5.2.1 基本初等函数的导数 讲义—— 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

基本初等函数的导数
重点 1. 能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数。 2. 掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用。
难点 利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用。
考试要求 考试 题型 选择 填空 解答 难度 中等
核心知识点：基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f（x）＝c（c为常数） f′（x）＝0
f（x）＝xα（α∈Q*） f′（x）＝αxα－1
f（x）＝sin x f′（x）＝cos_x
f（x）＝cos x f′（x）＝－sin_x
f（x）＝ax f′（x）＝axln_a
f（x）＝ex f′（x）＝ex
f（x）＝logax f′（x）＝
f（x）＝ln x f′（x）＝
注意：1. 常见函数的导数即导函数，用导数的定义求导函数的步骤：
第一步：求Δy＝f（x＋Δx）－f（x）；
第二步：求＝ ；
第三步：取极限f′（x）＝。
2. 由于知识所限，我们在高中阶段不要求用定义求所有基本函数的导数，只要求记住结论并会用基本函数的导数公式求导数即可，因此同学务必将上表记住。
类型一：用导数公式求函数的导数
例题1 求下列函数的导数。
（1）y＝x12；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝3x；（5）y＝log5x。
【思路分析】首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式。
【解析】（1）y′＝（x12）′＝12x11；
（2）y′＝（）′＝（x－4）′＝－4x－5＝－；
（3）y′＝（）′＝；
（4）y′＝（3x）′＝3xln 3；
（5）y′＝（log5x）′＝。
【总结提升】1. 分清所给函数是幂函数、指数函数还是对数函数，然后选择相应的模型，代入求解。
2. 要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别。
例题2 设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2 013(x)等于( )
A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x
【思路分析】利用正弦函数y=sin x的导数是y′=cos x写出前几项，观察周期。
【答案】A
【解析】f0(x)＝sin x，
f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，
所以4为最小正周期，所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x.
【总结提升】如果所求的问题具有周期性,可通过观察先写出所求问题前几项,从写出的几项中找出周期,再把所求的问题转化到已知的前几项求解。
类型二：求函数在某点处的导数
例题3 质点的运动方程是S＝sin t，
（1）求质点在t＝时的速度；
（2）求质点运动的加速度。
【思路分析】（1）先求S′（t），再求S′（）。
（2）加速度是速度V（t）对t的导数，故先求V（t），再求导。
【解析】（1）V（t）＝S′（t）＝cos t，∴V（）＝cos ＝。
即质点在t＝时的速度为。
（2）∵V（t）＝cos t，
∴加速度a（t）＝V′（t）＝（cos t）′＝－sin t。
【总结提升】1. 速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
2. 求函数在某定点（点在函数曲线上）的导数的方法步骤是：①先求函数的导函数；②把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值。
类型三：导数公式的应用
例题4 已知曲线y＝，求：
（1）曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
（2）求过点P（0,1）且与曲线相切的切线方程。
【思路分析】对于（1），由y＝对x求导，可得到曲线y＝的切线的斜率，进而可得相应切点的坐标，易求得切线方程；对于（2），设出切点坐标，利用切点在对应切线上，也在曲线上，进而求得切点坐标和相应切线的斜率。
【解析】（1）设切点为（x0，y0），由y＝，得y′|x＝x0＝。
∵切线与y＝2x－4平行，
∴＝2，
∴x0＝，∴y0＝。
则所求切线方程为y－＝2（x－），即16x－8y＋1＝0。
（2）设切点P1（x1，），
则切线斜率为y′|x＝x1＝，
∴则，
即x1＝0，x1＝4。
当x1＝0时，切线斜率不存在，此时切点坐标为（0,0），切线方程为x=0;
当x1＝4时，k切=，此时切点坐标为（4,2），切线方程为x－4y＋4＝0。
【总结提升】1. 曲线y＝f（x）在点P处的切线只有一条，但过点P求曲线y＝f（x）的切线时，点P不一定是切点，故应设出切点坐标，并求切点坐标，有几个切点就有几条切线。
2. 解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值。
常见易错问题剖析
已知直线y=kx是曲线的切线，则k的值等于_______.
【错解】
【错因】求不出切点坐标
【正解】e
设切点的坐标为(x0,y0)，
因为在(x0,y0)的导数为，
所以且，
解得x0=1,y0=e.
【防范措施】
（1）导数几何意义的应用
本例实质是求过点(0,0)且与曲线y=ex相切的直线方程的斜率.要把切线的斜率与导数联系起来,要注意切点的坐标既满足切线方程又满足曲线方程.
（2）牢记导数公式
导数公式是计算函数导数的关键,在本例中,要正确应用(ex)′=ex这个公式,在应用的基础上牢固掌握.
