1.5三角函数的应用 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.5三角函数的应用 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 938.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
1.5三角函数的应用课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．25米 B．米 C．米 D．米
3．在中，，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米．
A． B．
C． D．
5．如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙，已知，，则缝隙宽为（ ）
A． B． C． D．
6．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（ ）
A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里
二、填空题
9．已知，如图，在中，，若，则 ．
10．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点）
11．如图，某校科技兴趣小组利用金属探测仪进行野外考古挖掘实践，小组成员利用金属探测仪在地面、两个探测点探测到处有金属迹象．已知、两点相距2米，探测线、与地面的夹角分别是和，金属疑是点与地面的距离约 米（精确到0.1米，参考数据：）
12．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，
三、解答题
13．如图1，为建设美好公园社区，某社区服务中心在文化活动室外安装遮阳篷，如图2侧面示意图中，遮阳篷离地高记为，遮阳篷长为米，与水平线的夹角为．
(1)求点到的距离；
(2)当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为米，求遮阳篷离地高的长．（参考数据：）（结果精确到米）
14．如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处．（参考数据：、）
(1)求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
(2)现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数．（结果保留根号）
15．如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离；
(2)求．
（参考数据：，，）
16．如图所示的是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，，，，，．（点，，，，，，在同一平面内）
(1)______度，______度．
(2)求机械臂端点到工作台的距离的长．（）
17．每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）．
(1)求、两地间的距离（结果保留根号）；
(2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明．
18．在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接，
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．C
5．A
6．D
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．1.7
12．75
三、解答题
13．【解】解：（1）过点作于点，
．
在中，
点到墙面的距离约为；
（2）解：过点作，垂足为，
由题意得四边形是矩形，
∴，
∵，
．
在中，，
．
在中，
，
遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为．
14．【解】（1）解：如图一，过点D作，过点A作，
则，
由题意知：，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，∵，
∴（海里），
∴（海里），
∴（海里），
∴（海里）．
答：A岛与B岛之间的距离约为8.9海里．
（2）解：如图二，假设甲、乙两艘渔船分别行驶到点P和点M时相距10海里，过点M作于点N．
设甲渔船行驶了x海里，则乙渔船行驶了海里．
在中，∵，海里，
∴海里，
∴海里，
∴（海里），
在中，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
答：当两艘渔船行驶到相距10海里时，甲渔船行驶了海里．
15．【解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由，
，
答：岛与港口之间的距离为；
（2）解：在中，，
，
，
，
在中，．
16．【解】（1）解：，，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
；
故答案为：；；
（2）解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
17．【解】（1）解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
，
在中，，
，
答：、两地间的距离为．
（2）解：小庆先到达打卡点，理由如下：
如图，过点作于点，
，
在中，，，
，
在中，，
，，
分钟，
，
分钟，
小庆先到达打卡点．
18．【解】（1）解：四边形是菱形，
，
已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式，
可得，
在中，
．
故答案为：；
（2）解：如图：过作交于，
由（1）知，
，
设正方形的边长为，又，
，，
在中，
，，
四边形是正方形，
，又，
，
，
四边形是菱形，，
，
解得：
正方形的边长．
一、选择题
1．在中，，的对边分别是，那么下列等式中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．25米 B．米 C．米 D．米
