3.4圆周角和圆心角的关系 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.4圆周角和圆心角的关系 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 925.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
3.4圆周角和圆心角的关系课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的弦是直径
C．在圆中，角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，是的外接圆，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的弦，于点D，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是的内接四边形，，连接、．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为 ．
10．如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则的度数为 ．
11．经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为 ．
12．如图，的直径垂直于弦于点，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，，，若，，则的半径为 ，的长度为 ．
三、解答题
13．如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求和的长．
14．在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为3，，求的长．
15．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
16．如图1，在直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，为半径的半圆交轴于点，在半圆弧上取点，连接，
(1)若点是点关于中心对称的点，请判断四边形的形状．
(2)如图2，上取点使得，连接．
①若点的横坐标为2，求的长．
②求的最小值．
17．如图，四边形内接于，点是上一点，连结交于点，交的延长线于点，连结，若是的直径，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
18．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数；
(3)如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．C
5．C
6．B
7．D
8．D
二、填空题
9．/42度
10．/125度
11．
12．3
三、解答题
13．【解】（1）证明：如图，连接，
∵ D是 的中点，
∴，
∴，
∵是的直径,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
14．【解】（1）解：连接 ，
是直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
.
（2）解：，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
∴设，
，
∴，
（舍），
，
又，
.
15．【解】（1）解：设的半径是r，则，
∵
∴，
∵直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
16．【解】（1）解：如图1，连接，
∵点是点关于中心对称的点，
∴三点共线，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是半圆的直径，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①如图，作轴于点E．
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C的横坐标为2，点M的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②在y轴上取点F，使得，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴当点F、C、M三点共线时，取最小值，此时有最小值．
在中，，
此时，
∴的最小值为．
17．【解】（1）证明：因为，
因为，，
所以．
（2）证明：因为，
所以，
因为是的直径，
所以，
所以，，
所以，
因为和是所对的圆周角，
所以，
所以．
（3）解：连结，
由（2）得，
所以，即
因为，
所以，
因为，
所以，
因为是的直径，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，即
所以，
设，则，，
所以，
因为，
因为，，
所以，
所以（负值已舍去），
所以，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
18．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：∵是中点且，
∴，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
当弦所对的圆周角在上时，，
当弦所对的圆周角在上时，，
∴弦对的圆周角为或；
（3）证明：如图3，过点作于，于，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴的面积分别为
，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的黄金分割点．
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的弦是直径
C．在圆中，角所对的弦是直径 D．相等的圆心角所对的弧相等
2．如图，在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，以为直径的圆交于点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
4．如图，是的外接圆，，则的直径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形内接于．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的弦，于点D，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形是的内接四边形，，连接、．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．如图，四边形是的内接四边形，弦．若，则的度数为 ．
10．如图所示，四边形内接于，为延长线上一点，，则的度数为 ．
11．经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为，点B坐标为，则的值为 ．
12．如图，的直径垂直于弦于点，是圆上一点，是的中点，连接交于点，连接，，，若，，则的半径为 ，的长度为 ．
三、解答题
13．如图，是的直径，是弦，D是的中点，交于点F，过点D作 于点G，交于点E．
(1)求证：．
(2)若，，求和的长．
14．在中，，以为直径的交于点，点为的中点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为3，，求的长．
15．如图，是的直径，弦于点E，点M在上，恰好经过圆心O，连接．
(1)若，，求的直径；
(2)若，求的度数．
16．如图1，在直角坐标系中，点的坐标为，以为圆心，为半径的半圆交轴于点，在半圆弧上取点，连接，
(1)若点是点关于中心对称的点，请判断四边形的形状．
(2)如图2，上取点使得，连接．
①若点的横坐标为2，求的长．
②求的最小值．
17．如图，四边形内接于，点是上一点，连结交于点，交的延长线于点，连结，若是的直径，．
(1)求证：．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
18．如图1，在半径为1的中，弦，点是的延长线与的交点，连接．
(1)求证：平分；
(2)如图2，若点是的中点，求弦所对的圆周角的度数；
(3)如图1，如果将的面积分别记为，如果，请证明点为线段的黄金分割点．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．C
5．C
6．B
7．D
8．D
二、填空题
9．/42度
10．/125度
11．
12．3
三、解答题
13．【解】（1）证明：如图，连接，
∵ D是 的中点，
∴，
∴，
∵是的直径,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，．
14．【解】（1）解：连接 ，
是直径，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
.
（2）解：，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
∴设，
，
∴，
（舍），
，
又，
.
15．【解】（1）解：设的半径是r，则，
∵
∴，
∵直径，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
16．【解】（1）解：如图1，连接，
∵点是点关于中心对称的点，
∴三点共线，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵是半圆的直径，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①如图，作轴于点E．
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点C的横坐标为2，点M的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②在y轴上取点F，使得，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴当点F、C、M三点共线时，取最小值，此时有最小值．
在中，，
此时，
∴的最小值为．
17．【解】（1）证明：因为，
因为，，
所以．
（2）证明：因为，
所以，
因为是的直径，
所以，
所以，，
所以，
因为和是所对的圆周角，
所以，
所以．
（3）解：连结，
由（2）得，
所以，即
因为，
所以，
因为，
所以，
因为是的直径，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，即
所以，
设，则，，
所以，
因为，
因为，，
所以，
所以（负值已舍去），
所以，，，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以．
18．【解】（1）证明：∵，
∴，
∴，即平分；
（2）解：∵是中点且，
∴，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴，
当弦所对的圆周角在上时，，
当弦所对的圆周角在上时，，
∴弦对的圆周角为或；
（3）证明：如图3，过点作于，于，
由（1）知，，
∵，，
∴，
∴的面积分别为
，
∵，
∴，
∴，
∴点为线段的黄金分割点．