课题学习-最短路径问题 课件
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课件40张PPT。课 题 学 习最短路径问题
与造桥选址问题分水中学八(1)班 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移的定义复习回忆1、平移不改变图形的形状和 大小。平移改变图形的位置。 2、对应线段平行且相等，
对应角相等。平移的性质复习回忆 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
思考？？？
为什么这样做就能得到最短
离呢？根据：两点之间线段最短.
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？巩固性探索 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？ 巩固性探索 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 巩固性探索 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 巩固性探索 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．巩固性探索 若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小． 追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 巩固性探索总结 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？ 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示： 证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT， ∵A、E关于ON对称， ∴AC=EC， 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维分析 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决A1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，
MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE,BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
A·问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：
（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ.
（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；
连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ；
连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；
连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ；
连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；
连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；
连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.
此时从A到B点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ；
连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；
连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；
连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.
此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ；
连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；
连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；
此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ；
连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；
连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；
此时从A到B点路径最短.问题解决延伸小结 同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题． 例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
?
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
与造桥选址问题分水中学八(1)班 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移的定义复习回忆1、平移不改变图形的形状和 大小。平移改变图形的位置。 2、对应线段平行且相等，
对应角相等。平移的性质复习回忆 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
P连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
思考？？？
为什么这样做就能得到最短
离呢？根据：两点之间线段最短.
相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
最短？巩固性探索 作法：
（1）作点B 关于直线l 的对称
点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交
于点C．
则点C 即为所求． 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB
的和最小？ 巩固性探索 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 巩固性探索 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′． 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 巩固性探索 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．巩固性探索 若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小． 追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 巩固性探索总结 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的
过程、借助什么解决问题的？ 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 解：沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图（1）所示： 证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT， ∵A、E关于ON对称， ∴AC=EC， 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图1中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）思维分析 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？思维分析 1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.
上述方法都能做到使AM+MN+BN不变吗？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.
怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?问题解决A1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E，
2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，
MN为所建的桥。
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM,
MN=CD, BD∥CE,BD=CE,
所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE,
则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
A·问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：
（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，
使A1A2=PQ.
（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.连接A1P交Ａ１的对岸于Ｎ点，在Ｎ点处建桥ＭＮ．问题解决沿垂直于河岸方向依次把Ａ点Ａ１、Ａ２，使ＡＡ１＝ＭＮ，Ａ１Ａ２ ＝ＰＱ ；
连接Ａ２Ｂ交于Ｂ点相邻河岸于Ｑ点，建桥ＰＱ；
连接Ａ１Ｐ交Ａ１的对岸于Ｎ点，建桥ＭＮ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ．思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B１、B２，使BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ；
连接B２A交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；
连接B１N交B１的对岸于P点，建桥PQ；
从Ａ点到Ｂ点的最短路径为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化为AB2+B2B1+B1B．问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一座桥MN、PQ和GH.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱG+GH+HB．桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ；
连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；
连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；
连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.
此时从A到B点路径最短.沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A２、A3，使AA１＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ；
连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；
连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；
连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.
此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１，使AA１＝MN，平移B点至B1、B2 ,使BB1＝GH，B1B2 =PQ ；
连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；
连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；
此时从A到B点路径最短.问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A１、A2，使AA１＝MN，Ａ１Ａ２＝ＰＱ，平移B点至B1 ,使BB1＝GH ；
连接A２B１交第三条河与Ｂ点相对河岸于Ｇ点，交第二条河与Ｇ相邻河岸于Ｑ点，建桥ＧＨ、PQ；
连接Ａ1Ｐ交第一条河与Ｐ相邻河岸的Ｎ点，建桥ＭＮ；
此时从A到B点路径最短.问题解决延伸小结 同样，当Ａ、Ｂ两点之间有４、５、６，．．．ｎ条河时，我们仍可以利用平移转化桥长来解决问题． 例如： 沿垂直于河岸方向平移Ａ点依次至Ａ１、Ａ２、Ａ3 ，．．．，An,平移距离分别等于各自河宽，AnB交第n条河近B点河岸于Nn,建桥MnNn,连接MnAn-1交第(n-1）条河近B点河岸与Nn-1,建桥Mn-1Nn-1，...，连接M1A交第一条河近B点河岸于N1，建桥M1N1,此时所走路径最短.(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
BCDE分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
?
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求