第4章实数单元测试(含答案解析)

《第4章 实数》
　
一、选择题
1．25的平方根是（　　）
A．5 B．﹣5 C．± D．±5
2．下列语句正确的是（　　）
A．9的平方根是﹣3 B．﹣7是﹣49的平方根
C．﹣15是225的平方根 D．（﹣4）2的平方根是﹣4
3．下列说法中，不正确的是（　　）
A．平方根等于本身的数只有零
B．非负数的算术平方根仍是非负数
C．任何一个数都有立方根，且是唯一的
D．一个数的立方根总比平方根小
4．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（　　）
A．1 B．0和1 C．0 D．非负数
5．估计的值（　　）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
6．下列各数精确到万分位的是（　　）
A．0.0720 B．0.072 C．0.72 D．0.176
7．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（　　）
A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
10．在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
　
二、填空题
11．计算：± =　　；（﹣）2=　　．
12．计算： =　　； =　　．
13．的倒数是　　，（）3的相反数是　　．
14．写出一个介于4和5之间的无理数：　　．
15．π=3.1415926…精确到千分位的近似数是　　；0.43万精确到千位表示为　　．
16．﹣的相反数的绝对值是　　．
17．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　　．
18．已知实数x，y满足+|x﹣2y+2|=0，则2x﹣y的平方根为　　．
　
三、解答题
19．将下列各数分别填在各集合的大括号里：
，，0.3，，3.414，，，﹣，﹣，，0．
自然数集合：{　　…}；
分数集合：{　　…}；
无理数集合：{　　…}；
实数集合：{　　…}．
20．计算：
（1）+﹣（）2；
（2）+|1﹣|﹣；
（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．
21．一个正方体，它的体积是棱长为3的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
22．求下列各式中的未知数x的值：
（1）2x2﹣8=0；
（2）（x+1）3=﹣64；
（3）25x2﹣49=0；
（4）﹣（x﹣3）3=8．
23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
24．在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，请在下图给定的网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发，画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（小正方形的每个顶点都称为格点）上，且长度为2．
（2）画出所有以（1）中AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数，并写出所有满足条件的三角形．
　
《第4章 实数》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．25的平方根是（　　）
A．5 B．﹣5 C．± D．±5
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义和性质即可得出答案．
【解答】解：∵（±5）2=25，
∴25的平方根是±5．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
　
2．下列语句正确的是（　　）
A．9的平方根是﹣3 B．﹣7是﹣49的平方根
C．﹣15是225的平方根 D．（﹣4）2的平方根是﹣4
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数可对A、D进行判断；根据负数没有平方根可对B进行判断；根据平方根的定义对C进行判断．
【解答】解：A、9的平方根是±3，所以A选项错误；
B、﹣49没有平方根，所以B选项错误；
C、﹣15是225的平方根，所以C选项正确；
D、（﹣4）2的平方根为±4，所以D选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了平方根的定义：若一个数的平方等于a，那么这个数叫a的平方根，记作±（a≥0）．
　
3．下列说法中，不正确的是（　　）
A．平方根等于本身的数只有零
B．非负数的算术平方根仍是非负数
C．任何一个数都有立方根，且是唯一的
D．一个数的立方根总比平方根小
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】利用立方根，平方根，以及算术平方根定义判断即可．
【解答】解：A、平方根等于本身的数只有零，正确；
B、非负数的算术平方根仍是非负数，正确；
C、任何一个数都有立方根，且是唯一的，正确；
D、一个数的立方根不一定比平方根小，错误．
故选D．
【点评】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
　
4．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（　　）
A．1 B．0和1 C．0 D．非负数
【考点】立方根；算术平方根．
【分析】根据立方根和平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或﹣1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．
【解答】解：∵立方根等于它本身的实数0、1或﹣1；
算术平方根等于它本身的数是0和1．
∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1．
故选B．
【点评】此题主要考查了立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．算术平方根是非负数．
　
5．估计的值（　　）
