1.1锐角三角函数 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册

1.1锐角三角函数课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级下册
一、选择题
1．在中，，若将三边的长都缩小为原来的，则锐角的三角函数值（ ）
A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的3倍
C．只有发生变化 D．都不变
2．已知中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，的顶点在正方形网格的交点处，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
6．如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．第14届国际数学教育大会会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、交于点P，则的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题
9．如图，在中，，是边上的中线，若，，则的长为 ．
10．如图，在矩形中，E,F是边上两点，且, 连接与相交于点G，连接．若，，则 的值为 ．
11．如图，在中，，D是的中点，，则的值为 ．
12．如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形是“相似分割四边形”，，，，那么该四边形最小内角的余弦值是 ．
三、解答题
13．如图，在中，，，D为边上一点，连接，满足．
(1)求的长；
(2)若，求的值．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边与轴重合且，，过两点作直线交于点．
(1)求和；
(2)过，两点作直线，设，求的值．
15．在中，，是斜边上的中线，交于点、交于点，．
(1)求证：；
(2)求的值．
16．如图，在中，，为边上的一点，，．
(1)求的长．
(2)若，求的值．
17．如图，在中，，（a为常数且），延长到点A，使．
(1)求的度数及的值；
(2)作，求的长．
18．如图，在中，已知，，
(1)求的长；
(2)求的面积．
参考答案
一、选择题
1．D
2．A
3．A
4．B
5．B
6．D
7．B
8．B
二、填空题
9．
10．
11．3
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
∵，，
∴．
14．【解】（1）解：根据，，得，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
．
（2）解：过点D作于点G，
根据，，得，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．【解】（1）证明：∵，是斜边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴．
16．【解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
17．【解】（1）解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：在中，，，
∴
，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【解】（1）解：如图，延长，过点B作，E为垂足，
在中，已知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：在中根据勾股定理得，，
，
的面积是