第4章实数单元测试 (含答案解析)

《第4章 实数》
　
一、选择题
1．下列语句中正确的是（　　）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是±3 D．9的算术平方根是3
2．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有限个，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|
5．估计的值在（　　）之间．
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
6．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）
A．﹣ B．2﹣ C． D．
7．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
　
二、填空题
9．64的立方根等于　　．
10．a是9的算术平方根，而b的算术平方根是9，则a+b=　　．
11．龙岩市有着丰富而独特的旅游资源．据报道，去年该市接待游客4.3×106人次，近似数4.3×106是精确到　　位．
12．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　　．
13．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　　．
14．计算：﹣|2﹣π|=　　．
15．如图，在数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在线段　　上．
16．若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是　　．
17．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为　　．
18．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过　　m．
　
三、解答题（共76分）
19．把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{　　 …}；
（2）有理数集：{　　…}；
（3）无理数集：{　　 …}．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
21．计算下列各题．
（1）+﹣；
（2）﹣16﹣4；
（3）|﹣|﹣+；
（4）×﹣2（﹣π）0．
22．已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|=6，b2=4，求．
23．求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81=0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64=0．
24．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
26．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？
27．在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN分别是3km，2km，且MN为3km．现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．（精确到0.1km）
　
《第4章 实数》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列语句中正确的是（　　）
A．﹣9的平方根是﹣3 B．9的平方根是3
C．9的算术平方根是±3 D．9的算术平方根是3
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】A、B、C、D分别根据平方根和算术平方根的定义即可判定．
【解答】解：A、﹣9没有平方根，故A选项错误；
B、9的平方根是±3，故B选项错误；
C、9的算术平方根是3，故C选项错误．
D、9的算术平方根是3，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果x2=a（a≥0），则x是a的平方根．若a＞0，则它有两个平方根并且互为相反数，我们把正的平方根叫a的算术平方根．若a=0，则它有一个平方根，即0的平方根是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根．
　
2．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】根据平方，算术平方根分别进行计算，即可解答．
【解答】解：A．因为，故本选项正确；
B．因为=3，故本选项错误；
C．因为，故本选项错误；
D．因为，故本选项错误；
故选A．
【点评】本题考查算术平方根，解决本题的关键是注意平方的计算以及符号问题．
　
3．已知下列结论：①在数轴上的点只能表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有限个，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【考点】实数．
【分析】根据实数与数轴的关系，可判断①②③，根据有理数的定义，无理数的定义，可判断④．
【解答】解：①数轴上的点既能表示无理数，又能表示有理数，故①错误；
②任何一个无理数都能用数轴上的点表示，故②正确；
③实数与数轴上的点一一对应，故③正确；
④有理数有无限个，无理数无限个，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了实数，利用了实数与数轴的关系，有理数、无理数的定义，注意数轴上的点与实数一一对应．
　
4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　）
A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|
【考点】实数与数轴．
【专题】常规题型．
【分析】根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2，b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1，即可得出|b|＜|a|．
【解答】解：根据图形可知：
﹣2＜a＜﹣1，
0＜b＜1，
则|b|＜|a|；
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，解答此题的关键是根据数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于本身．
　
5．估计的值在（　　）之间．
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
【考点】估算无理数的大小．
【分析】11介于9与16之间，即9＜11＜16，则利用不等式的性质可以求得介于3与4之间．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4，即的值在3与4之间．
故选C．
