江苏省连云港市灌南县第二中学2025-2026学年高三上学期期末数学模拟测试（扫描版，含答案）

2026 届灌南县第二中学高三年级期末模拟测试一
数学试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
3
1．已知复数 z = (1+ i) + i，则复数 z的模为（ ）
A． 11 B． 2 3 C． 13 D． 14
2．已知集合 A = x R x a , B = x N tx = 6, t N ，若 A B = B，则实数a的取值范围是
（ ）
A． 6,+ ) B． (6,+ ) C． 3,+ ) D． (3,+ )
3．在下列四个正方体中， A， B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q为所在棱的中点，则在
这四个正方体中，直线 AB 与平面MNQ不平行的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 a = ( 4,m),b = (1, 2)，且 (a 2b ) ⊥ b ，则m=（ ）
A． 7 B．7 C．12 D． 5
5. 体育课上，老师让 2 名女生和 3 名男生排成一排，要求 2名女生之间至少有 1 名男生，则
这 5名学生不同的排法共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 72种 D. 96种
x2 y2 2
6．已知双曲线 E : =1(a 0,b 0)的右顶点为 A，抛物线C : y =12ax2 2 的焦点为F .若在双曲a b
线 E的渐近线上存在点 P，使得PA PF = 0，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ ）
2 3 2 3
A． (1,2) B． 1, C． (2,+ ) D． ,+
3 3
7. 已知 tan ( + ) = 3, tan ( ) =1，则 sin4 =（ ）
2 3 3 4
A. B. C. D.
5 5 4 5
sin 2
8．设等差数列{a }的前 n 项和为 S ，已知 a = 4， S = 30 ，设b = ，则数列n n 3 6 n
cosan cosan+1
{b }的前 n 项和为（ ） n
A． tan(2n) B． 2tann C． tan n D． tan(2n+1 2)
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部
分分，有选错的得 0 分。
9．设函数 f (x) = x3 3x + 3，则
A． f (x)在 ( 1,1)上单调递减 B．当 x [0,2]时， f (x) 的值域为[3,5]
C． f (x)有三个零点 D．曲线 y = f (x) 关于点 (0,3)对称
2 2
10．已知圆M ： (x + 2) + y = 2，直线 l： x + y 2 = 0，点 P 在直线 l上运动，直线PA ，PB分
别与圆M 相切于点 A, B .则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 PAMB的面积的最小值为2 3 B． PA 最小时，弦 AB 长为 5
3 1
C． PA 最小时，弦 AB所在直线方程为 x + y 1= 0 D．直线 AB 过定点 ,
2 2
11．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则下列命题中正确的是
2
A．若 a2 = b2 + bc + c2 ，则 A =
3

