3.3垂径定理课后 培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 3.3垂径定理课后 培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
|
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
3.3垂径定理课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．直径为8的圆内一点M到圆心O的距离是3，则过点M的弦中，长度为整数的条数有（ ）条
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，，若，，则的半径长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，直径为的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽，若油面下降后，截面上有油部分的宽度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
8．如图，半径为的中，弦于，分别以、，，为边作正方形，，，，若记这四个正方形的面积分别为 ，，，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则 ．
10．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
11．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为 ．
三、解答题
13．图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，．
(1)若于点，求的长．
(2)求公路隧道轮廓的最大高度．
14．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
15．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．
(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
16．在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接．
(1)如图1，若经过点，的半径为5，求的长度；
(2)如图2，若不经过点，记与交于点，．
①若，求的长度；
②若设，则与之间的关系式为________；
③如图3，连接，若，求的半径．
17．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图平面直角坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船能通过，则其宽度不能超过多少米？
(2)如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船能通过，则其宽度不能超过多少米？
18．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．A
4．B
5．B
6．C
7．A
8．D
二、填空题
9．12
10．
11．13米
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，，
，
又，
；
（2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
由（1）知，故；
设，则．
∴．
在中，根据勾股定理，；
在中，同理得．
∵，
∴，
解得，即．
在中，，
即的半径．
∴；
答：公路隧道轮廓的最大高度为．
14．【解】（1）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【解】（1）解：连接，如图，
设的半径长为r，
∵，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．
16．【解】（1）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接，如图所示：
同理（1）可得：，，
∴，
∵，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴；
②同理①可得：，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：；
∴与之间的关系式为；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
∴．
17．【解】（1）解：设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度是米，高是米，
∴，，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
要使高为米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴米，
∴宽度须不超过米；
（2）解：设圆半径米，圆心为，
，
∴，
解得：，
∴圆的半径为；
令，
在中，
由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
∴，
，
∴宽度米，
∴其宽度须不超过米．
18．【解】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连结，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
∵，
∴．
一、选择题
1．直径为8的圆内一点M到圆心O的距离是3，则过点M的弦中，长度为整数的条数有（ ）条
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图， 为的直径，， 交于点E， 若，， 则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
3．如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，，若，，则的半径长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，直径为的圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，油面宽，若油面下降后，截面上有油部分的宽度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是劣弧上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦 B．长度相等的两条弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．平分弦的直径垂直于弦
8．如图，半径为的中，弦于，分别以、，，为边作正方形，，，，若记这四个正方形的面积分别为 ，，，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则 ．
10．如图，为的直径，弦于点F，于点E，若，，则的长度为 ．
11．如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为 ．
12．如图，平面直角坐标系中，点，，，则过三点的圆的圆心坐标为 ．
三、解答题
13．图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，．
(1)若于点，求的长．
(2)求公路隧道轮廓的最大高度．
14．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
15．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．
(1)求的半径长；
(2)连接，作于点F，求的长．
16．在中，直径弦，垂足为点，连接．以、为一组邻边构造，连接．
(1)如图1，若经过点，的半径为5，求的长度；
(2)如图2，若不经过点，记与交于点，．
①若，求的长度；
②若设，则与之间的关系式为________；
③如图3，连接，若，求的半径．
17．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米．
(1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图平面直角坐标系．
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船能通过，则其宽度不能超过多少米？
(2)如图2，若把桥看做是圆的一部分．
①求圆的半径；
②要使高为3米的船能通过，则其宽度不能超过多少米？
18．如图，的直径垂直弦于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结交于点G，连结．
(1)求证：；
(2)若，，求．
参考答案
一、选择题
1．C
2．C
3．A
4．B
5．B
6．C
7．A
8．D
二、填空题
9．12
10．
11．13米
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：，，
，
又，
；
（2）解：如图，过点作于点，连接、，延长交弧于点，．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，．
由（1）知，故；
设，则．
∴．
在中，根据勾股定理，；
在中，同理得．
∵，
∴，
解得，即．
在中，，
即的半径．
∴；
答：公路隧道轮廓的最大高度为．
14．【解】（1）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：如图，过点作，垂足为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．【解】（1）解：连接，如图，
设的半径长为r，
∵，
∴，，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
即的半径长为5；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
即的长为．
16．【解】（1）解：∵的半径为5，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①连接，如图所示：
同理（1）可得：，，
∴，
∵，
∴，
设，则有，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
∴；
②同理①可得：，
∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：；
∴与之间的关系式为；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
∴．
17．【解】（1）解：设抛物线解析式为：，
∵桥下水面宽度是米，高是米，
∴，，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
要使高为米的船通过，
∴，则，
解得：，
∴米，
∴宽度须不超过米；
（2）解：设圆半径米，圆心为，
，
∴，
解得：，
∴圆的半径为；
令，
在中，
由题可知，，，
根据勾股定理知：，
即，
∴，
，
∴宽度米，
∴其宽度须不超过米．
18．【解】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连结，
设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴
，
解得：，（舍去），
∴，
∴．
∵，
∴．