第4章实数单元测试（含答案解析）

《第4章 实数》
　
一、选择题
1．下列四个数中，是负数的是（　　）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．
2．下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C．π0 D．
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）
A．② B．①② C．①③ D．②③
4．已知|a﹣1|+=0，则a+b=（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
5．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）
A．±2 B． C．2 D．4
6．如图，数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，在数轴上表示的点的位置会落在线段（　　）
A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上
7．已知，则的值是（　　）
A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）
A．米 B．米 C．（ +1）米 D．3米
10．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，则|m+1|+（m+6）的值为（　　）
A．3 B．5 C．11﹣2 D．9
　
二、填空题
11．2的平方根是　　，计算： =　　．
12．近似数1.96精确到了　　位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为　　．
13．若的值在两个整数a与a+1之间，则a=　　．
14．实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中，无理数有　　．
15．数轴上到原点距离为的点所表示的实数是　　．
16．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　　．
17．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　　条．
18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　　．
　
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．求下列各式中x的值：
①（x﹣2）2=25；
②﹣8（1﹣x）3=27．
20．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
21．利用计算器计算（结果精确到0.01）
（1）；
（2）．
22．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
23．如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，通过测量，获得如下数据：AB=4m，BC=7m，AD=3m，CD=2m，请你测算这块草坪的面积．（取近似值2.46，结果保留两个有效数字）
24．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）
25．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．
　
《第4章 实数》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列四个数中，是负数的是（　　）
A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．
【考点】实数的运算；正数和负数．
【专题】计算题．
【分析】根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、|﹣2|=2，是正数，故本选项错误；
B、（﹣2）2=4，是正数，故本选项错误；
C、﹣＜0，是负数，故本选项正确；
D、==2，是正数，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键．
　
2．下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C．π0 D．
【考点】无理数；零指数幂．
【专题】计算题．
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、=2，是有理数，故本选项错误；
B、=2，是有理数，故本选项错误；
C、π0=1，是有理数，故本选项错误；
D、是无理数，故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了无理数的定义，属于基础题，熟练掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．
　
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（　　）
A．② B．①② C．①③ D．②③
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【解答】解：①∵22+32=13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32+42=52 ，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12+（）2=22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
　
4．已知|a﹣1|+=0，则a+b=（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【专题】常规题型．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣1=0，7+b=0，
解得a=1，b=﹣7，
所以，a+b=1+（﹣7）=﹣6．
故选B．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
　
5．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）
A．±2 B． C．2 D．4
【考点】二元一次方程组的解；算术平方根．
【分析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，继而求得2m﹣n的算术平方根．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴2m﹣n=4，
∴2m﹣n的算术平方根为2．
故选C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
　
6．如图，数轴上有O、A、B、C、D五点，根据图中各点所表示的数，在数轴上表示的点的位置会落在线段（　　）
A．OA上 B．AB上 C．BC上 D．CD上
【考点】实数与数轴．
【分析】由于=4，＜，所以应落在BC上．
【解答】解：∵ =4，＜，
∴3.6，
所以应落在BC上．
故选C．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，此题主要考查了估算无理数的大小，可以直接估算所以无理数的值，也可以利用“夹逼法”来估算．
　
7．已知，则的值是（　　）
A．457.3 B．45.73 C．1449 D．144.9
【考点】算术平方根．
【分析】把的被开方的小数点向右移动4位，则其平方根的小数点向右移动2位，即可得到=144.9．
【解答】解：∵ ==100，
而=1.449，
∴=1.449×100=144.9．
故选D．
【点评】本题考查了算术平方根：若一个正数的平方等于a，那么这个数叫a的算术平方根，记作（a≥0）．
　
8．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】勾股定理；无理数．
【专题】网格型．
【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．
【解答】解：观察图形，应用勾股定理，得
AB=，
BC=，
AC=，
∴三个边长都是无理数；
故选D．
【点评】此题综合考查了无理数与勾股定理．
　
9．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（　　）
A．米 B．米 C．（ +1）米 D．3米
【考点】勾股定理的应用．
【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．
【解答】解：Rt△ABC中，AC=1米，AB=2米；
由勾股定理，得：BC==米；
∴树的高度为：AC+BC=（+1）米；
故选C．
【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
　
10．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，则|m+1|+（m+6）的值为（　　）
A．3 B．5 C．11﹣2 D．9
【考点】实数与数轴．
【分析】点A表示﹣，向右直爬2个单位到达点B，点B表示的数为m=﹣+2，判断m的取值范围，对式子进行化简．
【解答】解：由题意得，m=﹣+2，
所以，|m+1|+（m+6）
=|﹣+2+1|+（﹣+2+6）
=|﹣+3|+（﹣+8）
=﹣+3﹣+8
=11﹣2．
故选C．
【点评】本题考查了实数与数轴的关系，绝对值的意义．关键是根据题意求出m的值，确定m的范围．
　
二、填空题
11．2的平方根是　±　，计算： =　﹣2　．
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题．
【分析】原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：2的平方根为±， =﹣2，
故答案为：±；﹣2
【点评】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
　