A．在3到4之间 B．在4到5之间 C．在5到6之间 D．在6到7之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【分析】应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【解答】解：∵5＜＜6，
∴在5到6之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的那就，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
6．下列各数精确到万分位的是（　　）
A．0.0720 B．0.072 C．0.72 D．0.176
【考点】近似数和有效数字．
【分析】根据近似数的精确度进行判断．
【解答】解：0.0720精确到万分位；0.072精确到千分位；0.72精确到百分位；0.176精确到千分位．
故选A．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
　
7．有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】无理数．
【分析】根据无理数的定义以及实数的分类即可作出判断．
【解答】解：（1）π是无理数，而不是开方开不尽的数，则命题错误；
（2）无理数就是无限不循环小数，则命题正确；
（3）0是有理数，不是无理数，则命题错误；
（4）正确；
故选B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
　
8．已知：是整数，则满足条件的最小正整数n为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】二次根式的定义．
【分析】因为是整数，且==2，则5n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为5．
【解答】解：∵ ==2，且是整数；
∴2是整数，即5n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为5．
故本题选D．
【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则=．除法法则=．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
　
9．如图所示，“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（　　）
A．代入法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
【考点】实数与数轴．
【分析】本题利用实数与数轴上的点对应关系结合数学思想即可求解答．
【解答】解：如图在数轴上表示点P，这是利用直观的图形﹣﹣数轴表示抽象的无理数，
∴说明问题的方式体现的数学思想方法叫做数形结合，
∴A，B，D的说法显然不正确．
故选C．
【点评】本题考查的是数学思想方法，做这类题可用逐个排除法，显然A，B，D所说方法不对．
　
10．在算式（）□（）的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【考点】实数的运算；实数大小比较．
【专题】计算题．
【分析】分别把加、减、乘、除四个符号填入括号，计算出结果即可．
【解答】解：当填入加号时：（）+（）=﹣；
当填入减号时：（）﹣（）=0；
当填入乘号时：（）×（）=；
当填入除号时：（）÷（）=1．
∵1＞＞0＞﹣，
∴这个运算符号是除号．
故选D．
【点评】本题考查的是实数的运算及实数的大小比较，根据题意得出填入加、减、乘、除四个符号的得数是解答此题的关键．
　
二、填空题
11．计算：± =　±3　；（﹣）2=　3　．
【考点】实数的运算；平方根．
【专题】计算题．
【分析】原式利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=±3；原式=3，
故答案为：±3；3
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
12．计算： =　﹣4　； =　4　．
【考点】立方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】原式利用立方根，算术平方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解： =﹣4； =|﹣4|=4，
故答案为：﹣4；4．
【点评】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
　
13．的倒数是　﹣3　，（）3的相反数是　9　．
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】原式利用立方根性质，相反数，以及倒数的定义计算即可得到结果．
【解答】解： =﹣，﹣的倒数为﹣3；（）3=﹣9，﹣9的相反数为9，
故答案为：﹣3；9
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
　
14．写出一个介于4和5之间的无理数：　（答案不唯一）　．
【考点】估算无理数的大小；无理数．
【专题】应用题．
【分析】由于4=，5=，所以被开方数只要在16和25之间即可；
【解答】解：∵4=，5=，
∴在4与5之间的无理数为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．
　
15．π=3.1415926…精确到千分位的近似数是　3.142　；0.43万精确到千位表示为　4×103　．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】对于π=3.1415926，把万分位上的数字5进行四舍五入即可；对于0.43万，把百位上的数字3进行四舍五入即可．
【解答】解：π=3.1415926…精确到千分位的近似数是3.142；0.43万精确到千位表示为4×103．
故答案为3，142 4×103．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
　
16．﹣的相反数的绝对值是　﹣　．
【考点】实数的性质．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可的相反数，根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