【点评】此题主要考查了根式的计算和估算无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹比法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
6．如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　）
A．﹣ B．2﹣ C． D．
【考点】实数与数轴．
【分析】由于数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数，所以根据数轴上两点间距离的公式便可解答．
【解答】解：由勾股定理得：
正方形的对角线为，
设点A表示的数为x，
则2﹣x=，
解得x=2﹣．故选B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题时求数轴上两点间的距离应让较大的数减去较小的数即可．
　
7．如图，在方格纸中，假设每个小正方形的面积为2，则图中的四条线段中长度是有理数的有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】勾股定理．
【专题】网格型．
【分析】先求出小正方形的边长，再求出各条线段的长度．
【解答】解：根据正方形的面积公式得：每个小正方形的边长是．
再根据勾股定理得：
AB=2，EF==2，CD==4，GH==，
其中是有理数的有EF和CD共2条；
故选B．
【点评】考查了正方形的面积公式以及勾股定理．注意此类计算线段的长的方法：构造到直角三角形中，运用勾股定理计算．
　
8．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）
A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：，
则6﹣m＜0，
解得：m＞6．
故选：A．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
　
二、填空题
9．64的立方根等于　4　．
【考点】立方根．
【分析】利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：∵43=64，
∴64的立方根等于4
故答案4．
【点评】本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．
　
10．a是9的算术平方根，而b的算术平方根是9，则a+b=　84　．
【考点】算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】先根据算术平方根的定义求出a、b的值，然后算出a+b即可．
【解答】解：∵a是9的算术平方根，
∴a=3，
又∵b的算术平方根是9，
∴b=81，
∴a+b=3+81=84．
故答案为：84．
【点评】本题考查了算术平方根的概念，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
　
11．龙岩市有着丰富而独特的旅游资源．据报道，去年该市接待游客4.3×106人次，近似数4.3×106是精确到　十万　位．
【考点】科学记数法与有效数字．
【分析】根据近似数精确到哪一位，应当看末位数字3实际在哪一位，写出原数即可得出答案．
【解答】解：∵4.3×106=4300000，3在十万位，
∴4.3×106精确到十万位；
故答案为：十万．
【点评】此题主要考查了近似数的精确度问题，解决问题的关键是正确区分精确度与有效数字的确定方法．
　
12．已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　7　．
【考点】估算无理数的大小．
【分析】根据被开方数越大对应的算术平方根越大求得a、b的值，然后利用加法法则计算即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜＜4．
∴a=3，b=4．
∴a+b=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．
　
13．若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
则（）2012=（）2012=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
　
14．计算：﹣|2﹣π|=　﹣1.14　．
【考点】实数的运算．
【分析】先判断3.14﹣π和2﹣π的符号，然后再进行化简，计算即可．
【解答】解：﹣|2﹣π|
=π﹣3.14+2﹣π
=﹣1.14．
故答案为：﹣1.14．
【点评】此题主要考查实数的运算，其中有二次根式的性质和化简，绝对值的性质，是一道基础题．
　
15．如图，在数轴上有O，A，B，C，D五点，根据图中各点所表示的数，判断在数轴上的位置会落在线段　BC　上．
【考点】实数与数轴；估算无理数的大小．
【分析】先估算的范围，再得出即可．
【解答】解：∵4，
∴在BC之间．
故答案为：BC．
【点评】本题考查了实数，数轴，估算无理数的大小的应用，能估算的范围是解此题的关键．
　
16．若a与b互为相反数，则它们的立方根的和是　0　．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据a与b互为相反数，得到a+b=0，即可确定出立方根之和．
【解答】解：∵a与b互为相反数，即a=﹣b，
∴它们的立方根之和+=﹣+=0，
故答案为：0．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
　
17．在数轴上，点A（表示整数a）在原点的左侧，点B（表示整数b）在原点的右侧．若|a﹣b|=2013，且AO=2BO，则a+b的值为　﹣671　．
【考点】数轴；绝对值；两点间的距离．
【分析】根据已知条件可以得到a＜0＜b．然后通过取绝对值，根据两点间的距离定义知b﹣a=2013，a=﹣2b，则易求b=671．所以a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671．
【解答】解：如图，a＜0＜b．
∵|a﹣b|=2013，且AO=2BO，
∴b﹣a=2013，①
a=﹣2b，②
由①②，解得b=671，
∴a+b=﹣2b+b=﹣b=﹣671．
故答案是：﹣671．
【点评】本题考查了数轴、绝对值以及两点间的距离．根据已知条件得到a＜0＜b是解题的关键．
　
18．图中所示是一条宽为1.5m的直角走廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板面ABCD的宽AB为1m，若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD不能超过　（）　m．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】压轴题．
【分析】如图，先设平板手推车的长度不能超过x米，则得出x为最大值时，平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．连接EF，与BC交于点G，利用△CBE为等腰直角三角形即可求得平板手推车的长度不能超过多少米．
【解答】解：设平板手推车的长度不能超过x米，
则x为最大值，且此时平板手推车所形成的三角形CBE为等腰直角三角形．
连接EF，与BC交于点G．
∵直角走廊的宽为1.5m，
∴EF=m，
∴GE=EF﹣FG=﹣1（m）．
又∵△CBE为等腰直角三角形，
∴AD=BC=2CG=2GE=3﹣2（m）．
