1.2. 30°，45°，60°角的三角函数值 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册

1.2. 30°，45°，60°角的三角函数值课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．的值为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，若，均为锐角，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知锐角满足，则锐角的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，绕点逆时针旋转后得到．若点恰好落在边上，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等边三角形中，，垂足为点，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，D为边的中点，E为边上任意一点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一块平行四边形玻璃，已知，，，则这块玻璃的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在锐角中，，，则 ．
10．在中，若，则的度数为 ．
11．如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为 ．
12．如图，在中，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值为 ．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）计算：．
14．如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交边，于点，，垂足为．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积．
15．计算：
(1)
(2)
(3)
16．已知中，与满足
(1)试判断．的形状；
(2)求的值．
17．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
(1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：．
(2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ．
18．如图，在正方形中，将边绕A点逆时针旋转30°，得到线段，连接，，，交于点F．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：．
参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．D
4．B
5．D
6．B
7．B
8．D
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】解：（1）
；
（2）
．
14．【详解】（1）证明：垂直平分，
，，
四边形是平行四边形
，
，
在与中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形为菱形；
（2）解：，
，
，
四边形为菱形，
为的中点，
∵为线段的中点，
是三角形的中位线．
，
，
，，
，，
如图，作，垂足为，则，
，
则．
15．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
16．【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（2）由（1）可知:，，
∴原式．
17．【详解】（1）解：四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）解：仍然成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
（3）解：过点 C 作 于 点H
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴．
18．【解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴，，
∵将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴在和中，
∴(SAS)，
∴，
（2）解：过点F作于点G，
即，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵在中，
，
∴，
∴．
（3）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．