1. 知识方面：基本初等函数的导数公式
2. 数学方法：利用基本函数的导数公式求函数在某点处的导数。
3. 易错处理：牢记基本初等函数的导数公式，对易出错的函数要进行针对性训练。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 下列结论正确的是（　　）
A. 若y＝cos x，则y′＝sin x B. 若y＝sin x，则y′＝－cos x
C. 若y＝，则y′＝－ D. 若y＝，则y′＝
2. 给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝；
②y＝，则y′|x＝3＝－；
③y＝2x，则y′＝2xln 2；
④y＝log2x，则y′＝；
其中正确命题的个数为（　　）
A. 1　　　 B. 2　　　 C. 3　　　 D. 4
3. 已知f（x）＝xn且f′（－1）＝－4，则n等于（　　）
A. 4 B. －4 C. 5 D. －5
**4. 已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为（　　）
A. B. － C. －e D. e
二、填空题
5. 函数f（x）＝cos x在x＝处的切线方程是________。
6. 若y＝10x，则y′|x＝1＝________。
**7. 直线y＝x＋b是曲线y＝ln x（x＞0）的一条切线，则实数b＝________。
三、解答题
8. 曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点的切线的倾斜角为135°。
答案
1.【答案】C
【解析】∵（cos x）′＝－sin x，∴A不正确；
∵（sin x）′＝cos x，∴B不正确；
∵（）′＝，∴D不正确。
2.【答案】C
【解析】对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C。
3.【答案】A
【解析】∵f′（x）＝nxn－1，∴f′（－1）＝n（－1）n－1＝－4。
若（－1）n－1＝－1，则n＝4，此时满足（－1）n－1＝－1；
若（－1）n－1＝1，则n＝－4，此时不满足（－1）n－1＝1。
∴n＝4
4.【答案】D
【解析】设切点坐标为（x0，y0），∵y′＝（ex）′＝ex，
∴y′|x＝x0＝ex0，
∴切线方程为y－y0＝ex0（x－x0），即y＝ex0x＋y0－ex0x0。
与y＝kx比较知解得
5.【答案】x＋2y－－＝0
【解析】∵f′（x）＝－sin x，
∴f′（）＝－sin ＝－。
又切点坐标为（，），
∴切线方程为y－＝－（x－）。
即x＋2y－－＝0。
6.【答案】10ln 10
【解析】∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10。
7.【答案】ln 2－1
【解析】设切点坐标为（x0，y0），则y0＝ln x0。
∵y′＝（ln x）′＝，
∴y′|x＝x0＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln 2。
由ln 2＝×2＋b，得b＝ln 2－1。
8.【解析】设P（x0，y0），∵y′＝（）′＝（x－2）′＝－。
∴y′|x＝x0＝－。
由题意知－＝－1，∴x0＝，代入y＝得y0＝。
2022-2023学年 承德县一中学案 导数运算法则和复合函数的导数
重点 1. 了解导数的四则运算法则以及复合函数的导数公式； 2. 掌握导数的运算法则以及在求切线方程中的应用。
难点 导数的四则运算法则与复合函数的导数及应用
考试要求 考试 题型 选择 填空 解答 难度 中等
核心知识点一：导数运算法则
1. 和差的导数
[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）
2. 积的导数
（1）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）
（2）[cf（x）]′＝cf′（x）
3. 商的导数
[]′＝（g（x）≠0）
注意：使用运算法则求函数的导数时，先要判断函数解析式中出现的是哪种运算，选择合适的公式。记忆公式时要特别注意乘法公式与除法公式分子的区别。
核心知识点二：复合函数的概念及求导法则
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的复合函数，记作y＝f（g（x））。
复合函数的求导法则 复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
注意：求复合函数导数时一定要先判断函数是由那几个函数复合而成，然后对每一层函数都要求导，一直求到最内层函数。如果观察判断不出来，利用换元法将函数分解后再求导。
例如：求函数y=sin（e2x+1）的导数，观察函数是由y=sint，t=eu，u=2x+1这三个函数复合而成，所以y’=cost，t’=eu，u’=2，则复合函数（sin（e2x+1））’=cost eu×2=2cos （e2x+1） e2x+1。
类型一：导数四则运算法则的应用
例题1 求下列函数的导数。
（1）y＝x4－2x2－3x＋3；（2）y＝；
（3）y＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）；（4）y＝xtan x。
【思路分析】仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，不具备求导条件的可进行适当的恒等变形。
【解析】（1）y′＝（x4－2x2－3x＋3）′＝4x3－4x－3
（2）y′＝（）′＝＝。
（3）法一：y′＝[（x＋1）（x＋2）（x＋3）]′
＝[（x＋1）（x＋2）]′（x＋3）＋[（x＋1）（x＋2）]（x＋3）′
＝[（x＋1）′（x＋2）＋（x＋1）（x＋2）′]（x＋3）＋（x＋1）·（x＋2）
＝（x＋2＋x＋1）（x＋3）＋（x＋1）（x＋2）
＝（2x＋3）（x＋3）＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11。
法二：∵（x＋1）（x＋2）（x＋3）＝（x2＋3x＋2）（x＋3）＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[（x＋1）（x＋2）（x＋3）]′＝（x3＋6x2＋11x＋6）′＝3x2＋12x＋11。
（4）y′＝（xtan x）′＝（）′
＝
＝＝。
【总结提升】1. 解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分。
2. 如果所求导的式子较为复杂，可考虑先化简再求导，从而减少运算量，提高效率。
类型二：复合函数的导数
例题2 求下列函数的导数。
（1）y＝e2x＋1；（2）y＝；