B．若 a = 7，b = 8， A = ，则符合条件的三角形有两个
3
a2 b2
C．若 = ，则△ABC 为等腰三角形
tan A tan B
S 2
4
D．若 △ABC = b sin B ，则 cos B的最小值为
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分。共 15 分。
5
12．设随机变量 X 服从二项分布B (2, p)，随机变量Y 服从二项分布B (4, p)，若P(X 1) = ，
9
则 P(Y 2) = ．
13．若函数 f (x) = log
2
a (x ax +3a 6)在[2,+ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ．
8
14. 已知正四棱锥 S ABCD的体积为 ，若 S , A, B,C, D这 5 个顶点均在球O的球面上，则
3
球O体积的最小值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
*
15. 已知各项均为正数的数列 a 的前 n项和为 S ，a =1，且2Sn = anan+1 (n Nn n 1 )．
（1）求 an 的通项公式；
1 n
（2）设bn = ，记数列 bn 的前n项和为Tn ，求使得Tn n 成立的正整数n的取值范an+1an+2 2
围．
1
16．已知函数 f (x) = x
2 (a + 2)x + 2a ln x(a R) .
2
(1)当 a = 3时，求函数 f (x)在 x =1处的切线；
(2)讨论函数 f (x)的单调性.
17．如图，已知 PA ⊥平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，PA = AD = AB = 2, M , N 分别为 AB,PC的中
点.
(1)求证：MN ∥平面 PAD；
(2)求平面 PMC与平面 PAD的夹角的余弦值.
18. 某地 A， B，C，D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2024 年 10 月份这四个
商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：
A商场 B 商场 C商场 D 商场
购进该型冰箱数 x 3 4 5 6
销售该型冰箱数 y 2.5 3 4 4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合 y 与 x的关系，求 y 关于 x的线性回归方程 y = b x + a ；
（2）假设每台冰箱的售价均定为 4000 元．若进入 A商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率
p
2
分别为 ，3p 2 p 1 ，且甲乙是否购买冰箱互不影响．若两人购买冰箱总金额的期
3
望不超过 6000 元，求 p 的取值范围．
参考公式：回归方程 y = b x + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
n
(xi x)( yi y) 4 4
b = i=1 ， a = y b x, x 2n 2 i yi = 66.5， xi = 86．
( i=1 i=1 xi x)
i=1
3 x2 y2
19. 已知 P 3, ，Q (0, 3 )在椭圆E : + =1（a 0，b 0）上． 2 2
2 a b
（1）求 E的方程；
（2）若 M为 E上一点（异于 P，Q两点），求 MPQ 面积的最大值；
（3）过点 N (a,0) 作两条直线分别与 E交于另一点 A，B，记直线 NA，NB的斜率分别为
1
k1， k2，若 k1 k2 = ，证明：直线 AB过定点．
2
参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．C 2．B 3．A 4．A 5．C 6．B 7．D 8．A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，选对但选不全对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．AD【解析】由 f (x) = 3x2 3 0 ，解得 1 x 1，所以 f (x) 在 ( 1,1) 上单调递减，故 A 正
确；又当 x [0,1]时， f (x) 单调递减，当 x (1,2]时， f (x) 单调递增， f (0) = 3 ， f (1) =1，
f (2) = 5，所以当 x [0,2]时， f (x) 的值域为[1,5] ，故 B 错误； f (x) 在( 1,1) 上单调递减，在
( , 1) 和 (1,+ ) 上单调递增， f (x)极大 = f ( 1) = 5 ， f (x)极小 = f (1) =1 ，所以 f (x) 只有一个零
点，故 C 错误；因为 f (x) + f ( x) = x3 3x + 3+ ( x)3 + 3x + 3 = 6 ，所以曲线 y = f (x) 关于点
(0,3) 对称，故 D 正确．
b2 + c2 a2 1
10．AD 11．AB【解析】对于 A，因为 a2 = b2 + bc + c2 ，所以cos A = = ，
2bc 2
2
因为 0 A ，所以 A = ，故 A 正确；对于 B，因为 a = 7，b = 8， A = ，所以
3 3
a 2 b2
8sin = 4 3 a b ，所以符合条件的三角形有两个，故 B 正确；对于 C，由 =
3 tan A tan B
sin 2 A sin 2 B
及正弦定理，可得 = ，进而sin 2A= sin 2B，结合2A ， 2B (0,2 ) ，故
tan A tan B

