3.5确定圆的条件 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.5确定圆的条件 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 696.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
3.5确定圆的条件课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆
2．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．随点C的位置变化而变化
4．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ）
A． B．13 C．26 D．24
6．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
8．如图，分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
9．直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ．
10．点为的外心，且，则的度数为 ．
11．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为 ．
12．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ．
三、解答题
13．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮．
(1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹）
(2)求车轮的半径是多少？
14．如图，内接于，．连接并延长，交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若的半径为5，，求的长．
15．如图，在中，于点D，，．
(1)求的长；
(2)若，求外接圆的半径．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
(1)如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标；
(2)连接，，求外接圆圆心的坐标；
(3)若为抛物线上的一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值．
17．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点D．
(1)求证：；
(2)若，时，求的半径．
18．如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接，
(1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）．
(2)若，为直角三角形时，求的值．
(3)点在的内部，直接写出的取值范围．
(4)求半径的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．D
7．D
8．B
二、填空题
9．5
10．或
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
14．【解】（1）证明：如图1，连接、，
∵内接于，
∴，
∵，
∴，
∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）解：由（1）知，，，
由垂径定理可得，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
15．【解】（1）解：∵于点D，，，
∴,
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴外接圆的半径．
16．【解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线的函数解析式为．
∵，顶点为，
∴．
（2）解：设圆心为（如图），半径为，连接，
∵三角形外接圆圆心在三条边的垂直平分线上，则，
∴点在的图象的对称轴上，
∵，
∴，．
令，
解得：，，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：∵点与点P关于原点对称，，
∴．
∵点和点P都在抛物线上，
∴，
解得：．
17．【解】（1）连接，
∵，
∴，
又∵O为的外心，
∴垂直平分，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点，则：，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
在中：，即：，
解得：（负值已舍掉）；
∴，
即：的半径为4．
18．【解】（1）解：的外接圆的圆心是的外心（外心或内心）；
如图，分别作的平分线交于点P，
∵和都是等边三角形，
∴垂直平分，垂直平分，，
∵外接，
∴点O在和的垂直平分线上，
∴点O与点P重合，
∴点的位置是不变；
故答案为∶ 外心、不变；
（2）解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
即，
∵，
∴，
即；
当时， ，
∴，即，
∵，
∴，
即；
（3）解：当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
∴点在的内部，的取值范围为；
（4）解：如图, 连接，
由（1）得：当时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
即半径的最小值为．
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弧也相等
C．等弧所对的弦相等 D．过平面上三点可以画一个圆
2．已知线段，经过、两点且半径为5的圆有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（ ）
A． B．
C． D．随点C的位置变化而变化
4．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ）
A． B．13 C．26 D．24
6．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．能完全覆盖住三角形的最小圆，叫做三角形的最小覆盖圆．在中，，，则的最小覆盖圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
8．如图，分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
9．直角三角形的两直角边长是一元二次方程 的两根，则该三角形外接圆的半径是 ．
10．点为的外心，且，则的度数为 ．
11．已知等腰直角三角形的腰长为2，则此三角形的重心与外心之间的距离为 ．
12．如图，是的内接三角形，将劣弧沿弦折叠后刚好经过弦中点，若，，则的半径为 ．
三、解答题
13．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，现在需要加工与原来大小相同的车轮．
(1)用尺规确定弧所在圆的圆心O；（不写作图过程，保留作图痕迹）
(2)求车轮的半径是多少？
14．如图，内接于，．连接并延长，交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若的半径为5，，求的长．
15．如图，在中，于点D，，．
(1)求的长；
(2)若，求外接圆的半径．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点（在的右侧），与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点．
(1)如图，求抛物线的函数解析式及点的坐标；
(2)连接，，求外接圆圆心的坐标；
(3)若为抛物线上的一个动点，点P关于原点对称的点为，当点落在此抛物线上时，求的值．
17．如图，中，，是的外接圆，的延长线交边于点D．
(1)求证：；
(2)若，时，求的半径．
18．如图，线段，在线段的一个动点，以、为边作等边三角形和等边三角形，外接，
(1)的外接圆的圆心是的________（外心或内心）；点的位置是否发生改变________（变或不变）．
(2)若，为直角三角形时，求的值．
(3)点在的内部，直接写出的取值范围．
(4)求半径的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．D
7．D
8．B
二、填空题
9．5
10．或
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：如图，点即为所求的圆心；
（2）解：如图，连接，，设车轮的半径为，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
答：车轮的半径是．
14．【解】（1）证明：如图1，连接、，
∵内接于，
∴，
∵，
∴，
∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）解：由（1）知，，，
由垂径定理可得，，
由勾股定理得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
15．【解】（1）解：∵于点D，，，
∴,
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴外接圆的半径．
16．【解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线的函数解析式为．
∵，顶点为，
∴．
（2）解：设圆心为（如图），半径为，连接，
∵三角形外接圆圆心在三条边的垂直平分线上，则，
∴点在的图象的对称轴上，
∵，
∴，．
令，
解得：，，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
∴，
∴．
（3）解：∵点与点P关于原点对称，，
∴．
∵点和点P都在抛物线上，
∴，
解得：．
17．【解】（1）连接，
∵，
∴，
又∵O为的外心，
∴垂直平分，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点，则：，过点作，交的延长线于点，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
在中：，即：，
解得：（负值已舍掉）；
∴，
即：的半径为4．
18．【解】（1）解：的外接圆的圆心是的外心（外心或内心）；
如图，分别作的平分线交于点P，
∵和都是等边三角形，
∴垂直平分，垂直平分，，
∵外接，
∴点O在和的垂直平分线上，
∴点O与点P重合，
∴点的位置是不变；
故答案为∶ 外心、不变；
（2）解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，
当时，，
∴，
即，
∵，
∴，
即；
当时， ，
∴，即，
∵，
∴，
即；
（3）解：当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
当圆心O在边上时，，
由（2）得：此时；
∴点在的内部，的取值范围为；
（4）解：如图, 连接，
由（1）得：当时，最小，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
即半径的最小值为．