4.3实数同步练习（含答案）

4.3
实数
一．选择题
1．下列实数中的无理数是（　　）
A．0.7
B．
C．π
D．﹣8
2．下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（　　）
A．1.414
B．
C．﹣
D．0
3．关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为12的正方形边长是
C．
=2
D．在数轴上可以找到表示的点
4．下列实数中，有理数是（　　）
A．
B．
C．
D．0.101001001
5．实数﹣的绝对值是（　　）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣
6．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a＞﹣2
B．a＜﹣3
C．a＞﹣b
D．a＜﹣b
7．如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　）
A．p
B．q
C．m
D．n24
8．在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（　　）w
A．﹣2
B．0
C．﹣
D．t
9．估计的值在（　　）h
A．2到3之间
B．3到4之间
C．4到5之间
D．5到6之间Y
　
二．填空题6
10．计算：|1﹣|﹣=　　．O
11．对于实数a，b，定义运算“
”：a
b=，例如：因为4＞2，所以4
2=42﹣4×2=8，则（﹣3）
（﹣2）=　　．5
12．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜
( http: / / www.21cnjy.com )b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2=BM AB，BN2=AN AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n=　　．I
13．在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　　．a
14．如图所示，直角三角形中较长的直角边是
( http: / / www.21cnjy.com )较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为　　．h
15．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　　．P
16．计算：﹣|﹣2|+（2016﹣π）0=　　．6
　
三．解答题y
17．计算：
+（）﹣3+20160．6
18．计算：．8
19．计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．Z
20．已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．k
21．如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．4
（1）如果（a﹣2）+b+3=0，其中a、b为有理数，试求a，b的值；0
（2）如果（2+）a﹣（1﹣）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值．A
　
参考答案
一．选择题f
1．（2016 福州）下列实数中的无理数是（　　）A
A．0.7
B．
C．π
D．﹣8=
【分析】无理数就是无限不循环小数，最典型就是π，选出答案即可．=
【解答】解：∵无理数就是无限不循环小数，
且0.7为有限小数，为有限小数，﹣8为正数，都属于有理数，
π为无限不循环小数，
∴π为无理数．
故选：C．
【点评】题目考查了无理数的定义，题目整体较简单，是要熟记无理数的性质，即可解决此类问题．
　
2．（2016 宜昌）下列各数：1.414，，﹣，0，其中是无理数的为（　　）
A．1.414
B．
C．﹣
D．0
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，解答即可．
【解答】解：是无理数．
故选B．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
　
3．（2016 河北）关于的叙述，错误的是（　　）
A．是有理数
B．面积为12的正方形边长是
C．
=2
D．在数轴上可以找到表示的点
【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；
C、=2，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数，有理数，无理数的定义，要求掌握实数，有理数，无理数的范围以及分类方法．
　
4．（2016 烟台）下列实数中，有理数是（　　）
A．
B．
C．
D．0.101001001
【分析】实数分为有理数，无理数，有理数有分数、整数，无理数有根式下不能开方的，π等，很容易选择．
【解答】解：A、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；
B、不能正好开方，即为无理数，故本选项错误；
C、π为无理数，所以为无理数，故本选项错误；
D、小数为有理数，符合．
故选D．
【点评】本题考查实数范围内的有理数的判断，从实际出发有理数有分数，自然数等，无理数有π、根式下开不尽的从而得到了答案．
　
5．（2016 金华）实数﹣的绝对值是（　　）
A．2
B．
C．﹣
D．﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：﹣的绝对值是．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，负数的绝对值是它的相反数．
　
6．（2016 北京）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a＞﹣2
B．a＜﹣3
C．a＞﹣b
D．a＜﹣b
【分析】利用数轴上a，b所在的位置，进而得出a以及﹣b的取值范围，进而比较得出答案．
【解答】解：A、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
B、如图所示：﹣3＜a＜﹣2，故此选项错误；
C、如图所示：1＜b＜2，则﹣2＜﹣b＜﹣1，故a＜﹣b，故此选项错误；
D、由选项C可得，此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出a以及﹣b的取值范围是解题关键．
　
7．（2016 泰安）如图，四个实数m，n
( http: / / www.21cnjy.com )，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（　　）
A．p
B．q
C．m
D．n
【分析】根据n+q=0可以得到n、q的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决．
【解答】解：∵n+q=0，
∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，
∴绝对值最大的点P表示的数p，
故选A．
【点评】本题考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
　
8．（2016 聊城）在实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是（　　）
A．﹣2
B．0
C．﹣
D．
【分析】根据负数的绝对值越大，这个数越小，然后根据正数大于0，负数小于0进行大小比较即可．
