数（m是常数）．
(1)若．
①该函数的顶点坐标为 ；②当时，该函数的最大值 ；
(2)求证：不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
(3)已知该函数上有两点、，当时，总有，则m的取值范围是 ．
15．已知y关于x的二次函数．
(1)当时，
①求二次函数的顶点坐标．
②当时，该函数的最小值是3，求m的值．
(2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值．
16．已知二次函数的图象如图，请根据函数图象完成以下问题
(1)随的增大而减小的自变量的取值范围是__________；
(2)当时，的取值范围为__________；
(3)当时，的取值范围为__________，
(4)当时，的取值范围为__________．
17．在二次函数中，x与y的几组对应值如表格所示．
x … 0 1 …
y … 3 4 …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标．
(3)点，在二次函数的图象上，若，求n的取值范围．
(4)将二次函数的图象向左平移m个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为3，请直接写出m的值．
18．已知二次函数，一次函数，其中a，c为常数且．
(1)求证：二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上；
(2)若，时，填空：①当时，则的取值范围是_____；②当时，的取值范围是_____
(3)点、分别在二次函数和一次函数图像上．若抛物线上存在两个不同的点，求的范围．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．A
4．B
5．B
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．
10．或
11．
12．1
三、解答题
13．【解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
，
；
把代入中，
；
（2）解：由（1）得，
∴二次函数的解析式为，
∵点在抛物线上，
，
与均为整数，
，
，
将分别代入中，得，
．
14．【解】（1）解：当时，二次函数，
①该函数的顶点坐标为，
故答案为：；
②由①知该函数的顶点坐标为，
由于，
则当时，该函数的最大值为2，
故答案为：2；
（2）证明：二次函数，
则顶点坐标为，
将代入得，
因此，不论m为何值，该函数图像顶点始终在二次函数上；
（3）解：由（2）可知该二次函数的顶点坐标为，
当时，总有，
则当时，随的增大而减小，
由于该二次函数开口向下，对称轴为，
则，
故答案为：．
15．【解】（1）解：①当时，
∴该二次函数图像的顶点坐标为；
②，
∴当时，y随x的增大而减小，
，且当时，，
，解得，（舍去），
；
（2）∵对称轴直线，且，
∴当和3时，y有最值，
分和两种情况讨论：
当时，抛物线开口向上，最小值为，最大值为，
由题意得，解得，符合；
当时，抛物线开口向下，最大值为，最小值为，
由题意得，解，不符合，故舍去，
综上所述，的值为1．
16．【解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵函数图象开口向上，
∴随的增大而减小的自变量的取值范围是；
故答案为：；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴当和当时的函数值相同，即当时，，
∵函数图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，的取值范围为；
故答案为：；
（3）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵在函数图象上，
∴当时，的取值范围为或；
故答案为：或；
（4）解：∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∵，都在函数图象上，
∴当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
17．【解】（1）解：由题意得：，解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
顶点坐标为．
（3）解：点，在二次函数的图象上，
，，
，
，
解得：
（4）解：二次函数的图象向左平移m个单位长度，
平移后对应的函数表达式为，
图象开口向下，对称轴为直线，
①当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：（不符合题意，舍）；
②当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：或（不符合题意，舍）；
③当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：或（不符合题意，舍）；
④当时，即，此时在处有最大值，在处有最小值，
，，
，
解得：（不符合题意，舍）；
综上可知，m的值为或．
18．【解】（1）证明：∵，
∴其顶点为，
∵当时，，
∴二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上；
（2）解：①当，时，此时二次函数，一次函数，
∵，
∴其对称轴为，图象开口向上，当时，有最小值，顶点坐标为，
当时，；当时，，
∴当时，的取值范围是，
故答案为：；
②当时，，
∴与相交于点，
由（1）可知，二次函数图像的顶点一定在一次函数图像上，
画图如下：
当时，或，
故答案为：或．
（3）解：∵点、分别在二次函数和一次函数图像上，
∴，，
∴，
∴，
∵抛物线上存在两个不同的点，
∴，
∵，
∴，
∴．