第二章二次函数单元检测卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册
文档属性
| 名称 | 第二章二次函数单元检测卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 785.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-10 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二章二次函数单元检测卷北师大版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或2 D．或2
5．已知二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．若该二次函数的图象经过点，则
B．该二次函数图象的顶点坐标是
C．该二次函数的图象与轴的交点坐标为和
D．若点和都在该函数的图象上，则
6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线平移后经过点，且与直线只有一个交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的二次函数，若，为二次函数图象上的两点，其中，当时，总有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数可以配成顶点式，则 ．
10．若二次函数的图像经过点，则 ．
11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 米．
12．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
(3)如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
14．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，求出点和点的坐标；
(3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值．
16．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求，两点的坐标；
(2)若，求的值．
17．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点P是该抛物线的顶点，求的面积；
(3)若点Q在该抛物线上，且的面积与的面积相等，求点Q的坐标．
18．已知抛物线过点，点为抛物线与轴的一个交点．
(1)用含的式子表示；
(2)若点为定点，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．A
5．D
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．30
10．
11．12
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
由图象代入点，得，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，
∴销售单价应定为40元或60元；
（3）解：由题意得，，
解得，
设利润为，则，
配方得，，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，而，
∴当时，取得最大值，为，
∴当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
14．【解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的函数表达式为，则，
∴，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为，
设，则，
∵，
∴，
，
，
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得或（舍去）
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
15．【解】（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴．
（2）解：，，
∴，
∵，，则，，
∴为定值，
∴当取得最小值时，有最小值，
当点在线段上时，取得最小值，最小值为，
∴的最小值为．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点，
设该直线的解析式为，
联立方程，得，整理得，，
有且只有一个交点，
∴，
解得，
∴点符合条件的位置之一在直线上，
设直线与轴交于点，则，
∴．
16．【解】（1）解：对于，令，则，
∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将配方得，
∴点M的坐标为．
对于，当，
∴，
∴，
∴，
如答图，过点M作轴于点N，则
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，又，
∴．
17．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：如图所示，连接，
∵二次函数解析式为，
∴点P的坐标为；
∵，
∴
；
（3）解：设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，当点Q在直线上方时，
∵的面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在直线下方时，取点，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点Q为直线与二次函数的交点，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或．
18．【解】（1）解：抛物线过点，
，即，
；
（2）解：，
，
点为定点，
含的项系数为零，即，
，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：由（2）知，，
对于，其顶点横坐标为，
，
抛物线开口向上，
抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，
在时，抛物线的最低点横坐标为，
若顶点在区间内，即时，解得，
此时，最低点为顶点，有，解得，
，符合条件；
若顶点不在区间内，即时，解得，
此时，最低点为点，有，解得，
，与相矛盾，不符合条件，
综上，．
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第二章二次函数单元检测卷北师大版2025—2026学年九年级下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若二次函数在的范围内的最大值为4，则实数的值为（ ）
A．或5 B．或5 C．或2 D．或2
5．已知二次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．若该二次函数的图象经过点，则
B．该二次函数图象的顶点坐标是
C．该二次函数的图象与轴的交点坐标为和
D．若点和都在该函数的图象上，则
6．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线平移后经过点，且与直线只有一个交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的二次函数，若，为二次函数图象上的两点，其中，当时，总有，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数可以配成顶点式，则 ．
10．若二次函数的图像经过点，则 ．
11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是 米．
12．若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．某网店销售一种文具袋，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)每天销售该文具袋所得利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？
(3)如果规定每天的销量不低于240件，那么当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？
14．如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，求出点和点的坐标；
(3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值．
16．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点．
(1)求，两点的坐标；
(2)若，求的值．
17．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若点P是该抛物线的顶点，求的面积；
(3)若点Q在该抛物线上，且的面积与的面积相等，求点Q的坐标．
18．已知抛物线过点，点为抛物线与轴的一个交点．
(1)用含的式子表示；
(2)若点为定点，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．D
4．A
5．D
6．A
7．D
8．A
二、填空题
9．30
10．
11．12
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
由图象代入点，得，
解得，
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，
∴销售单价应定为40元或60元；
（3）解：由题意得，，
解得，
设利润为，则，
配方得，，
∵，
∴当时，随着的增大而增大，而，
∴当时，取得最大值，为，
∴当销售单价为元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
14．【解】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，当时，，
∴；
设直线的函数表达式为，则，
∴，
∴直线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为，
设，则，
∵，
∴，
，
，
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
当时，则，
∴，
解得或（舍去）
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
15．【解】（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴．
（2）解：，，
∴，
∵，，则，，
∴为定值，
∴当取得最小值时，有最小值，
当点在线段上时，取得最小值，最小值为，
∴的最小值为．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点，
设该直线的解析式为，
联立方程，得，整理得，，
有且只有一个交点，
∴，
解得，
∴点符合条件的位置之一在直线上，
设直线与轴交于点，则，
∴．
16．【解】（1）解：对于，令，则，
∵，
∴，
解得，
∴；
（2）解：将配方得，
∴点M的坐标为．
对于，当，
∴，
∴，
∴，
如答图，过点M作轴于点N，则
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，又，
∴．
17．【解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：如图所示，连接，
∵二次函数解析式为，
∴点P的坐标为；
∵，
∴
；
（3）解：设直线解析式为，
则，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，当点Q在直线上方时，
∵的面积与的面积相等，
∴，
可设直线的解析式为，则，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在直线下方时，取点，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点Q为直线与二次函数的交点，
同理可得直线的解析式为，
联立，解得或，
∴点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或．
18．【解】（1）解：抛物线过点，
，即，
；
（2）解：，
，
点为定点，
含的项系数为零，即，
，
当时，，
点的坐标为；
（3）解：由（2）知，，
对于，其顶点横坐标为，
，
抛物线开口向上，
抛物线在点左侧部分（包含点）的最低点的横坐标为，
在时，抛物线的最低点横坐标为，
若顶点在区间内，即时，解得，
此时，最低点为顶点，有，解得，
，符合条件；
若顶点不在区间内，即时，解得，
此时，最低点为点，有，解得，
，与相矛盾，不符合条件，
综上，．
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