1.3.三角函数的计算 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册

1.3.三角函数的计算课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．我们规定：若是锐角，则，已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．若锐角满足，则锐角的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．一次函数的图象与轴正方向所夹锐角为，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点A为反比例函数图像上一点，B、C分别在x、y轴上，连接AB与y轴相交于点D，已知，且的面积为2，则k的值为（ ）

A．2 B． C． D．4
二、填空题
9．若，是一个三角形的两个锐角，且满足，则此三角形的形状是 ．
10．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于 ．
11．在中，，若，则 ．
12．如图，在矩形中，，，是上一点，且，则 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)．
14．已知中的与满足．
(1)试判断的形状．
(2)求的值．
15．（1）已知，均为锐角，，，求的度数．如图1，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和（点A，B，C，D都在格点上），请你按照这个思路求的度数．
（2）已知，均为锐角，，，则________；
（3）已知，，均为锐角，，，，请在图2中自行构图求的值．
16．计算与求值：
(1)；
(2)已知，求a的值．
17．如图，在中，，点，分别在边，上，．
(1)求证：；
(2)若，，求；
(3)若，，求的长．
18．如图，在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，当，且时，求的长；
(3)如图3，延长，与的角平分线交于点交于点，当时，求的值．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．A
4．D
5．C
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．直角三角形
10．/30度
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：；
（2）解：
．
14．【详解】解：（1），
，
是锐角三角形．
（2），
原式．
15．【详解】解：（1）如图所示，取格点E、F，连接，
在中，，
在中，，
∴
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）∵，均为锐角，，，
∴，
∴；
（3）如图所示，，
∴，
∴，
∴；
由网格的特点和勾股定理可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
16．【详解】（1）解：．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【详解】（1）证明：，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
18．【解】（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵沿翻折，使点C恰好落在边上点F处，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
（2），
∴，
∴，
∴，即，
∵，且，
，解得；
（3）过点N作，垂足为G，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．