【解答】解：﹣的相反数是﹣，﹣的相反数的绝对值是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数的性质，先求相反数，再求绝对值．
　
17．已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　9　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【分析】由于4＜＜5，由此即可找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可求解．
【解答】解：∵4＜＜5，
∴a=4，b=5，
∴a+b=9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了无理数的大小的比较．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
18．已知实数x，y满足+|x﹣2y+2|=0，则2x﹣y的平方根为　±2　．
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出原式的平方根．
【解答】解：∵ +|x﹣2y+2|=0，
∴，
解得：，
则2x﹣y=16﹣4=12，12的平方根为±2，
故答案为：±2
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
三、解答题
19．将下列各数分别填在各集合的大括号里：
，，0.3，，3.414，，，﹣，﹣，，0．
自然数集合：{　，0　…}；
分数集合：{　　…}；
无理数集合：{　，，，﹣，﹣　…}；
实数集合：{　，，0.3，，3.414，，，﹣，﹣，，0　…}．
【考点】实数．
【分析】根据实数的分类方法，分别判断出自然数集合、分数集合、无理数集合、实数集合各包含哪些数即可．
【解答】解：自然数集合：{，0…}；
分数集合：{，…}；
无理数集合：{，，，﹣，﹣…}；
实数集合：{，，0.3，，3.414，，，﹣，﹣，，0…}．
故答案为：，0；
；
，，，﹣，﹣；
，，0.3，，3.414，，，﹣，﹣，，0．
【点评】此题主要考查了实数的分类方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确自然数、分数、无理数、实数的含义和特征．
　
20．计算：
（1）+﹣（）2；
（2）+|1﹣|﹣；
（3）﹣﹣|﹣4|﹣（﹣1）0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根以及二次根式性质计算即可得到结果；
（2）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果；
（3）原式利用二次根式性质，立方根，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3﹣4﹣3=﹣4；
（2）原式=2+﹣1﹣=1；
（3）原式=3﹣2﹣4+﹣1=﹣2+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
21．一个正方体，它的体积是棱长为3的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
【考点】立方根．
【专题】计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得： =6，
则这个正方体的棱长为6．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
　
22．求下列各式中的未知数x的值：
（1）2x2﹣8=0；
（2）（x+1）3=﹣64；
（3）25x2﹣49=0；
（4）﹣（x﹣3）3=8．
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题．
【分析】各方程整理后，利用平方根或立方根定义开方（开立方）即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2=4，
开方得：x=±2；
（2）开立方得：x+1=﹣4，
解得：x=﹣5；
（3）方程整理得：x2=，
开方得：x=±；
（4）开立方得：x﹣3=﹣2，
解得：x=1．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
　
23．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【考点】平方根；算术平方根；估算无理数的大小．
【分析】由平方根的定义可知2a﹣1=9，3a+b﹣1=16，可求得a、b的值，然后再根据被开方数越大对应的算术平方根越大估算出c的值，接下来再求得a+2b+c的值，最后求得a+2b+c的算术平方根即可．
【解答】解：∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，
∴2a﹣1=9，3a+b﹣1=16．
解得：a=5，b=2．
∵49＜57＜64，
∴7＜＜8．
∴c=7．
∴a+2b+c=5+2×2+7=16．
∵16的算术平方根是4．
∴a+2b+c的算术平方根是4．
【点评】本题主要考查的是平方根、算术平方根的定义、估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根越大是解题的关键．
　
24．在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，请在下图给定的网格中按下列要求画出图形．
（1）从点A出发，画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（小正方形的每个顶点都称为格点）上，且长度为2．
（2）画出所有以（1）中AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数，并写出所有满足条件的三角形．

【考点】勾股定理；无理数；等腰三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】（1）根据勾股定理可知使线段AB为边长为2的等腰直角三角形的斜边即可；
（2）作AB的垂直平分线和网格相交并且满足边长为无理数即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

【点评】本题考查了勾股定理、垂直平分线的性质，熟知勾股定理的定义是解答此题的关键．