【解答】解：实数﹣，﹣2，0，中，最小的实数是﹣2，
故选A
【点评】此题考查了实数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．
　
9．（2016 毕节市）估计的值在（　　）
A．2到3之间
B．3到4之间
C．4到5之间
D．5到6之间
【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．
【解答】解：∵2=＜=3，
∴3＜＜4，
故选B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
　
二．填空题
10．（2016 黄冈）计算：|1﹣|﹣=　﹣1﹣　．
【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而合并同类二次根式即可．
【解答】解：|1﹣|﹣
=﹣1﹣2
=﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．
　
11．（2016 河池）对于实数a，b，定义运算“
”：a
b=，例如：因为4＞2，所以4
2=42﹣4×2=8，则（﹣3）
（﹣2）=　﹣1　．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：（﹣3）
（﹣2）=﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
　
12．（2016 成都）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM2=BM AB，BN2=AN AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m﹣n=　2﹣4　．
【分析】设AM=x，根据AM2=BM AB列一元二次方程，求出x，得出AM=BN=﹣1，从而求出MN的长，即m﹣n的长．
【解答】解：由题意得：AB=b﹣a=2
设AM=x，则BM=2﹣x
x2=2（2﹣x）
x=﹣1±
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣（舍）
则AM=BN=﹣1
∴MN=m﹣n=AM+BN﹣2=2（﹣1）﹣2=2﹣4
故答案为：2﹣4．
【点评】本题考查了数轴上两
( http: / / www.21cnjy.com )点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示xA、B表示xB，则AB=|xB﹣xA|；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系．
　
13．在如图所示的数轴上，点C与点B关于点A对称，C、A两点对应的实数分别是和1，则点B对应的实数为　2﹣　．
【分析】根据中点的性质得到AC=AB，可得答案．
【解答】解：AC=﹣1，
AB=1﹣（﹣1）=2﹣，
点B对应的数是2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，利用AB=AC得出AB=1﹣（﹣1）是解题关键．
　
14．如图所示，直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，且两个顶点在数轴上对应的数分别为﹣1和1，以斜边为半径的弧交数轴于点A，点C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，则点B表示的数为　5﹣　．
【分析】先根据勾股定理计算出斜边的长，进而得到A的坐标，再根据A点表示的数，可得B点表示的数．
【解答】解：∵直角三角形中较长的直角边是较短的直角边长度的2倍，
∴斜边的长==，
∴A点表示的数为﹣1，
∵C所表示的数为2，点A与点B关于点C对称，
∴点B表示的数为5﹣，
故答案为：5﹣．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，
( http: / / www.21cnjy.com )关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．
　
15．设a=﹣|﹣2|，b=﹣（﹣1），c=，则a、b、c中最大实数与最小实数的差是　4　．
【分析】先计算出a、b、c的值，再找出最大实数与最小实数，两者相减即可得出答案．
【解答】解：∵a=﹣|﹣2|=﹣2，b=﹣（﹣1）=1，c==﹣3，
∴则a、b、c中最大实数是b，最小实数是c，
∴a、b、c中最大实数与最小实数的差是b﹣c=1﹣（﹣3）=4；
故答案为：4．
【点评】此题考查了实数的大小比较，用到的知识点是绝对值、相反数和立方根，关键是计算出a、b、c的值．
　
16．计算：﹣|﹣2|+（2016﹣π）0=　2　．
【分析】分别根据数的开方法则、绝对值的性质及0指数幂的运算法则计算出各数，再从左到右依次计算即可．
【解答】解：原式=3﹣2+1
=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知数的开方法则、绝对值的性质及0指数幂的运算法则是解答此题的关键．
　
三．解答题（共10小题）
　
17．计算：
+（）﹣3+20160．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式=3+8+1﹣=9+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
　
18．（2016 荆州）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案．
【解答】解：原式=+3×2﹣2×﹣1
=+6﹣﹣1
=5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确利用负整数指数幂的性质化简是解题关键．
　
19．（2016 大连）计算：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣．
【分析】本题涉及平方差公式、零指数幂、三次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
=5﹣1+1﹣3
=2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运
( http: / / www.21cnjy.com )算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方差公式、零指数幂、三次根式等考点的运算．
　
20．已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．
【分析】先估算出的大小，然后用含的式子表示出a、b最后代入计算即可．
【解答】解：∵2＜＜3，
∴7＜5+＜8，2＜5﹣＜3，
∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣
∴原式=（﹣2+3﹣）（﹣2﹣3+）=1×（2﹣5）=2﹣5．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，求得a、b的值是解题的关键．
　
21．如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．
（1）如果（a﹣2）+b+3=0，其中a、b为有理数，试求a，b的值；
（2）如果（2+）a﹣（1﹣）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值．
【分析】（1）根据题意确定出a与b的值即可；
（2）根据题意确定出a与b的值，代入计算即可求出原式的值．
【解答】解：（1）由（a﹣2）+b+3=0，得到a=2，b=﹣3