2A = 2B或 2A+ 2B = ，即 A = B 或 A + B = ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故 C
2
1
错误；对于 D， S△ABC = b
2 sin B = acsin B ，所以 2b2 = ac ，故
2
a2 + c2 b2 2ac b2 b2 3
cos B = =1 = ，当且仅当 a = c 时，等号成立，故 D 错误．
2ac 2ac 2ac 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分。共 15 分。
2 1 9
12． 13． . 14． π
3 11 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
*
15. 已知各项均为正数的数列 an 的前 n项和为 S ，a 2S = a a n Nn 1 =1，且 n n n+1 ( )．
（1）求 an 的通项公式；
1 n
（2）设bn = ，记数列 bn 的前n项和为Tn ，求使得Tn n 成立的正整数n的取值范围． an+1an+2 2
【小问 1 详解】
*
由 a1 =1，且 2Sn = anan+1 (n N )，可得 2a1 = 2S1 = a1a2 ，即 a2 = 2，
当 n 2时，由 2Sn = anan+1，可得 2Sn 1 = an 1an ，
两式相减可得2an = anan+1 an 1an ，因为 an 0 ，可得an+1 an 1 = 2，
即该数列的奇数项构成以a1 =1为首项公差为 2 的等差数列，偶数项构成以 a2 = 2 为首项公差为 2 的
等差数列，
即有 a2n 1 =1+2(n 1) = 2n 1,a2n = 2+2(n 1) = 2n，
可得 an = n；
【小问 2 详解】
1 1 1 1
bn = = = ，
an+1an+2 (n+1)(n+ 2) n+1 n+ 2
1 1 1 1 1 1 1 1 n
可得数列 bn 的前 n项和Tn = + + + = = ． 2 3 3 4 n+1 n+ 2 2 n+ 2 2(n+ 2)
n n
则T ，即 2 2(n+2n )n ， 2
当 n =1时， 2 6成立；当n = 2时，4 8成立；当n = 3时，8 10成立，
n
当 n 4时， 2 2(n+ 2)，
n
综上所述，使得Tn 成立的正整数n的取值范围是 1,2,3 .
2n
11
16．(1) 4x + y = 0 ；
2
1 6 3
（1）当 a = 3时， f (x) = x2 + x 6lnx ，求导得 f (x) = x +1 ，则 f (1) = 4 ，而 f (1) = ，
2 x 2
3
所以函数 f (x) 在 x =1处的切线方程为 y = 4(x 1) ，即8x + 2y 11= 0 .
2
1
（2）函数 f (x) = x2 (a + 2)x + 2a ln x 的定义域为 (0,+ ) ，
2
2a (x a)(x 2)
求导得 f (x) = x (a + 2) + =
x x
当 a 0时，由 f (x) 0，得 0 x 2；由 f (x) 0，得 x 2 ，
函数 f (x) 在 (0,2) 上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增；
当 0 a 2 时，由 f (x) 0，得 a x 2；由 f (x) 0，得0 x a 或 x 2 ，
函数 f (x) 在 (a, 2) 上单调递减，在 (0,a) 和 (2,+ ) 上单调递增；
(x 2)2
当 a = 2时， f (x) = 0 ，函数 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递增；
x
当 a 2时，由 f (x) 0，得 2 x a ；由 f (x) 0，得0 x 2或 x a ，
函数 f (x) 在 (2, a) 上单调递减，在 (0,2) 和 (a,+ ) 上单调递增，
所以当 a 0 时，函数 f (x) 在 (0,2) 上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增；
当 0 a 2 时，函数 f (x) 在 (a, 2) 上单调递减，在 (0,a) 和 (2,+ ) 上单调递增；
当 a = 2时，函数 f (x) 在 (0,+ ) 上单调递增；
当 a 2时，函数 f (x) 在 (2, a) 上单调递减，在 (0,2) 和 (a,+ ) 上单调递增.
6
18．(1)证明见解析 (2)
3
（1）若 E 为 PD 中点，连接 NE, AE ，又 M N 为 AB PC 的中点，底面 ABCD为矩形，所以 NE / /CD 且
1 1 1
NE = CD ，而 AM = AB = CD 且 AM / /CD，所以 NE / /AM 且 NE = AM ，故 AMNE 为平行四边形，
2 2 2
故 MN / /AE ，又 MN 面 PAD ， AE 面 PAD ，则 MN / / 面 PAD .
（2）由题意，可构建如下图示的空间直角坐标系， PA = AD = AB = 2 ，所以
P(0,0,2)， D(0,2,0)， M (1,0,0) ，C(2,2,0) ，
uuur
则 PD = (0,2, 2)， PM = (1,0, 2)， PC = (2, 2, 2) ，
m·PM = x 2z = 0
若 m = (x, y, z)是面 PMC 的一个法向量，则 ，
m·PC = 2x + 2y 2z = 0
令 x = 2，故 m = (2, 1,1) ，
又 n = (1,0,0) 是面 PAD 的一个法向量，
m n 2 6
所以 cos m,n = = = ，
| m || n | 6 3
故平面 PMC 与平面
6
PAD 的夹角的余弦值 .
3
18. 某地 A， B ，C， D四个商场均销售同一型号的冰箱，经统计，2024 年 10 月份这四个商场购
进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十台）：
A商场 B 商场 C 商场 D 商场
购进该型冰箱数x 3 4 5 6
销售该型冰箱数 y 2.5 3 4 4.5
（1）已知可用线性回归模型拟合 y 与x的关系，求 y 关于 x的线性回归方程 y = b x + a ；
（2）假设每台冰箱的售价均定为4000 元．若进入 A 商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率分别为
2
p ，3p 2 p 1 ，且甲乙是否购买冰箱互不影响．若两人购买冰箱总金额的期望不超过6000
3
元，求 p 的取值范围．
n
(xi x)( yi y)
i=1
参考公式：回归方程 y = b x + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b = ，
n 2
(xi x)
i=1
4 4
a = y b x, xi yi = 66.5
2
， xi = 86．
i=1 i=1
【答案】（1） y = 0.7x + 0.35
2 7
（2） ,
3 8


