3.8圆内接正多边形 课后培优提升训练（含答案） 北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.8圆内接正多边形 课后培优提升训练（含答案） 北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
3.8圆内接正多边形课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
2．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
3．如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，点，，，为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
5．若正方形的外接圆半径是，则其边心距为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
8．以同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等腰三角形 D．这个三角形是钝角三角形
9．如图，，和分别为内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是 ．
10．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
11．如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为 ．
12．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆O，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，的半径为．
(1)求作它的内接正方形；
(2)求正方形的边长．
14．如图，正六边形内接于，连接、．
(1)若P是上的动点，连接、，求的度数；
(2)若的面积为，求的面积．（结果保留）
15．如图，正十边形内接于，交于点．
(1)求的度数；
(2)当正十边形的边长时，求的长．
16．如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段的长．
17．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设．
(1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值；
(2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)连接，如果与相似，求的长．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．
(1)若，则正方形的面积为 ；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．B
8．B
二、填空题
9．12
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形．
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
是的直径，
，
四边形是正方形；
（2）解：的半径为，四边形是正方形，
，，
．
即正方形的边长为．
14．【详解】（1）如图所示，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
15．【详解】（1）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，，
∴，
∴的度数为．
（2）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴的长为．
16．【详解】（1）解：与相切．
理由如下：
四边形为正方形，
，
正方形沿折叠，使得点恰好落在上，
，
，
在和中，
，
，
，
为的半径，
为的切线：
（2）由（1）得，
，
点O、、E共线，
设，则，
，
为的直径，
，
，
在中，，
解得
即线段的长为．
17．【详解】（1）解：如图①，连接，
∵正六边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵Q为弧的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
如图①，作的延长线于，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴的正弦值为；
（2）解：如图②，在上取点，使，连接，
∵正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，，
∵点G不与点C、D重合，
∴，
∴，；
（3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；
①点在边上时，如图③，
由题意知，，
∴当与相似，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，，
∵，
∴，
解得，或，均不符合要求，舍去；
当时，，即，
解得，，
∵，
∴，
解得，或均不符合要求，舍去；
②当点在边的延长线上，如图④，
当时，，即，
解得，，
同理，解得，或，均不符合要求，舍去；
当时，，即，
解得，，
同理，解得，（不符合要求，舍去）或，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
综上所述，的长为．
18．【详解】（1）解：连接，
四边形是正方形，
，
解得：，
正方形的边长为4，
正方形的面积为16．
（2）解：①连接，，
四边形是正方形，且其面积为16，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得（舍）
，
．
②连接，，，
，且，
，，
又，
，
共线，
，
．
一、选择题
1．若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A． B． C． D．
2．以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，那么n的值可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
3．如图，正六边形内接于，半径为，则边心距的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
4．如图，点，，，为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
5．若正方形的外接圆半径是，则其边心距为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正八边形内接于，连接，相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．正六边形内接于，若的半径是2，则正六边形的周长是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
8．以同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则（ ）
A．不能构成三角形 B．这个三角形是直角三角形
C．这个三角形是等腰三角形 D．这个三角形是钝角三角形
9．如图，，和分别为内接正方形，正六边形和正边形的一边，则是 ．
10．如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是 ．
11．如图，半径为的正六边形内接于，则该正六边形的边心距OM为 ．
12．如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆O，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，的半径为．
(1)求作它的内接正方形；
(2)求正方形的边长．
14．如图，正六边形内接于，连接、．
(1)若P是上的动点，连接、，求的度数；
(2)若的面积为，求的面积．（结果保留）
15．如图，正十边形内接于，交于点．
(1)求的度数；
(2)当正十边形的边长时，求的长．
16．如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若正方形的边长为2，求线段的长．
17．如图，已知圆O是正六边形外接圆，直径，点G、H分别在射线上（点G不与点C、D重合），且，设．
(1)如图①，当直线经过弧的中点Q时，求：的正弦值；
(2)如图②，当点G在边上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)连接，如果与相似，求的长．
18．如图①，，分别是半圆的直径上的点，点，在上，且四边形是正方形．
(1)若，则正方形的面积为 ；
(2)如图②，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形，且其面积为16
①求的值；
②如图③，点，，分别在，，上，连接，，四边形是正方形．直接写出正方形与正方形的面积比．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．B
8．B
二、填空题
9．12
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形．
是的垂直平分线，
，
，
四边形是菱形，
是的直径，
，
四边形是正方形；
（2）解：的半径为，四边形是正方形，
，，
．
即正方形的边长为．
14．【详解】（1）如图所示，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
15．【详解】（1）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，，
∴，
∴的度数为．
（2）解：连接，
∵正十边形内接于，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去）
∴的长为．
16．【详解】（1）解：与相切．
理由如下：
四边形为正方形，
，
正方形沿折叠，使得点恰好落在上，
，
，
在和中，
，
，
，
为的半径，
为的切线：
（2）由（1）得，
，
点O、、E共线，
设，则，
，
为的直径，
，
，
在中，，
解得
即线段的长为．
17．【详解】（1）解：如图①，连接，
∵正六边形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵Q为弧的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
如图①，作的延长线于，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
∴的正弦值为；
（2）解：如图②，在上取点，使，连接，
∵正六边形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，，
∵点G不与点C、D重合，
∴，
∴，；
（3）解：由题意知，分①点在边上，②点在边的延长线上，两种情况求解；
①点在边上时，如图③，
由题意知，，
∴当与相似，分，两种情况求解；
当时，，即，
解得，，
∵，
∴，
解得，或，均不符合要求，舍去；
当时，，即，
解得，，
∵，
∴，
解得，或均不符合要求，舍去；
②当点在边的延长线上，如图④，
当时，，即，
解得，，
同理，解得，或，均不符合要求，舍去；
当时，，即，
解得，，
同理，解得，（不符合要求，舍去）或，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
综上所述，的长为．
18．【详解】（1）解：连接，
四边形是正方形，
，
解得：，
正方形的边长为4，
正方形的面积为16．
（2）解：①连接，，
四边形是正方形，且其面积为16，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得（舍）
，
．
②连接，，，
，且，
，，
又，
，
共线，
，
．