故答案为：（3﹣2）．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用以及等腰三角形知识，解答的关键是由题意得出要想顺利通过直角走廊，此时平板手推车所形成的三角形为等腰直角三角形．
　
三、解答题（共76分）
19．把下列各数填入相应的大括号里．
π，2，﹣，|﹣|，2.3，30%，，．
（1）整数集：{　2，，　 …}；
（2）有理数集：{　2，﹣，2.3，30%，，　…}；
（3）无理数集：{　π，||　 …}．
【考点】实数．
【分析】先进行化简，再根据有理数的分类，即可解答．
【解答】解：|﹣|=， =2， =﹣2，
（1）整数集：{2，，，…}；
（2）有理数集：{2，﹣，2.3，30%，，，…}；
（3）无理数集：{π，||，…}；
故答案为：（1）2，，；（2）2，﹣，2.3，30%，，；（3）π，||．
【点评】本题考查了有理数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类．
　
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】网格型；开放型．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为无理数的线段，画三角形即可．
【解答】解：
【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
　
21．计算下列各题．
（1）+﹣；
（2）﹣16﹣4；
（3）|﹣|﹣+；
（4）×﹣2（﹣π）0．
【考点】实数的运算．
【分析】（1）、（2）根据数的开方法则分别计算出各数，再根据实数的加减法则进行计算即可；
（3）先根据绝对值的性质及数的开方法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（4）先根据数的开方法则及0指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=0.4+0.7﹣0.9
=0.2；
（2）原式=﹣16×0.5﹣4×（﹣4）
=﹣8+16
=8；
（3）原式=﹣+
=；
（4）原式=0.3×10﹣2
=3﹣2
=1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及数的开方法则，0指数幂的运算法则是解答此题的关键．
　
22．已知与互为相反数，求（x﹣y）2的平方根；
（2）已知|a|=6，b2=4，求．
【考点】非负数的性质：算术平方根；平方根；算术平方根．
【分析】（1）根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算，再根据平方根的定义求解；
（2）分别根据|a|=6，b2=4，求出a，b的值，然后求a+2b的算术平方根即可．
【解答】解：（1）∵与互为相反数，
∴，
解得：，
∴（x﹣y）2的平方根是±3，
（2）∵|a|=6，b2=4，
∴a=±6，b=±2，
∴a+2b=±10，或±2，
∵a+2b＞0，
∴=，或=．
【点评】本题考查了非负数的性质，本题考查了平方根的知识，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
　
23．求下列各式中x的值．
（1）16x2﹣81=0；
（2）﹣（x﹣2）3﹣64=0．
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出x的值．
【解答】解：（1）方程整理得：x2=，
开方得：x=±，
解得：x1=，x2=﹣；
（2）方程整理得：（x﹣2）3=﹣64，
开立方得：x﹣2=﹣4，
解得：x=﹣2．
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
24．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．
【考点】估算无理数的大小；算术平方根．
【分析】先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
【解答】解：因为4＜6＜9，所以2＜＜3，
即的整数部分是2，
所以2+的整数部分是4，小数部分是2+﹣4=﹣2，
即x=4，y=﹣2，所以==．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．
　
25．将一个体积为216cm3的正方体分成等大的8个小正方体，求每个小正方体的表面积．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：6×（）2=54（cm2），
则每个小正方体的表面积为54cm2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
　
26．如图，一个长为5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙4m．
（1）求梯子的顶端距地面的垂直距离；
（2）若将梯子的底端向墙推进1m，求梯子的顶端升高了多少米；
（3）若使梯子的顶端距地面4.8m，此时应将梯子再向墙推进多少米？

【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）在直角三角形ECF中，利用勾股定理AC即可；
（2）在直角三角形BC中，利用勾股定理计算出AC长即可；
（3）首先计算出AC=4.8m时BC的长度，然后再根据题意得到应将梯子再向墙推进的距离．
【解答】解：（1）由题意得：EF=5m，CF=4m，
则EC===3（m）．
答：梯子的顶端距地面的垂直距离是3m；
（2）由题意得：BF=1m，则CB=4﹣1=3（m），
AC===4（m），
则AE=AC﹣EC=1m．
答：梯子的顶端升高了1m；
（3）若AC=4.8m，则BC===1.4（m），
应将梯子再向墙推进3﹣1.4=1.6（m）．
答：应将梯子再向墙推进1.6m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
　
27．在一平直河岸l的同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离AM，BN分别是3km，2km，且MN为3km．现计划在河岸上建一抽水站P，用输水管向两个村庄A，B供水，求水管长度最少为多少．（精确到0.1km）

【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】根据轴对称的性质：找出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线MN于点P，结合图形利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：如图，

延长AM到A′，使MA′=AM，连接A′B交l于P，过A′作A′C垂直于BN的延长线于点C，
∵AM⊥l，
∴PB=PA′，
∵A′M⊥l，CN⊥l，A′C⊥BC，
∴四边形MA′CN是矩形，
∴CN=A′M=3km，A′C=MN=3km，
∴BC=3+2=5km，
∴AP+BP=A′P+PB=A′B=≈5.8km．
答：水管长度最少为5.8km．
【点评】此题考查轴对称﹣最短路线问题，掌握轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解决问题的关键．