3．在中，，如果，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米．
A． B．
C． D．
5．如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙，已知，，则缝隙宽为（ ）
A． B． C． D．
6．已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，，杯中水面与交于点，当水杯底面与水平面的夹角为时，则杯中水的最大深度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里，若该渔船由西向东航行3海里到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东方向上，则该渔船此时与小岛C之间的距离是（ ）
A．4海里 B．4.5海里 C．5海里 D．5.5海里
二、填空题
9．已知，如图，在中，，若，则 ．
10．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点）
11．如图，某校科技兴趣小组利用金属探测仪进行野外考古挖掘实践，小组成员利用金属探测仪在地面、两个探测点探测到处有金属迹象．已知、两点相距2米，探测线、与地面的夹角分别是和，金属疑是点与地面的距离约 米（精确到0.1米，参考数据：）
12．如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，，
三、解答题
13．如图1，为建设美好公园社区，某社区服务中心在文化活动室外安装遮阳篷，如图2侧面示意图中，遮阳篷离地高记为，遮阳篷长为米，与水平线的夹角为．
(1)求点到的距离；
(2)当太阳光线与水平线的夹角为时，量得为米，求遮阳篷离地高的长．（参考数据：）（结果精确到米）
14．如图，A、B、C、D是某海平面上的四个岛屿，其中B岛位于A岛的正北方向，D岛位于A岛的南偏东方向，C岛分别位于B岛的正东方向海里和D岛的东北方向30海里处．（参考数据：、）
(1)求A岛和B岛之间的距离；（结果保留到小数点后一位）
(2)现有甲、乙两艘渔船分别从B岛、D岛同时出发匀速直线开往C岛，已知乙渔船的速度是甲渔船速度的倍，当两艘渔船行驶到相距10海里时，求甲渔船行驶的里程数．（结果保留根号）
15．如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且B，D，C三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离；
(2)求．
（参考数据：，，）
16．如图所示的是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，为机械臂，，，，，，，，．（点，，，，，，在同一平面内）
(1)______度，______度．
(2)求机械臂端点到工作台的距离的长．（）
17．每逢九月、十月，万州中学的三角梅花瀑便成为校园一景，吸引着众多师生课间打卡．如图，点、、、在同一平面内．某日小庆和小阳两人同时从点出发前往打卡地点处，点在点南偏东方向，由于、两地间正在举行活动不能直接通行，所以他们沿不同路线前往．小庆先从点向北偏东方向步行到点，再从点向南偏西方向步行到点；小阳先从点出发步行到点，已知点在点的北偏东方向，再从点向正东方向步行600米到点．（参考数据：，，，）．
(1)求、两地间的距离（结果保留根号）；
(2)小庆步行速度是每分钟60米，小阳步行速度是每分钟80米，两人在各点处停留的时间忽略不计，谁先到达打卡地点？请通过计算说明．
18．在菱形中，cm，其面积是，点E是边上的任意一点，且点E不与点B，C重合，连接，
(1)如图1，当时，求的长；
(2)如图2，在线段上取一点F，使，以为边向右作正方形，当点M落在边上时，求正方形的边长．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．C
5．A
6．D
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．1.7
12．75
三、解答题
13．【解】解：（1）过点作于点，
．
在中，
点到墙面的距离约为；
（2）解：过点作，垂足为，
由题意得四边形是矩形，
∴，
∵，
．
在中，，
．
在中，
，
遮阳篷靠墙端距离地面的高度约为．
14．【解】（1）解：如图一，过点D作，过点A作，
则，
由题意知：，，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
在中，∵，
∴（海里），
∴（海里），
∴（海里），
∴（海里）．
答：A岛与B岛之间的距离约为8.9海里．
（2）解：如图二，假设甲、乙两艘渔船分别行驶到点P和点M时相距10海里，过点M作于点N．
设甲渔船行驶了x海里，则乙渔船行驶了海里．
在中，∵，海里，
∴海里，
∴海里，
∴（海里），
在中，，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），
答：当两艘渔船行驶到相距10海里时，甲渔船行驶了海里．
15．【解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由，
，
答：岛与港口之间的距离为；
（2）解：在中，，
，
，
，
在中，．
16．【解】（1）解：，，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
；
故答案为：；；
（2）解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
．
17．【解】（1）解：如图，过点作于点，
由题意得：，，
，
在中，，
，
答：、两地间的距离为．
（2）解：小庆先到达打卡点，理由如下：
如图，过点作于点，
，
在中，，，
，
在中，，
，，
分钟，
，
分钟，
小庆先到达打卡点．
18．【解】（1）解：四边形是菱形，
，
已知菱形面积为，且，根据菱形面积公式，
可得，
在中，
．
故答案为：；
（2）解：如图：过作交于，
由（1）知，
，
设正方形的边长为，又，
，，
在中，
，，
四边形是正方形，
，又，
，
，
四边形是菱形，，
，
解得：
正方形的边长．