12．近似数1.96精确到了　百分　位；近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为　3.70×106　．
【考点】科学记数法与有效数字；近似数和有效数字．
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字．
注意对一个数进行四舍五入时，若要求近似到个位以前的数位时，首先要对这个数用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．它的有效数字的个数只与a有关，而与n的大小无关．
【解答】解：近似数1.96精确到了百分位；
近似数3698000保留3个有效数字，用科学记数法表示为3.70×106，
故答案为：百分，3.70×106．
【点评】本题考查了科学记数法与有效数字．把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：
（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；
（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．
　
13．若的值在两个整数a与a+1之间，则a=　2　．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出a的值．
【解答】解：∵2=＜=3，
∴的值在两个整数2与3之间，
∴可得a=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
　
14．实数，0，，，0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），，中，无理数有　2　．
【考点】无理数．
【专题】计算题．
【分析】先根据算术平方根和立方根的定义得到﹣=2， =﹣5，然后根据无理数的定义得到0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），是无理数．
【解答】解：∵﹣ =2， =﹣5，
∴无理数有：0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），．
故答案为2．
【点评】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫无理数．常见形式有：开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如0.1010010001…等；字母表示无理数，如π等．
　
15．数轴上到原点距离为的点所表示的实数是　1﹣或﹣1　．
【考点】实数与数轴．
【分析】分点在原点的左边与右边两种情况求解．
【解答】解：①原点左边到原点的距离为﹣1的点是1﹣，
②原点右边到原点的距离为﹣1的点是﹣1，
所以数轴上到原点的距离为﹣1的点是1﹣或﹣1，
故答案为1﹣或﹣1．
【点评】本题考查了实数与数轴，注意需要分点在原点的左右两边两种情况求解，避免漏解而导致出错．
　
16．如图，在数轴上点A和点B之间的整数是　2　．
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【分析】可用“夹逼法”估计，的近似值，得出点A和点B之间的整数．
【解答】解：1＜＜2；2＜＜3，
∴在数轴上点A和点B之间的整数是2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
　
17．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出以格点为端点、长度为的线段　8　条．
【考点】勾股定理．
【分析】如图，由于每个小正方形的边长为1，那么根据勾股定理容易得到长度为的线段，然后可以找出所有这样的线段．
【解答】解：如图，所有长度为的线段全部画出，共有8条．
【点评】此题是一个探究试题，首先探究如何找到长度为的线段，然后利用这个规律找出所有这样的线段．
　
18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为　8或或3　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【分析】由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．
【解答】解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB﹣AD=5﹣4=1，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，
根据勾股定理得：BC==；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，
根据勾股定理得：BC==3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，
根据勾股定理得：BD==4，
∴BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或3．
故答案为：8或或3
【点评】此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．
　
三、解答题（共7小题，满分46分）
19．求下列各式中x的值：
①（x﹣2）2=25；
②﹣8（1﹣x）3=27．
【考点】立方根；平方根．
【专题】计算题．
【分析】①直接开平方法解方程即可；
②先整理成x3=a的形式，再直接开立方解方程即可．
【解答】解：①x﹣2=±5
∴x﹣2=5或x﹣2=﹣5
∴x1=7，x2=﹣3；
②（1﹣x）3=﹣
∴1﹣x=﹣
∴x=．
【点评】此题主要考查了利用立方根和平方根的性质解方程．要灵活运用使计算简便．
　
20．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2=4，
∴x=6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7=27
把x的值代入解得：
y=8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
　
21．利用计算器计算（结果精确到0.01）
（1）；
（2）．
【考点】计算器—数的开方．
【专题】计算题．
【分析】（1）（2）在运用计算器计算之前，可先对式子进行整理，注意二次根式的化简和计算，然后即可求解．
【解答】解：（1）原式=+3≈4.74；
（2）原式=×﹣≈0.62．
【点评】此题主要考查了利用计算器求数的开方运算，解题首先注意要让学生能够熟练运用计算器计算实数的四则混合运算，同时也要求学生会根据题目要求取近似值．
　
22．在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“＜”连接：π，4，﹣1.5，0，
【考点】实数与数轴；实数大小比较．
【专题】常规题型．
【分析】根据数轴的特点把各数表示在数轴上，然后根据数轴上的数，右边的总比左边的大进行排列即可．
【解答】解：
∴按从小到大顺序进行排列如下：
﹣1.5＜﹣＜0＜＜π＜4．
【点评】本题主要考查了数轴的知识以及数轴上的数，右边的总比左边的大的性质，需熟练掌握并灵活运用．
　
23．如图，四边形ABCD是一个四边形的草坪，通过测量，获得如下数据：AB=4m，BC=7m，AD=3m，CD=2m，请你测算这块草坪的面积．（取近似值2.46，结果保留两个有效数字）

【考点】勾股定理．
【分析】连接BD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，再由BC及CD的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形BCD为直角三角形，草坪的面积=直角三角形ABD的面积+直角三角形BDC的面积，求出即可．
【解答】解：连接BD，如图所示，
在Rt△ABD中，AB=4m，AD=3m，
根据勾股定理得：BD==5m，
又BC=7m，CD=2m，
∴BC2=49，BD2+CD2=25+24=49，
∴BD2+CD2=BC2，
∴△BDC为直角三角形，
则S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB?AD+BD?DC=×4×3+×5×2=6+5≈18m2．
答：这块草坪的面积是18m2．

【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
　
24．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形（涂上阴影）．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2，图3中，分别画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．（两个三角形不全等）

【考点】作图—应用与设计作图．
【专题】网格型；开放型．
【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为无理数的线段，画三角形即可．
【解答】解：

【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决问题．
　
25．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式+的最小值．

【考点】轴对称-最短路线问题；勾股定理．
【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；
（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式+的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
【解答】解：（1）AC+CE=+；
（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数+的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，
所以AE===13，
即+的最小值为13．
故代数式+的最小值为13．

【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．