【解析】
【分析】（1）由参考公式代入数据即可求解；
（2）设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X ，确定 X 取值，求得对应概率，再结合期望公
式构造不等式求解即可.
【小问 1 详解】
3+ 4+ 5+ 6 2.5 + 3+ 4 + 4.5
x = = 4.5， y = = 3.5，
4 4
66.5 4 4.5 3.5所以b = = 0.7 ，
86 4 4.52
则 a = y b x = 3.5 0.7 4.5 = 0.35，
故 y 关于 x的线性回归方程为 y = 0.7x + 0.35．
【小问 2 详解】
设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为 X ，
则 X 所有可能取值为 0，1，2．
2
P (X = 0) = (1 p)(3 3p) = 3(1 p) ，
P(X =1) = p(3 3p)+ (1 p)(3p 2) = 6p2 +8p 2，
P(X =的2) = p(3p 2) = 3p
2 2p，
所以 E (X ) = 4p 2
E (4000X ) = 4000(4p 2).
令 E (4000X )≤6000，即 4000(4p 2) 6000，
7 2 2 7
解得： p ，又 p 1，所以 p ．
8 3 3 8
p
2 7
所以 的取值范围为 ,
3 8
．

3 x2 y2
19. 已知 P 3, ，Q (0, 3 )在椭圆 E : + =1（a 0，b 0）上．
2 a
2 b2
（1）求 E的方程；
（2）若 M为 E上一点（异于 P，Q两点），求 MPQ 面积的最大值；
（3）过点 N (a,0) 作两条直线分别与 E交于另一点 A，B，记直线 NA，NB的斜率分别为k1 ，k2 ，
1
若 k1 k2 = ，证明：直线 AB过定点．
2
x2 y2
【答案】（1） E : + =1
4 3
3
（2） + 3
2
（3） ( 10,0)
【解析】
【分析】（1）代入即可求解 a = 2,b = 3 得解，
（2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为 0，进而根据平行线间距离公式即可求解最值，
（3）设直线 AB 方程，联立与椭圆方程，得到韦达定理，进而根据两点斜率公式，即可化简求解.
【小问 1 详解】
3 x2 y2
将 P 3, ，Q (0, 3 )代入椭圆 E : + =1中可得
2 a
2 b2
3 3
+ =1
a2 4b2
，解得 a = 2,b = 3 ，
3 =1
2
b
x2 y2
故椭圆方程为 E : + =1
4 3
【小问 2 详解】
33 3
由 P 3, ，Q (0, 3 )可得 k = 2 1 = ，
2 PQ 3 2
1
设与 PQ平行且与椭圆相切的直线方程为 l : y = x +m ，
2
1 x2 y2
联立 y = x +m与 E : + =1可得4x2 4mx + 4m2 12 = 0 ，
2 4 3
Δ =16m2故 16(4m2 12) = 0，解得m= 2，
3 + 2
d =
当直线m= 2时，此时直线 l与直线 PQ的距离最大，故最大距离为 1 ，
1+
4
2
1 1 2 ( ) 3
3 + 2 3
MPQ PQ d = 3 + = + 3因此 的最大值为 2 2

2

1 21+
4
【小问 3 详解】
设直线 AB : x = ty+n,(n 0)，
x2 y2
+ =1 2 2 2
则 4 3 ，化简得 (3t + 4) y + 6nty + 3n 12 = 0 ，

x = ty + n
设 A(x1, y1),B(x2, y2 ) , N (2,0) ,
6nt
y1 + y2 = 3t 2 + 4

3n
2 12
则 y1y2 = 2 ，
3t + 4
Δ = 36n2t 2 4(3t 2 + 4)(3n2 12) 0


y
k k = 1
y2 1
故 AN BN = ,
x1 2 x2 2 2
故 2y1y2 = (x1 2)(x2 2)，即 2y1y2 = (ty1 +n 2)(ty2 +n 2)，
2
化简可得 (t2 2) y1y2 + t (n 2)( y1+y2 )+(n 2) =0，
2 3n
2 12 6nt 2
故 ( t 2) + t (n 2) +(n 2) =0，
3t2 + 4 3t2 + 4
化简可得 n2 +8n 20 = 0，解得 n = 10或n = 2，
当 n = 2时，则x = t y + 2，此时直线 AB 经过(2,0)，与 N (2,0)重合，不符合题意，舍去，
当 n = 10，则 x = ty 10，此时直线恒经过( 10,0)，符合题意，