3.1圆课后 培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

3.1圆课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．有一个边长为50 cm的正方形洞口，要用一个圆盖去盖住这个洞口，那么圆盖的直径至少应为( )
A．50cm B．cm C． cm D．cm
2．如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在外 B．点A在上
C．点A在内 D．以上都有可能
5．已知一个点到圆上的点的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径是（ ）．
A． B． C．或 D．不能确定
6．如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，抛物线与轴交于A、B两点，P是以点为圆心、2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结，则线段的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点C在线段上，，以为直径的三个圆的面积分别为，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图是由10个半径相同的圆组合而成的烟花横截面，点A、B、C分别是三个角上的圆的圆心，且三角形为等边三角形，若圆的半径为，组合烟花的高为，则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要（接缝面积不计） ．（取3）
10．如图，的圆心与正方形的中心重合，已知的半径和正方形的边长都为2，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为 ．
11．如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ．
12．“数缺形时少直观，形少数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点，，两点均在轴上，且，的最大值为 ．
三、解答题
13．如图，半径为7的上有一动点B，点A为半径上一点，且最大为10，以为边向外作正方形，连接．
(1)请直接写出的长．
(2)过点A作，且，连接，在点B的运动过程中，的长度会发生变化吗？变化请说明理由，不变化请求出的长．
(3)当点A，B，F三点在一条直线上时，请直接写的长．
(4)请直接写出的最大值和最小值．
14．如图，在中，，D是的中点，现在以D为圆心，以为半径作，求：
(1)时，点A与的位置关系；
(2)时，点A与的位置关系；
(3) 时，点A与的位置关系．
15．如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了．
(1)这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？
(2)A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？
16．在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点．
(1)如图，点，，点，点为点的反转点．
①当时，在图中画出点，并写出点的坐标为______；
②当时，求线段长的取值范围；
(2)已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点．若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差．
17．如图1，正方形的边长为6，E是正方形内一点，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点O，连接．

【初步感知】（1）求证：①；②；
【研究感悟】（2）如图2，在线段上截取，连接，当时，求线段的长；
【深度探索】（3）请直接写出线段的最大值．
18．如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、．
(1)求证：；
(2)当时，求的长；
(3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离；
(4)直接写出线段的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．C
4．A
5．C
6．B
7．C
8．C
二、填空题
9．960
10．/
11．
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：连接，
∵，仅当A，O，B共线时，，
又∵最大为10，，
∴；
（2）解：的长度不变，理由如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：根据题意得：，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
当点B在F上方时，，
当点B在F下方时， ，
∴综上所述，的长为或；
（4）解：作，且，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，最小值为．
∴的最大值为12，最小值为2．
14．【解】（1）解：连接，如图：
∵在中，，点是的中点，
∴，，
在中，，
∵，
∴点在内；
（2）解：∵在中，，，点是的中点，
∴，，
在中，，
∵，
∴点在外；
（3）解：∵在中，，，点是的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴点在上．
15．【解】（1）解：A玉米试验田平均每平方米的产量是：
，
B玉米试验田平均每平方米的产量是：
，
答：A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是．
（2）解：
．
答：A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍．
16．【解】（1）解：①当时，点，画图如下：
∵记点关于点的对称点为，而，
∴
由旋转得，
∴，过点分别作轴的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
②由得，
∴点的轨迹为一条线段，
而，则，
由得，
∴，
∴
∴
而，
令，抛物线开口向上，
∴当，，即，
当时，，时，，
∴，
故的取值范围为：；
（2）解：如图，固定变量，假设点P为第一象限定点，
过点P作点的对称点记为M，连接，则点M为定点，
则为的中位线，
∴
∴点轨迹为以M为圆心，为半径的圆，
连接，将绕点B逆时针旋转得到，则，点N为定点，
由题意得，
∴，
∴，
∴，
∴点Q的轨迹为以N为圆心，为半径的圆，
连接，由得
．
17．【解】解：（1）①由旋转的性质得，正方形中，，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
，
又，
，
；
（2）解：由题意知，在中，，，
，
∴，
由旋转知，，
∵，
∴，
由（1）知，
，
，
设，则，
，
，
，
，
∴，
在中，
；
（3）
在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图，
∵，
∴，
在正方形中，，，连接，
根据勾股定理可得，
当点F在射线上时（即C、F、M三点共线），取得最大值．
此时；

18．【解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，如图所示：
∵，是边的中点，
∴，
在中，则，
在中，，则，
由（1）中可知；
（3）解：过点作交的延长线于点，如图所示：
由（2）知，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴点F到直线的距离为；
（4）解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵，，点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，
∴，
∴，
∴线段的最小值为．