5.2.1等式的性质与方程的简单变形 课后培优训练（含答案） 华东师大版2025—2026学年 七年级下册
文档属性
| 名称 | 5.2.1等式的性质与方程的简单变形 课后培优训练（含答案） 华东师大版2025—2026学年 七年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 399.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
5.2.1等式的性质与方程的简单变形课后培优训练华东师大版2025—2026学年 七年级下册
一、选择题
1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列变形正确的是 （ ）
A．变形得 B．变形得
C．变形得 D．变形得
3．已知，下列等式的变形不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，观察如图1所示的创新“幻方”，发现每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
5．如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：
①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若式子与的值相等，则x的值是 ．
10．方程和方程有相同的解，则 ．
11．如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为y，若，则的值为 ．
12．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．如图是一个幻方的一部分，则 ；
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：．
(1)______；
(2)当，时，有，求的值；
(3)化简：．
15．已知，利用等式的性质，求：
(1)和的值；
(2)的值．
16．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程：
实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干．
实验记录：
天平左边 天平右边 天平状态
记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡
记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡
根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题：
(1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克；
(2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克．
17．在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的：
解：方程两边加3，得．①
化简，得．
方程两边除以，得．②
所以此方程无解．
(1)上述过程中，第①步的依据是什么？
(2)请分析小华第②步产生错误的原因；
(3)写出正确的解题过程．
18．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方．
(1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次）
①将图1的三阶幻方补充完整；
②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系；
(2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．C
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（2）解：移项，得，
合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（4）解：合并同类项，得，
将的系数化为1，得．
14．【详解】（1）解：．
故答案为：
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：当时，；
当时，；
当时，为．
15．【详解】（1）解：根据题意，得，
在左右两边同时乘b，得，
在左右两边同时除以，得，
在等式，左右两边同时加3，得，即，
在左右两边同时加b，得；
（2），
由（1）知，，
故原式．
16．【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克，
由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，解得，，
一枚硬币的质量为克，
由（1）知，一支粉笔的质量为克，
一支粉笔的质量为克，
因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克．
17．【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立；
（2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数；
（3）解：正确的解题过程如下：
方程：，
方程两边加3，得，
方程两边减去，得，
即．
18．【详解】（1）解：①∵，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为，
故满足题意的幻方可以是下图所示
②右下角的数，
∵左上角的数，
∴；
（2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，
∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于，
∴，
∴，
∴右上角的数字为，
∴右下角的数字为，左上角的数字为，
∴左上角的数字为，
∴，
∴．
一、选择题
1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．下列变形正确的是 （ ）
A．变形得 B．变形得
C．变形得 D．变形得
3．已知，下列等式的变形不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，观察如图1所示的创新“幻方”，发现每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的规律填写图2，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
5．如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
6．有三种物体□，△，○，相同物体的重量相同，将它们放在天平上称量，结果如图（a）和图（b）所示，那么在图（c）所示的天平中，砝码的重量可能为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且，则下列结论中：
①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若有理数，，为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若式子与的值相等，则x的值是 ．
10．方程和方程有相同的解，则 ．
11．如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为y，若，则的值为 ．
12．幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．如图是一个幻方的一部分，则 ；
三、解答题
13．解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
14．对于任意一个有理数x，把称作x的关联数，并规定：当时，；当时，例如：．
(1)______；
(2)当，时，有，求的值；
(3)化简：．
15．已知，利用等式的性质，求：
(1)和的值；
(2)的值．
16．遵义某中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平和一个5克的砝码，如何测出一枚一元的硬币和一支粉笔的质量呢？以下是奇思妙想小组的实验过程：
实验准备：质量相同的硬币若干和质量相同的粉笔若干．
实验记录：
天平左边 天平右边 天平状态
记录1 5枚硬币+1个5克砝码 7支粉笔 平衡
记录2 10枚硬币+3支粉笔 14支粉笔+1个5克砝码 平衡
根据奇思妙想小组的实验记录，完成下列问题：
(1)设一枚硬币的质量为克，用含的代数式表示一支粉笔的质量为_______克或_______克；
(2)请你求出一枚硬币和一支粉笔的质量分别是多少克．
17．在利用等式的性质解方程时．小华同学是这样解的：
解：方程两边加3，得．①
化简，得．
方程两边除以，得．②
所以此方程无解．
(1)上述过程中，第①步的依据是什么？
(2)请分析小华第②步产生错误的原因；
(3)写出正确的解题过程．
18．幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方．
(1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次）
①将图1的三阶幻方补充完整；
②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系；
(2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．C
4．B
5．C
6．B
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（2）解：移项，得，
合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（3）解：移项，得，
合并同类项，得，
将的系数化为1，得；
（4）解：合并同类项，得，
将的系数化为1，得．
14．【详解】（1）解：．
故答案为：
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：当时，；
当时，；
当时，为．
15．【详解】（1）解：根据题意，得，
在左右两边同时乘b，得，
在左右两边同时除以，得，
在等式，左右两边同时加3，得，即，
在左右两边同时加b，得；
（2），
由（1）知，，
故原式．
16．【详解】（1）解：由记录1可知，7支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克，
由记录2可知，11支粉笔的质量为克，则一支粉笔的质量为克，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，，解得，，
一枚硬币的质量为克，
由（1）知，一支粉笔的质量为克，
一支粉笔的质量为克，
因此，一枚硬币和一支粉笔的质量分别是6克，5克．
17．【详解】（1）解：第①步的依据是等式的性质1：等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立；
（2）解：第②步错误的原因是：从，方程两边除以x，但x可能为0，而0不能作为除数；
（3）解：正确的解题过程如下：
方程：，
方程两边加3，得，
方程两边减去，得，
即．
18．【详解】（1）解：①∵，
∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为，
故满足题意的幻方可以是下图所示
②右下角的数，
∵左上角的数，
∴；
（2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，
∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于，
∴，
∴，
∴右上角的数字为，
∴右下角的数字为，左上角的数字为，
∴左上角的数字为，
∴，
∴．