（3）y＝5log2（1－x）；（4）y＝sin3x＋sin 3x。
【思路分析】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导。
【解析】 （1）函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝（eu）′（2x＋1）′＝2eu＝2e2x＋1。
（2）函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝（u－3）′（2x－1）′＝－6u－4＝－6（2x－1）－4＝－。
（3）函数y＝log2（1－x）可看作函数y＝log2u和u＝1－x的复合函数，
∴y′x＝5y′u·u′x＝5（log2u）′·（1－x）′＝＝。
（4）函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin x的复合函数，函数y＝sin 3x可看作函数y＝sin v和v＝3x的复合函数。
∴y′x＝（u3）′·（sin x）′＋（sin v）′·（3x）′
＝3u2·cos x＋3cos v
＝3sin2x cos x＋3cos 3x。
【总结提升】复合函数求导的步骤为
类型三：与切线有关的综合题
例题3 求过点（1，－1）与曲线f（x）＝x3－2x相切的直线方程。
【思路分析】点（1，－1）不一定是切点，故设出切点坐标（x0，y0），求出f′（x0）。写出切线方程，利用点（1，－1）在切线上求x0，从而求出切线方程。
【解析】设P（x0，y0）为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－2。
故切线方程为y－y0＝（3x－2）（x－x0）。①
∵（x0，y0）在曲线上，
∴y0＝x－2x0。②
又∵（1，－1）在切线上，
∴将②式和（1，－1）代入①式得
－1－（x－2x0）＝（3x－2）（1－x0）。
解得x0＝1或x0＝－。
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0。
【总结提升】1. 求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程。
2. 本题中点（1，－1）虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点。
常见易错问题剖析
求函数 y =的导数。
【错解】y’==。
【错因分析】对函数除法的求导公式记忆不准确，将导数的分子部分与乘法求导公式混淆致误。
【正解】y’==。
【总结提升】类比[f（x）·g（x）]′＝f′（x）·g（x）＋f（x）·g′（x）记忆，[]′＝。要刻意去记分子上的减号。
对于函数，它的导数有比较简洁的形式，；对于函数，其导数为。这两个函数的导数是考题中常出的，建议记住。
1. 知识方面：导数运算法则以及复合函数求导法则要熟练记忆。
两个特殊结构的函数：
；。
2. 数学方法：
（1）导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则。求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用。首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为八个基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数。
（2）和与差的运算法则可以推广：[f（x1）±f（x2）±…±f（xn）]′＝f′（x1）±f′（x2）±…±f′（xn）。
（3）复合函数求导的步骤：
①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系。
②要弄清每一步求导是哪个变量按什么公式求导，不要混淆。
③将中间变量代回到自变量（如对x）的函数。
3. 数学思想：
等价转化思想：对函数求导时，先要将函数解析式等价转化为更简便、运算量更小的形式，这是等价转化思想的体现。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 函数y＝x2·sin x的导数是（　　）
A. 2x·sin x＋x2·cos x B. x2·cos x C. 2x·cos x D. 2x·sin x－x2·cos x
2. 设f（x）＝ax3＋3x2＋2，若f′（－1）＝4，则a的值等于（　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
3. 函数y＝cos （－x）的导数是（　　）
A. cos x　　　　　 B. －cos x C. －sin x D. sin x
4. 若f（x）＝，则f（x）的导数是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题
5. 若曲线y＝xα＋1（α∈R）在点（1,2）处的切线经过坐标原点，则α＝________。
6. 若曲线y＝ax2－ln x在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a＝________。
**7. 已知函数f（x）＝f′（）sin x＋cos x，则f′（）＝________。
三、解答题
8. 已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋，x≥0，其中a＞0，若f′（1）＝0，求a的值。
答案
1.【答案】A
【解析】y′＝（x2sin x）′＝（x2）′sin x＋x2·（sin x）′＝2xsin x＋x2cos x。
2.【答案】D
【解析】∵f′（x）＝3ax2＋6x，∴f′（－1）＝3a－6＝4，∴a＝。
3.【答案】C
【解析】y′＝－sin （－x）（－x）′＝－sin x。
4.【答案】A
【解析】f′（x）＝
＝。
5.【答案】2
【解析】因为y′＝α·xα－1，所以在点（1,2）处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α（x－1）。又切线过原点，故0－2＝α（0－1），解得α＝2。
6.【答案】
【解析】因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1。因为曲线在点（1，a）处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝。
7.【答案】－
【解析】∵f′（x）＝f′（）cos x－sin x，
∴f′（）＝f′（）cos －sin ＝－1，
∴f′（x）＝－cos x－sin x，
∴f′（）＝－cos －sin ＝－。
8.【解析】f′（x）＝[ln（ax＋1）]′＋（）′＝＋，
∴f′（1）＝－＝0，∴a＝1。
因此实数a的值为1。